Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:1
1.1./ Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng:
0
222









xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
HD: Ta có:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy

2
xz
xz
zxz 



(3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
0
222
222














 xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy

1
1
2
 

 
 
.
 
'
2
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
 
 
     
 
     
 
.
;
1
1
2
x
 

3 3 22
2
4
x
f x
f x

 


Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
;
1
1
2
 

 
 
3 3 22
4
2
m

   
hoặc
1m 
.
2.1/.
HD:

b b

   
 
(1)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c

   
 
(2)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a

   
 

thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
 

 
HD: Trước hết ta có:
 
3
3 3
4
x y
x y

 
(biến đổi tương đương)
   
2
0x y x y    
Đặt x + y + z = a. Khi
đó
   
 
3 3
3 3
3

f t t t f t t
 
     
 
Lập bảng biến thiên,
 
 
0;1
64
inf
81
t
M t

  
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0
4.1/. Cho 3 số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  
HD:
2 3 3

9
2
b
c2b
b
3
2
3
2




Do đó
2 2 2 2
3 3 3
2 4 7 4 ( )
( ) ( ) ( ) 1
9 9 3 9 3
2 2 2
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b b c c a
 
            
  
4. 2/.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:4
HD:

5 6 2 3T ab bc ca abc    
 
 
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:5
Đặt:
 
2 3S ab bc ca abc   
. Ta tìm GTLN của
S
.Ta có:
   
2 3 2S ab c c a b   
 Nếu
2
2 3 0
3
c c   
thì
 
2S c a b 
 Nếu
2
2 3 0
3
c c   
thì
     
2 3 2 2S ab c c a b c a b     
;Suy ra: Chỉ cần xét:

2
0;
3
 
 
 
;Ta được :
 
1 20
3 9
f c f
 
 
 
 
5
9
S 
. Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c  
;Vậy:
5
min
3
T 
xảy ra khi
1
3

a
ba


b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
P  2
c
a
b
a
a
cb
a
c
c
a
a
b
b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A
…
6.1/ Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
 
2 2 2
5 2a b c a b c ab     
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3 1
48
10
Q a b c
a b c
 
    
 
 
 
 
.
HD: Ta có
       
2 2
2
1
5 0 10
2
a b c a b c a b c a b c            

 
  
 
 
 
 
 
4 2304
576
38 38
a b c a b c
a b c a b c
 
       
 
     
 
Xét
2304
( )
38
f t t
t
 

với


0;10t
.

12x y z
x y z
 
    
 
 
với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn
 
1;3
.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:7
2/
HD:1/ Ta có:
   
2
3
1 3 1 3 0 4 3 0 4t t t t t t
t
            
.
Suy ra :
3 3 3
4 ; 4 ; 4x y z
x y z
     
;
 
1 1 1
3 12Q x y z

.3 zyx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
111222
222222333
xzxzzyzyyxyxzyx
P






HD: Ta có
.
3
1
11
;
3
1
11
;
3
1
11
333333
zx
xz
yz

,
411
baba 

với
0, ba
ta có
























     
 
   
      
    
  
Do đó
.9P
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.1 zyx
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi
.1 zyx
14. Cho ba số thực
 
, , 1;3x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
36x 2y z
P
yz xz xy
  
HD:
 
2 2 2
2 2 2 2
36x 2y z
f(x) ,x 1;3 , y,z là tham sô
yz zx xy
36 2y z 36x 2y z 36 2.9 9
f '(x) 0
yz

12 6 z 18 1 18 1
g(y) g(3) h(z),z 1;3;h'(z) 0.
z z 3 3 9 3
z
           

h(z)
nghịch biến trên
 
1;3
18
h(z) h(3) 1 7
3
    
; Vậy P
7
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z
= 3; Do đó Min P = 7
15. ;
HD:
16.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:11
HD:
17.
HD:
18.
HD:
19. . Cho
, ,x y z

y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
  
   
  
(2)
Ta cã
 
 
   
   
2
2 2
4
2
2 2
2 2
y z
yz
yz yz
yz
yz yz yz
yz yz yz

  

 

 
 

 

. VËy (2) ®óng (®pcm).
20.
HD:
21.
HD:C1:
C2:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:13
C3:
22.
HD:
23.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:14
24. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng
2 2 2
52
2 2
27
a b c abc    
HD: Ta có
; ;
2
a b c
p p a p b p c
 
    

2 2
27
52
2 2
27
a b c a b c abc
a b c abc
        
     
Đẳng thức bên trái xảy ra khi
2
3
a b c  
25.
HD:
61. Tìm với x,y dương
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:15
26.
HD:
27. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn
2 2 2
1a b c  
.
Chứng minh rằng
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3

     
2 3
3 3 3
3
a a b b c c        
Xét hàm số
   
 
3
0;1f x x x x   
. Ta có:
 
 
0;1
2 3
ax
9
M f x 
     
2 3
3
f a f b f c   
;Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c=
1
3
28.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:16
29.

Ta sẽ CM:
2
1 1 1
2 2 (*)
2 2 2
a b a b
    
    
    
    
;
Thật vậy:
2 2
1 1
(*) 2 4
4 4
a b ab a b ab a b         
2
( ) 0a b  
Dấu “=” xảy ra
1
2
a b  
32. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
.3
222
yzyx 
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
)3(

y
x
.
Chú ý rằng, với hai số dương
ba,
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
222
)(
811
baba 

, (*)
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ba 
.
Áp dụng (*) ta được
2
2
2
)3(
8
)1
2
(
1
)1(
1








zyx
z
y
x
.1
)106(
4.64
2



Dấu đẳng thức xảy ra khi
1,2,1  zyx
.Vậy giá trị nhỏ nhất của
P
bằng 1, đạt khi
1,2,1  zyx
33. Cho 3 số
0,, cba
thỏa
2
3
 cba
. Chứng minh :
2
15111



























cba
abc
cbac
c

2 2 2
1 1 1
T
b c a
a b c
  
  
Đặt :
; ;
b c a
x y z
a b c
  
. Ta có:
, , 0x y z 
và
1xyz 
.
2 2 2
2 2 2
1 1 1
T
x y z
  
  
G/s:
x y z 
. Từ
1 1xyz x  
, và

    
   
y z
y z y z y z y z
y z y z
y z y z yz y z
2
2 2
2 2 8 8
1 1 1 1
x
y z yz x
 
   
 
 
   
 
Lại có:
 
 
 
2
2
2
2
2 4
1 2 1
1
1

T
x x
 
   
 
 
 
 
;
2
2
3 1 3
1
x
T
x
 
   
 
 

 
.Dấu bằng xảy ra khi
1x y z  
hay
a b c 
.
Vậy max
3T 
khi

Chứng minh rằng:
3
a b c
b c a
  
.
HD: Ta có:
2 2
2 2 2 4 2 4
a b c b a b
c a a a a a a c
b c b c b c
        
(1)
Tương tự:
2 2
2 4 (2), 2 4 (3)
b c c a
b b a c c b
c a a b
     
Cộng (1),(2),(3) được
2
3( ) 9
a b c
a b c
b c a
 
     
 

3 27 27
 
   
Lại có:
2 2
2 2 2
1 1 27 1 1 27 1 730
abc abc 2 abc.
abc 27 abc 27 abc 27 abc 27 27
 
 
      
 
 
Mặt khác:
 
1 1 1 1 1 1
a b c 9 9
a b c a b c
 
        
 
 
Suy ra
730 1000
M 9 1
27 27
   
Vậy
3

( ) ( )
x xy x xy
x y z y z x y z y z
y zx z y zx z
 
   
     
   
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:23
2 2
1 2 1 2 2 2
( ) 2 ( ) 2
x xy x xy xz
x x x
x y z y z x y z y z
   
  
    
   
     
   
2
2
x x
y z x y z
 
  
. Tương tự, cộng lại ta được
VT (1)

HD:
46. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 8 6 1.P a b ab   
Với mọi số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
4 4 2 2.a b ab a b    
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:24
2/.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
a b c 1  
.
Chứng minh:
a b b c c a
3
ab c bc a ac b
  
  
  
HD:1/. Vì
   
2
2 2
4 4 2 2 2 1 3 2 1 0 0 2 1 3.a b ab a b a b a b a b                
Ta có
       
2
3 2 2 2 1 2 1 2 1 .P ab b a a b a b a b           
Đặt
2 1t a b  
, thì

là 12 nên
12P 
.
KL: GTLN của P là
12
khi
1
1
.
2
a
b







2./ Ta có
a b 1 c 1 c
ab c ab 1 b a (1 a)(1 b)
  
 
     
; VT=
1 c 1 b 1 a
(1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)
  
 

9 9
9 9 1
x y y z z xz x
y z x x
A
xyz x y z z
   
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
2 2
9 9 1 9 9.2 1
y z z x x z z x x
x y x z z x x z z
    
 
 
          
    
 
 
    

 
     
 
 
 
2
2 2 3
1 1 1 2
'( ) 2 9 1 (9 )f t t t
t t t t
   
      
   
   
 
3 2 2
3 3
9 9
2 9 18 (2 3)( 6)
t t
t t t t t t
t t
 
   
       
   
   
,
3
'( ) 0

7
minA
4

48.
HD:
49 1/.
HD:1/