TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đề tài:
KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”
HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP
Họ và tên : Phạm Thị Vỹ
Giáo viên trường trung học cơ sở Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TOÁN .
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên, được phát sinh từ nhu cầu
thực tế của con người. Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải bài tập
là hình thức chủ yếu, do đó dạy học giải bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng.
Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung, và thể loại toán về “bất đẳng thức” nói
riêng vô cùng rộng lớn và phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của
từng thể loại đó. Nó luôn là cơ sở, là nền tảng vững chắc cho bộ môn toán học và các bộ môn
khoa học tự nhiên khác. Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh trong
một lớp, một khối và trong nhiều cấp học. Đặc biệt dạng bài tập về bất đẳng thức được đánh
giá là loại bài nhằm phát triển tư duy trí tuệ của học sinh. Nó thường được đóng vai trò làm
câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong các đề kiểm tra, đề thi hằng năm. Nhằm giúp giáo viên
chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏi trong
quá trình dạy học. Nếu học sinh biết giải và giải thành thạo loại toán này thì việc học bộ môn
toán sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh. Thế nhưng, theo nhận định chủ
quan của bản thân thì khả năng nhận thức, vận dụng kiến thức bộ môn toán vào thực tiễn cũng
như niềm đam mê toán học của học sinh hiện nay còn quá khiêm tốn.
Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về “bất
đẳng thức” biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì may chăng mới
có thể mở rộng và nâng cao kiến thức sau này. Đó là cơ hội để bước vào trường chuyên, lớp
chọn, tương lai vào các trường đại học theo mong ước. Người ta thường nói ( móng có chắc
thì tường mới vững ).
Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều kì kiểm tra và không ít lần được chọn bồi dưỡng
học sinh giỏi, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh

lớp 9 thi vào lớp 10 các trường THPT, trường THPT chuyên của các năm 1996-1997; 1997
-1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 và năm học này.
3) Phương pháp nghiên cứu : Phối hợp đồng loạt tất cả các phương pháp: “trò
chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra trên phiếu học tập, thông qua
kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45phút, 90 phút, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi vào lớp
10 THPT qua nhiều năm,v..v.
Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên trong toàn cấp học. Các đầu sách
tham khảo xuất bản của bộ giáo dục và đào tạo nói về Bất đẳng thức. Sách nói về phương
pháp dạy học – dạy học giải bài tập ( của trường đại học sư phạm) .v..v
III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU :
1) Nhiệm vụ của đề tài : Thực ra, loại toán có dạng “bất đằng thức” các em đã tiếp cận
ngay từ cấp tiểu học. Tuy nhiên mức độ yêu cầu của bài tập chỉ mới dừng lại ở phạm vi: quan
sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trống hoặc biểu thức nào lớn hơn ? vì sao ?. Đối với học
sinh lớp 6, lớp 7 các dạng bài tập về bất đẳng thức được tăng dần với mức độ từ thấp đến cao,
tuy nhiên cụm từ “bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật. Có chăng cũng chỉ là dạng bài: so sánh
biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? ; chứng minh biểu thức A
> B hoặc A < B. Lên đến lớp 8 lớp 9, yêu cầu về mức độ nhận thức cũng như vận dụng kiến
thức có sự đòi hỏi cao hơn. Các em cũng đã biết vận dụng định nghĩa, tính chất và một số
phương pháp thông thường để giải bài tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiện của chữ để một
biểu thức luôn dương, luôn âm, hay biểu thức này lớn hơn biểu thức kia. Vấn đề mà đề tài cần
quan tâm ở đây là: Mức độ hiểu biết, nhận thức và khả năng vận dụng kiến thức về “bất đẳng
thức” đối với cả giáo viên và học sinh cần phải đạt ở mức cao hơn, linh hoạt, sáng tạo hơn.
Đối với học sinh, là người được lĩnh hội kiến thức và vận dụng kiến thức nhằm phát
huy năng lực, phát triển trí tuệ. Để việc tiếp thu cũng như vận dụng có hiệu quả về mảng kiến
thức này, đòi hỏi các em phải có sự cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghép nối các kiến thức
đã được học một cách liên tục, lôgic, có hệ thống. Kiến thức có trước bao giờ cũng là tiền đề
cho kiến thức có sau. Và ngược lại, kiến thức có sau là sự kế thừa hoặc mở rộng từ kiến thức
có trước. Chính vì vậy học sinh phải có sự đam mê trong việc tự học, tự nghiên cứu và vận
dụng. Việc làm này, yêu cầu này đối với mọi học sinh thật không dễ chút nào.
- Đối với giáo viên, là người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, là người

; lớn ,
hơn, bé hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn). Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính
chất của bất đẳng thức thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn. Để đạt được
nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và nắm
vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.
*Định nghĩa1:Hai biểu thức A và B được nối với nhau bởi một trong các quan hệ( <;
≤
; >;
≥
) thì ta nói có một bất đẳng thức. chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A
≥
B ; A
≤
B) là các bất đẳng
thức
* Định nghĩa 2: A>B
⇔
A – B>0; A < B
⇔
A – B < 0; A
≥
B
⇔
A – B
≥
0 ;
A
≤
B
⇔

Tổng quát
1 1
2 2
1 2 1 2
.... ....
...........
n n
n n
a b
a b
a a a b b b
a b
>
>


>

⇒ + + + > + + +



>

(không trừ vế theo vế)
5.
. . 0
. . 0
a c b c c
a b

2 2
1 2 1 2
0
0
. .... . ....
...............
0
n n
n n
a b
a b
a a a b b b
a b
> ≥


> ≥

⇒ >



> ≥

( Không chia vế theo vế )
7. a>b
0
≥
⇒
,

a
∈
R. a
≠
0
* Một số bất đẳng thức thường dùng trong khi giải bài tập .
+ Bất đẳng thức ( a
±
b)
2

≥
0 với
∀
a, b.
+ Bất đẳng thức Côsi ( cauchy) : với a
≥
0, b
≥
0 thì a + b
≥
2
ab
hoặc
2
a b
ab
+
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

A.1/ Loại bài tập có sẵn thuật toán :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
4
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đối với loại bài tập đã có thuật toán, khi dạy giáo viên chúng ta yêu cầu học sinh
không được xem nhẹ vì đây là cơ sở quan trọng để tiến tới giải các bài tập có nội dung khó
hơn, phức tạp hơn . Do vậy học sinh cần hiểu rõ thuật toán là:
+ Năm vững quy tắc giải đã học .
+ Nhận dạng đúng bài toán
+ Giải theo quy tắc một cách thành thạo .
Đối với học sinh lớp 6, lớp 7 các bài tập về “bất đẳng thức” cũng chỉ là dạng bài: so
sánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?. Chứng minh số A >
số B hoặc số A < số B, cụm từ “ bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật.
Ví dụ 1: a) so sánh : 200
300
với 300
200
hoặc chứng minh 200
300
> 300
200

b) So sánh : -200
300
với -300
200
hoặc chứng minh -200
300

Nếu A
n
> B
n
thì A > B
Giải: Câu a) 200
300
=
( )
( )
100
3
100
200 8000000=

300
200
=
( )
( )
100
2
100
300 90000=
Vậy 200
300
> 300
200

Câu b và câu c: Từ kết quả câu a và các quy tắc so sánh hai số hai số nguyên âm, so sánh

= −
+ +
với n
∈
N
*
khi đó :
1 1 1 1 1 1
;
1.2 1 2 2.3 2 3
= − = −
nên
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
5
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A =
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 2009 2010
− + − + + −
=
1 1
1 2010
−
=
2009
2010
Vậy A < 1

như ra đề kiểm tra phù hợp nhiều đối tượng. Đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy
học hiện nay. Hơn thế nữa là thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo yếu kém, củng cố kiến
thức cơ bản, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ngay trong một tiết học.
- Hạn chế : Đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian ( vì lượng bài tập đưa ra quá
nhiều). Nề nếp lớp học không theo ý muốn.
A.2/ Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán:
Loại bài tập này chiếm một số lượng khá lớn, nó gây cho học sinh và cả giáo viên
không ít khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh và trong dạy học của giáo
viên. Khi dạy học sinh giải bài tập dạng này, giáo viên chúng ta không chỉ đơn thuần cung cấp
lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lí để
giải bài toán. Bởi vì “tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Pôlia – 1975).
Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong khi trình bày lời giải dạng toán này, ta có
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
6
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
thể sử dụng một số phương pháp đại cương thông thường. Thông qua lượng đồ giải toán 4
bước của Pôlia.như sau.
B1:Tìm hiểu kĩ nội dung bài tập B2: Xây dựng chương trình giải
B3: Thực hiện chương trình giải B4: Nghiên cứu lời giải
Mỗi giáo viên đều phải hiểu được, đây không phải là một thuật toán để giải bài tập, mà nó chỉ
mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúp cho giáo viên vận dụng vào từng bài cụ thể. Đó cũng là
sáng tạo trong dạy học .
Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa cho nhận định trên.
a) Dùng phương pháp xét hiệu :
Ví dụ :Chứng minh rằng :
a)
2 2

3
với a>0; b>0
e) ( a
10
+ b
10
)(a
2
+b
2
)
≥
(a
8
+ b
8
)( a
4
+b
4
)
Đối với loại bài tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem bài
toán cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm gì ?. Để giải được bài tập dạng này ta cần liên hệ
giữa cái đã cho và cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng những kiến thức
nào ?. Nếu khó quá, học sinh không thể trả lời thì giáo viên chúng ta nên có một số câu hỏi
phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng được chương trình giải. Sau đó giáo viên phối hợp
với học sinh cùng thực hiện chương trình giải theo hướng đã định .
Xét hiệu, biến đổi biểu thúc về dạng phân thức ( bằng các phép toán thông thường ). Sau đó lí
luận dấu của tử và mẫu dẫn tới phân thức không âm rồi kết luận
2 2

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1
1 1 1 1
a b a b a b
b a a b
ab a b
a ab a ab
− −
−
 
+ = −
 ÷
+ + +
+ + + +
 
=
( ) ( )
2 2
2 2
.
1
1 1
b a a ab b ba
ab
a b

1
0
1 1 1
a b ab
a b ab
− −
≥
+ + +
Vậy
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ >
+ + +
với ab >1.dấu “ = “ xảy ra
⇔
a = b
Tương tự với các câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân
tử ( bằng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ). Lưu ý các nhân tử phải có dạng theo
mong muốn ( không âm hoặc luôn dương ). Sau đó lập để suy ra điều cần chứng minh. Giáo
viên nhấn mạnh cho học sinh, phải luôn xét điều kiện để dấu “ = “ xảy ra .
Chẳng hạn :
Câu c: a
3
+ b
3
- a
2
b - ab
2

3
b + ab
3
) =
( )
( )
2
2 2
0a b a ab b− + + ≥
vì (a-b)
2

≥
0; (a
2
+ab+b
2
)>0
Vậy a
4
+ b
4
> a
3
b + ab
3
với a>0; b>0. dấu “ = “ xảy ra
⇔
a = b
Câu e:( a

2
)
≥
0; (a
4
+a
2
b
2
+b
4
) > 0
Vậy ( a
10
+ b
10
)(a
2
+b
2
)
≥
(a
8
+ b
8
)( a
4
+b
4

⇔
C
≥
D
Cuối cùng bất đẳng thức C
≥
D là đúng . Khi đó ta kết luận A
≥
B đúng ( đpcm)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : với
∀
a,b,c,d,e,
∈
R thì : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a ( b+c+d+e)
Muốn giải được bài tập này bằng phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xét
các hạng tử của vế trái và các hạng tử sau khi khai triển của vế phải, từ đó giúp các em thấy
được sự cần thiết phải nhân thêm số 2 vào cả hai vế. Khai triển, chuyển vế và đưa về dạng
tổng các bình phương của các biểu thức. Sau đó dùng lập luận và kết luận bài toán. Cụ thể bài

2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
) - 4a(b+c+d+e)
≥
0
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4a ab b a ac c a ad d a ac c− + + − + + − + + − +
≥
0
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2a b a c a d a e− + − + − + − ≥
0 . Bất đẳng thức đúng .
Vậy a
2
+ b
2
+ c
2
+ d

a + b
≥
0 và ab
≥
0
ab⇒
≥
0 .
Ta có
2
a b
ab
+
≥

⇔
( )
2
2
2 2 2 2
4 2 4 2 0
2
a b
ab a b ab a ab b ab a ab b
+
 
≥ ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ − + ≥
 ÷
 
⇔

≥
 ÷
 
Đối với ví dụ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triển hằng đẳng
thức vế trái, quy đồng, chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi nhận xét .
Minh họa câu b cụ thể như sau:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
8
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
⇔
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 9
a b c a b c ab ac bc+ + + + + + +
≥
⇔
3a
2
+ 3b
2

2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
Ta nhận thấy các hạng tử vế trái có dạng bình phương của một số hoặc một biểu thức,
các hạng tử vế phải là số chẵn luôn có dạng hai lần tích của hai biểu thức, nếu chuyển về một
vế nhóm các hạng tử một cách thích hợp thì có thể viết được dưới dạng bình phương của một
biểu thức. Sau đó lí luận biểu thức không âm và ta có điều phải chứng minh, Cụ thể cách giải
như sau:
Ta có : a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
⇔
: a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
- 4ab + 4ac - 8bc
( )
( )

( )
2
0a b± ≥
với mọi a, b.
+Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a và b ta có
2
a b
ab
+
≥
hay a + b
ab≥
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
+Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d
=
Sau đây là một số ví dụ minh họa giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn.
Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương”
a) Mức độ thấp: Chứng minh rằng : a
2
+ b
2