Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học
phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức
Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki
Practice creative thinking for high school students teaching through solving the
inequality Cauchy and Bunhiacoxk
NXB H. : ĐHKT, 2012 Số trang 77 tr. + Ngô Thị Chung Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán);
Mã số: 60 14 10
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thành Văn
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy. Xây dựng hệ thống
bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy
học giải một số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki. Thực
nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

Keywords: Toán học; Phương pháp giảng dạy; Tư duy sáng tạo; Bất đẳng thức côsi; Bất
đẳng thức Bunhiacopxki

Content.

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nước ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với cộng đồng quốc tế.
Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nước, đổi mới giáo dục là trọng tâm của sự phát triển.

nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc và GV biết khai thác triệt để các bài tập đó để rèn luyện tư
duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thao tác tư duy, rèn năng lực tư duy độc lập, sáng tạo,… )
thì năng lực tư duy của HS sẽ phát triển.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu tài lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến
bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này.
- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này.
- Thực nghiệm sư phạm và thống kê.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một số bài toán về
bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
1.1.1.1. Định nghĩa
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết
[11].
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc
biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí
luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh

sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại
trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của
giải pháp.
1.1.2.2. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí
tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân
tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận để dễ
dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở
ngại
Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa
các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Tính nhuần nhuyễn được
đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra xàng nhiều thì
càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất
lượng.
Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng: khả năng tìm ra những hiện tượng và
những kết hợp mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng
như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý
tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có những đặc trưng sau: khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề, khả
năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái
mới.
1.1.2.3. Một số việc cần làm để phát triển tư duy toán học cho học sinh
Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những

Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba mặt: mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy
học. Cụ thể là: về mặt mục đích dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng
đến việc thực hiện mục đích dạy học của môn toán như hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo,
kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, phát triển năng lực
trí tuệ chung, hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức
hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết.
Về mặt phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến tạo những nội
dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác nhau
1.1.4. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Tóm tắt chƣơng 1
Chương này trình bày một số vấn đề thuộc lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc
trưng của tư duy sáng tạo và phương pháp giải bài tập toán.
Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tôi xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki ở trường
THPT sẽ trình bày trong chương 2.
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY
HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI.
2.1. Bất đẳng thức Côsi
2.1.1. Bất đẳng thức Côsi: Với n số không âm
12
, , , ( 2)
n

Một số hệ quả thường sử dụng:
1,
1 1 4
, 0, 0ab
a b a b
   

. 3,
 
 
2
22
2 , 0, 0a b a b a b    
.
2,
2
, 0, 0
11
2
ab
ab a b
ab

   

.
Trong trường hợp
3n 
, bất đẳng thức Côsi có dạng:
3


     
.
5, Cho
 
1 1 1
, , , 9a b c a b c
abc


     



.
2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng
2.1.2.1. Kĩ thuật cân bằng hệ số
Ví dụ 1: Với
, , 0abc
thỏa mãn
1ab bc ca  
. Chứng minh rằng:
3 3 3
1
3
abc  
.
Chứng minh: Ta có:
3 3 3 3
3

 
3 3 3
2
1
3
abc
ab bc ac

   
.
Phân tích và định hướng lời giải
Biểu thức dưới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số. Để sử dụng được BĐT Côsi ta cần viết:
.1, .1, .1.ab ab bc bc ca ca  

Nói khác đi, ta đã thêm vào thừa số 1 ( hằng số ở đây là 1 ). Khi đó, theo BĐT Côsi, ta có:
3 3 3 3
1 1 1
.1 , , .
333
a b b c c a
ab ab bc ca
     
   
Cộng vế với vế của các BĐT trên, ta được:
 
3 3 3
23
.
3
abc

.
Đến đây, sử dụng BĐT Côsi, ta có:
2 2 2 2 3 3 3 2
2 , 2 , 3 .a x ax b x bx c y y y c      

Cộng 3 BĐT này lại, ta được:
 
   
2 2 3 2 3 2 2 2 3
2 2 2 3 2 3 2 2 .a b c x y x a b y c P x a b y c x y

            


Khi đứng trước một bài toán, điều mà ta mong muốn là làm sao để có thể tận dụng được tối
đa giả thiết của đề bài. Do đó, ý tưởng của bài toán này là chọn các số
,xy
thích hợp sao cho ta có
thể sử dụng được giả thiết. Muốn vậy thì hệ số của
ab
và c phải bằng nhau, tức là
2
23xy
.
Vậy điểm rơi thật sự của bài toán chính là nghiệm của hệ phương trình
2
23
2 3 .
xy
xy

     
     

Đẳng thức xảy ra khi
19 37 37 1
,
12 6
a b x c y

    
.
BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN
Bài 1. Với
,,abc
thỏa mãn
3 3 3
3abc  
. Chứng minh rằng
5 5 5
3P a b c   
.
Hướng dẫn: Ta có
   
5 5 5 3 5 5 5 3 5 5 5 3
5 5 5 3 3 3
1 1 5 , 1 1 5 , 1 1 5
3 6 5 3.
a a a a b b b b c c c c
a b c a b c P
              


        


.
Tương tự
1 1 1 1
100 , 1000
100 1000
bc
bc
     
.
Vậy min
111
1110
1000
P 
đạt được tại
10, 100, 1000a b c  
.
2.1.2.2. Kĩ thuật Côsi ngược dấu
Kĩ thuật Côsi ngược dấu được áp dụng dựa vào tính chất:
1 1 1 1
0 AB
A B A B
       
.
Khi đó,
1 1 1 1

minh. Hãy xét cách tách sau để thấy được hiệu quả của kĩ thuật này. Theo BĐT Côsi thì
22
22
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
     

.
Hoàn toàn tương tự, ta có
22
,.
1 2 1 2
b bc c ca
bc
ca
   


Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta dược:
2 2 2
3
1 1 1 2 2
a b c ab bc ca ab bc ca
abc
b c a
   
       
  

Sử dụng BĐT Côsi, ta có:
3 2 2
2 2 2 2
22
a ab ab b
a a a
a b a b ab
     

.
Hoàn toàn tương tự, ta có 2 BĐT sau:
33
2 2 2 2
,
22
b c c a
bc
b c c a
   

.
Cộng 3 BĐT này lại ta có ngay điều phải chứng minh.
BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN
Bài 1. Với
, , 0, 1x y z xyz
. Chứng minh rằng
4 4 4
2 2 2
3
1 1 1 2

3
22
xy yz zx
x y y z z x

   
. Lại sử dụng Côsi kết hợp với giả thiết, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 , 3 , 3 .x y x y y z xy y z y z z x yz z x z x x y zx        

Cộng các BĐT trên theo vế ta thu được điều phải chứng minh.
Bài 2. Với
, , 0, 1a b c abc
. Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1
a b c
abc
b c a
  
    
  
.
Hướng dẫn: Sử dụng phép tách
 
1
1
1
11

.
Hướng dẫn: Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu, ta có:
3 3 3 2
3 3 3 3 3
1 1 1 1
16 16 16 16 2 2 16 12 16 12
a ab ab ab ab
a a a a
b b b b
       
       
       
   
       
.
Tương tự
22
33
11
,
16 16 12 16 16 12
b bc c ca
bc
ca
   
   
   

   
.

2
2
11
.2 . . 4
2 2 3
b c a c a
b a c b c a c a
   

     


.
Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi
   
, , 0,1,2abc 
hoặc các bộ hoán vị
tương ứng.
2.1.2.3. Kĩ thuật đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Cho
,xy
là 2 số thực khác 0. Chứng minh rằng
 
2 2 2 2
2
22
22
4
3
x y x y

2
22
22
2
22
22
4
5
xy
xy
xy
xy



.
Đặt
 
2
22
22
xy
t
xy


, bài toán được đưa về dạng một biến đơn giản là
4
5t
t

0
tt
t


.
Bài toán đã được giải quyết bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
22
x y x y   
.
Ví dụ 2: Với
, , 0, 1x y z x y z   
. Chứng minh rằng
2 2 2
32
14
xy yz zx x y z

   
.
(ĐTTS lớp 10 chuyên Trần Phú, Hải Phòng 2003 - 2004).
Phân tích và định hướng lời giải
Để ý rằng
   
2
2 2 2
2x y z x y z xy yz zx       
.
Đặt
2 2 2

   

.
Ta có thể chứng minh BĐT này bằng phép biến đổi tương đương. Thật vậy, BDDT trên tương đương
với
     
2
22
3 1 2 2 14 1 2 3 4 14 28 3 1 3 0t t t t t t t t t           
.
BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy phép chứng minh được hoàn tất.
BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN
Bài 1. Với
, , , 0, 1a b c d ab cd  
. Chứng minh rằng
    
42a b c d a b c d      
.
(ĐTTS lớp 10 phổ thông năng khiếu, ĐHQG, TP Hồ Chí Minh 2007).
Hướng dẫn: Đặt
,x a b y c d   
. Bài toán quy về chứng minh
    
4 2 2 2 0xy x y x y      
.
Sử dụng BĐT Côsi ta dễ dàng chứng minh được điều trên.
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, , ,a b c d
ta luôn có:
2 2 2

. . . .
222
yz zx xy yz zx zx xy xy yz yz zx zx xy xy yz
x y z
x y z x y y z z x x y y z z x
   

             
   


   

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, , ,a b c d
ta luôn có:
   
 
3
2
6
3
27
a b c ab bc ca
abc
abc
   


.


Đặt
3 3 3
,,
a b c
x y z
a b c a b c a b c
  
     
. BĐT trên trở thành:
   
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 9 9 3.xy yz zx x y z x y z x y z xyz x y z
xyz xyz xyz
                   

2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
2.2.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Với 2 dãy số thực tùy ý
12
, , ,
n
a a a
và
12
, , ,
n

Hệ quả 1. Với 2 dãy số thực
12
, , ,
n
a a a
và
12
, , , , 0, 1,
ni
b b b b i n  

 
2
2
22
12
12
1 2 1 2
n
n
nn
a a a
a
aa
b b b b b b
  
   

2 2 2
1 2 1 2

nn
a a a n a a a      

2.2.3. Một số kĩ thuật thường dùng
2.2.3.1. Kĩ thuật thêm – bớt
Ví dụ 1. Với
,,abc
là những số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3abc  
. Chứng minh rằng
1 1 1
3
2 2 2abc
  
  
.
Phân tích và định hướng lời giải
Nếu ta áp dụng BCS trực tiếp như thông thường
1 1 1 9
2 2 2 2 2 2a b c a b c
  
       
.
thì sẽ phản tác dụng vì
9
3

     
     
     

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức BCS sao cho giả thiết bài toán được sử dụng tối đa, tức là:
     
 
     
2
2 2 2
4 4 4
3 3 3 3 3 3
.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
abc
a b c a b c
a b c a a b b c c a a b b c c

     
          

Từ đó ta có thể đưa bài toán về chứng minh:
   
3 3 3 4 4 4
32a b c a b c     
.
Chứng minh BĐT này rất đơn giản bằng cách áp dụng Côsi như sau:
 
3 4 4 2 4 2
2a a a a a a    

a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
abc
b c a c a b a b c
b c c a a b
abc

     
      
     
    
     

     
   
  


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
     
  
 
 
2
2
2 2 2
2
b c a c a b a b c
abc
b c a

3 3 3 3
4.
2 2 2 2
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
a c b d c a d b
a b c b c d c d a d a b
   
       
       
       
       
       
   
    
       

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
 
  
 
 
2
2
2
3
16
3
4
2 3 2

abc
abc
ka kb kc
abc
b c a









 
 
2 2 2
3. , , , , ,
4. , , , , ,
kb kc ka
abc
a b c
ka kb kc
abc
bc ac ab






Bunhiacopxki kiểu thông thường
 
 
2
2 2 2
3
33
33
abc
a
a abc b
a a abc b






không cho ta kết quả mong
muốn. Bằng cách xét từng trường hợp như ví dụ trước, ta thấy rằng phép biến đổi thứ 3 thích hợp
nhất cho bài toán này. Đổi biến
,,abc
lần lượt bởi
,,
b c a
a b c
(vì bất đẳng thức cho thuần nhất nên ta
không cần có hệ số k), ta được:
6 6 6
6 3 3 3 3 6 3 3 3 3 6 3 3 3 3

1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 2a a b b c c
  
     
.
Hướng dẫn: đặt
2 2 2
, , , , , 0
yz zx xy
a b c x y z
x y z
   
. Bất đẳng thức cho trở thành
  
4
22
1
2
2
x
x yz x yz



.
Sử dụng BĐT Bnhiacopxki, ta có:
 
  
2
2 2 2

1 1 1
1 1 1
abc
abc
   
  
  
.
Hướng dẫn: đặt
2 2 2
, , , , , 0
yz zx xy
a b c x y z
x y z
   
. Bất đẳng thức cho trở thành
 
   
4 2 2 2
2
2 2 2
2
2
1
x x y z
x yz y zx z xy
x yz

  


Bất đẳng thức này đúng vì
  
2 2 2 2 2
x yz x y x z   
. Đẳng thức xảy ra khi
1abc  

2.3. Các bài toán sáng tạo bất đẳng thức
Bài toán gốc 1: Với
, 0, 1a b a b  
. Chứng minh rằng
11
5F a b
ab
    
.
Chứng minh: Ta có
2
2F ab
ab

. Dấu bằng xảy ra khi
ab
.
Đặt
1
,0
22
ab
t ab t ab

P
P ab ab
ab ab
    
.
Đặt
1
,0
2
t ab t  
. Khi đó,
6
2 2 2 2
1 1 1 1 15
4 4 4 4 15 6 4 .4 .4 .4 . . 15 12 9
2 2 2 2
P
t t t t t t t t t t t P
t t t t
             
.
Bài toán gốc 2: Với
, , 0abc
, chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a b ab b c bc c a ac


2
a b b c c a
P P Q
a b ab b c bc c a ac
  
     
     
.
Ta có:
2 2 3 3
2 2 2 2
1
33
a b ab a b a b
a b ab a b ab
   
  
   
.
Vậy
 
2
2
3 3 3 3 3
abc
a b b c c a a b c
PP

    
     

  
   

.
Hướng dẫn: cộng
1
3
vào 2 vế, ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
3 3 3
2 2 2 2
11
1 1 3
a b a b
a b ab b b a a

  
     
.
Từ đây ta đã đưa được bài toán về với bài toán gốc.
Tóm tắt chƣơng 2
Trong chương 2 đã đưa ra được hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức
Bunhiacopxki cùng với sự dẫn dắt, giảng giải chi tiết đối với từng dạng bài tập nhằm gợi động cơ,
tạo hứng thú, kích thích được tư duy của các em, từ đó các em sẽ bớt bỡ ngỡ hơn khi gặp những bài
toán về chứng minh bất đẳng thức. Đặc biệt trong phần sáng tạo bất đẳng thức đã thể hiện được mục
tiêu lấy người học làm trung tâm. Với yêu cầu xây dựng bài toán mới từ một bài toán gốc đã thực sự
rèn luyện được tính nhạy bén của tư duy, từ đó các em tiếp thu tri thức một cách tự nhiên và luôn có
cảm giác là chính mình khám phá ra những tri thức đó.

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

.
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi
, , ,a b c d
, ta luôn có:
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2
a b c d a b c d
a b b c c d d a
  
   
   
.
Bài 3. Cho
0, 0, 0x y z  
và
4x y z xyz   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4 4
P x y z  
.
Bài 4. Cho ba số thực dương
,,abc
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
3abc  
. Chứng minh rằng
2 2 2
1
2 3 2 3 2 3 2

13/15
2/15

3.4.2. Kết quả từ bài kiểm tra của học sinh
Nhìn chung, học sinh các lớp thực nghiệm có kết quả kiểm tra cao hơn các lớp đối chứng.
Điều đó chứng tỏ học sinh các lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức, vận dụng linh hoạt hơn khi làm
bài. Tỉ lệ điểm khá giỏi ở các lớp thực nghiệm cũng cao hơn so với các lớp đối chứng, cho thấy mức
độ nhận thức của học sinh lớp thực nghiệm sâu sắc hơn.
Tóm tắt chƣơng 3
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh. Quá trình
thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: trong các giờ thực nghiệm sư
phạm, học sinh tích cực xây dựng bài hơn, học sinh lớp thực nghiệm có điểm kiểm tra cao hơn lớp
đối chứng.
Kết quả thực nghiệm đã phần nào cho thấy tính thiết thực, khả thi của phương pháp đưa ra,
mục đích của thực nghiệm sư phạm đã hoàn thành.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:
Thứ nhất, cơ sở lí luận và thực tiễn về tư duy và tư duy sáng tạo: đưa ra một số khái niệm về
tư duy và tư duy sáng tạo theo quan điểm của một số tác giả trong và ngoài nước; các thao tác của tư
duy và tư duy sáng tạo; một số việc cần làm để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh; vai trò của
bài tập toán học trong bộ môn Toán.
Thứ hai, xây dựng được hệ thống bài tập, hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải các bài
toán có nội dung về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki. Phương pháp đưa ra bao
gồm những hoạt động, những câu hỏi trong những tình huống thích hợp nhằm gợi động cơ, tạo hứng
thú, kích thích tính tích cực tìm tòi, khám phá những tri thức mới, kĩ năng mới cho học sinh
Thứ ba, tổ chức thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh. Trong các
giờ thực nghiệm sư phạm, học sinh tích cực xây dựng bài hơn, học sinh lớp thực nghiệm có kết quả
kiểm tra cao hơn lớp đối chứng. Các giờ thực nghiệm đã phần nào cho thấy được tính khả thi của
phương pháp rèn luyện tư duy, sáng tạo cho học sinh đã đưa ra trong luận văn.