Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng
đạo hàm

Vũ Thị Nhung

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất
đẳng thức, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm
kiếm lời giải một cách có hiệu quả. Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng
thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó. Thực
nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải
bằng đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả
điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất.

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Tư duy sáng tạo; Bài tập; Bất đẳng thức;
Đạo hàm Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố
quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những
con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà

7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, kết hợp với điều tra, quan sát, thực nghiệm sư phạm và thống kê toán học
8. Những đóng góp của luận văn
- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm nhằm rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả.
- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được
giải bằng đạo hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy
1.1.1 Tư duy là gì ?
Trên thế giới và ở Việt Nam có nhiều quan điểm về tư duy. Theo M.N.Sacđacôp: Tư duy là sự
nhận thức khái quát gián tiếp các sự vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu,
những thuộc tính chung và bản chất của chúng. Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự
vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát hóa đã thu nhận
được.
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy
Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua
việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận
thức.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy
- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện. Tư duy phản ánh gián tiếp,
không tách rời quá trình nhận thức cảm tính.
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy

phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới
1.3.3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
1.3.4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học
1.4. Thực trạng dạy và học bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm ở trƣờng THPT
Có thể nói, bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, phong phú về thể loại và phương pháp giải,
nên khi làm bài tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt được dạng và phương pháp giải,
thậm chí không giải quyết được. Phần lớn học sinh thấy sợ học bất đẳng thức và không hứng thú
với chủ đề này nhiều khi còn gây tâm lí chán nản đối với các em. Không những thế, trong các đề
thi đại học thường có bài tập về bất đẳng thức, các bài tập này tương đối phức tạp nên để học tốt
phần này giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức.
Kết luận chƣơng 1 Trong chương
này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo,
phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán và thực
trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT.
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ
BẤT ĐẲNG THỨC ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số
2.1.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
2.2. Giải bài tập bất đẳng thức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số
Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất
đẳng thức Bunhiacopxki , thì sử dụng đạo hàm cũng là một công cụ hữu ích. Trong nhiều
trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh bất đẳng thức thì lời giải bài

nghịch biến trên D
Nếu


, chứng minh
()fx
đồng biến trên D.
Cách 2:
Xét hiệu
f A B
trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó.
Nếu
f
nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại
, D


,
: ( )f A B
  
  
và
( ) 0f A B

  

Nếu
f
đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại
, D

0
2
x



Ta có
'
( ) cos 1 0f x x  
với
0
2
x


hàm số
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
<
(0)f
với

x 

Bài giải
Xét hàm số
3
( ) sinx
6
x
f x x  
với
0x 

Ta có
2
'
( ) 1 cos
2
x
f x x  "
( ) sinxf x x  '''( ) 1 cos 0f x x   
với
0x 
với
0x '
( ) 0fx
với
0x 

()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)

Do đó
( ) (0)f x f
với
0x 3
sinx<0
6
x
x  
với
0x 


44
( ) (1 )f x x x  

Ta có
' 3 3
( ) 4 4(1 )f x x x  '
1
( ) 0
2
f x x  

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có
1
()
8
fx
với mọi
x

Đẳng thức xảy ra khi
1
2
xy

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có:


x -


2
1
+

f
'
(x) - 0 +
f(x) 1
8

Ta có
'
2
2 1 1
( ) cos . 1
3 3 os
f x x

Do đó
()fx
>
(0)f
với
0
2
x

21
sinx+ tanx 0
33
x  
với
0
2
x

21
sinA+ tanA 0
33
A  
2
x


, ta có:
3
1
2sin tanx
2
2 2 2
x
x



Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2sin tanx 2sin tanx 2sin tanx
2 2 2 2 2 2 2
x x x
  

Ta sẽ đi chứng minh :
3
1
2sin tanx
2
2 2 2
x
x

3
22
11
( ) (cos cos ) 3 3 cos .cos . 3
os os
f x x x x x
c x c x
      

'
( ) 0fx
với
0
2
x




hàm số
()fx
đồng biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
>
(0)f

ln(a
adcb
dcb
)

ln(
cbad
dcba
)


b.lna + c.lnb +d.lnc + a.lnd

d.lna + a.lnb + b.lnc + c.lnd


(d – b)( lnc –lna )

(c – a)( lnd – lnb ) (2)
Nếu a = c hoặc b = d thì (1) hiển nhiên đúng.
Nếu a

c hoặc b

d :
(2)

bd
bd
ac

1
x
fx
x


với
);1( x

Ta có:
'
2
1 ln
()
(1 )
x x x
fx
xx




Xét hàm số: g(x) = x – 1 – xlnx với x > 1
g
'
(x) = 1 – ( lnx + 1 ) = - lnx < 0 với

x > 1




f(
)
b
d
)1(
ln
)1(
ln



b
d
b
d
a
c
a
c

Mà 0 < a

b nên ta suy ra :
b
b
d

lồi trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó
đều nằm phía trên đồ thị.
Đồ thị (C) của hàm số
()y f x
lõm trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó
đều nằm phía dưới đồ thị.
Dấu hiệu đồ thị lồi, lõm.
Định lí 1: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
 
;ab
. Nếu
"
( ) 0fx

với mọi
 
;x a b
thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b

'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

ii) Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b
thì
'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi
0
xx

* Ta biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y f x
tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm
phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại
điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua đồ thị nên ta có nhận xét sau:

3
10
1 1 1
a b c
abc
  
  

Bài giải
Xét hàm số
2
()
1
x
fx
x


với
(0;1)x

Ta có:
'"
2 3 2 5
13
( ) ( ) 0
(1 ) (1 )
x
f x f x
xx

f a a  27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f b b  27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f c c  


27 27 3
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 10 10 10
f a f b f c a b c      

Do
1abc  
nên
3
( ) ( ) ( )
10
f a f b f c  


0


f (a) f (b) f (c) 0 ( trong đó
43
( ) 2f x x x
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
43
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
2x 
là:
y 8x -16
Xét f (x) (8x -16) 
43
2 8 16x x x  
 
22
( 2) ( 2 4)x x x  
0 với x
Vậy
( ) 8 6f x x
với x
Suy ra
( ) 8 16f a a( ) 8 16f b b


* Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa. Tùy thuộc vào từng bài
toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp.
Ví dụ 9. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
a b c ab bc ca    

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
BĐT (1)
2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 9a a b b c c a b c         

Đặt
2
( ) 2f x x x
với
(0;3)x

Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
1x 
là:
3yx

Xét f (x) 
3x

(đpcm)
Ví dụ 10. Cho
, , 0abc
thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1 2)
b c a
a a b b c c       

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
Lấy lôganêpe hai vế bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bất đẳng thức:
2 2 2
ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) 3ln(1 2)b a a c b b a c c         

Xét hàm số
2
( ) ln( 1 )f x x x  
với
(0;3)x

Ta có:
'
2 2 3
1
( ) "( )
1 (1 )


1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f b b   1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f c c   

11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln(1 2)
22
bf a cf b af c ab bc ca a b c a b c            
Do
3ab bc ca a b c     
nên
( ) ( ) ( ) 3ln(1 2)bf a cf b af c   

đpcm
Ví dụ 11. Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
b c c a a b a b c

với
(0;1)x
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
()
(1 )
x
fx
x


tại điểm có hoành độ
1
3
x 
là:
18 3
4
x
y



Xét f (x) 
18 3
4
x 

2

18 3
()
4
a
fa

18 3
()
4
b
fb

18 3
()
4
c
fc



18 9
( ) ( ) ( ) ( )
44
f a f b f c a b c      

f x f x f x x x x
f
nn
     





Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

2. Hàm số
()fx
là hàm lõm trên khoảng đó (
"
( ) 0 ( ; ))f x x a b  

và
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
. Khi đó ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
nn

sao cho
12
1
n
t t t   
.
Khi đó
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
t f x t f x t f x f t x t x t x      

Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Khi hàm
()fx
là hàm lõm trên khoảng
( ; )ab
thì ta có bất đẳng thức đổi chiều. Đẳng thức xảy
ra khi
12

n
x x x  

Sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức:

n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

hoặc
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

Bước 2: Xét hàm số
()y f x
, dùng đạo hàm khẳng định hàm số là lồi hoặc lõm.
Bước 3: Kết luận.
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:
2
22
22
x y x y





Bài giải
Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:



Đẳng thức xảy ra khi
xy

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta chỉ cần dùng một hàm lõm để chứng minh một bất đẳng thức
nhưng có bất đẳng thức muốn chứng minh được ta phải dùng nhiều hàm lõm ( hoặc lồi).
Ví dụ 13. Chứng minh rằng trong mọi
ABC
ta đều có:
222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
  

Bài giải
Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:
'"
( ) 2 ( ) 2 0f x x f x   
với
x


hàm số lõm trên tập








Ta đã chứng minh được:
tan tan tan 3
2 2 2
A B C
  

nên
222
2
tan tan tan
3
2 2 2
33
A B C





222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
   

(0; )
2
x




hàm số lồi trên khoảng
(0; )
2


Không mất tính tổng quát, ta giả sử C là góc nhỏ nhất trong
ABC
,
suy ra
0
3
C


. Khi đó ta có:

cos cos cos 2cos os cos
22
A B A B
A B C c C

   


2
2
AB
c
AB
C










3
AB
C









3
a b c b c a c a b
abc
abc
    

   




 
2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
3
a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c

        

     


Xét hàm số
( ) ln( )f x a b c x   

Ta có:
'"
2

b c c a a b a b c
a b c a b c a b c a b c


         

       


Mặt khác ta lại có:
2 2 2 2
1
()
3
a b c a b c       
2 2 2
2
3
abc
a b c a b c
abc

      
   


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc

Nhận xét: Ví dụ trên ngoài việc sử dụng thêm bất đẳng thức kinh điển ta còn gặp khó khăn trong
việc chọn hàm số để xét tính lồi, lõm.
Bài tập đề nghị
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả
của đề tài.
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
- Biên soạn tài liệu, sau đó chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực
nghiệm.
- Thu thập thông tin phản hồi, qua đó đánh giá chất lượng, hiệu quả và tính khả thi của các biện
pháp rèn luyện tư duy sáng tạo mà luận văn đã đưa ra.
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm
Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở một số lớp 12
trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng.
Thực nghiệm được thực hiện song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
Ngoài ra, chúng tôi còn kết hợp chặt chẽ với các phương pháp khác như: quan sát, tổng kết kinh
nghiệm, phát phiếu điều tra…
3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Chọn nội dung thực nghiệm
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số.
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến.
3.3.2. Tổ chức thực nghiệm

6
7
8
9
10
Số
bài
Thực nghiệm
0
0
0
7
5
22
21
16
12
4
2
89
Đối chứng
0
4
8
7
15
19
20
13
5

18
20%
3.4.2.2. Nhận xét, đánh giá
Nhìn chung, học sinh lớp thực nghiệm có kết quả kiểm tra cao hơn lớp đối chứng. Tỉ lệ điểm trên
trung bình của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Tỉ lệ khá giỏi ở lớp
thực nghiệm cũng cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Kết quả thực nghiệm cho thấy ở lớp thực
nghiệm do được rèn luyện kỹ năng hoạt động trí tuệ và rèn luyện năng lực suy nghĩ độc lập sáng
tạo nên năng lực tư duy của học sinh nâng cao rõ rệt. Biểu hiện trong bài làm của mình là các em
nhớ lâu, nhớ chính xác hơn, có sự sáng tạo trong bài làm, thể hiện ở chất lượng bài làm của nhiều
học sinh tương đối tốt, điểm số ở các bài kiểm tra ổn định. Học sinh lớp đối chứng với trình độ
ngang bằng lớp thực nghiệm, nhưng cách giảng dạy theo phương pháp thông thường không phát
huy được việc tích cực đào sâu tư duy, sáng tạo trong quá trình nắm bắt kiến thức, vận dụng kiến
thức để giải quyết yêu cầu đa dạng của bài toán của học sinh như ở lớp thực nghiệm. Tuy nhiên
còn một số lượng không nhỏ các bài kiểm tra đạt điểm dưới trung bình. Có nhiều yếu tố ảnh
hưởng đến con số này, nhưng trong đó có một phần là do việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh trung học phổ thông thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm còn
chưa phát huy được hiệu quả cao đối với một số học sinh thuộc đối tượng học sinh có học lực
yếu và ý thức học tập chưa cao. Điều này cần được dần dần khắc phục.
Kết luận chƣơng 3
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy:
1) Mục đích của thực nghiệm đã hoàn thành.
2) Tính thiết thực, khả thi của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm đã được khẳng định.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Qua quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau:
1. Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo và phát triển kỹ năng tư duy sáng tạo.
2. Kết quả điều tra thực tiễn cho thấy việc rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ
thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ít được giáo viên và học sinh
quan tâm (về nhận thức và vận dụng).

bất đẳng thức. Nxb Giáo dục.
9. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức. Nxb Tri Thức.
10. Phan Huy Khải (2001), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức tập 1. Nxb Hà Nội.
11. Phan Huy Khải (2002), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức tập 2. Nxb Hà Nội.
12. Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng. Nxb Giáo dục.
13. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư Phạm.
14. Nguyễn Kỳ (1995), Phương pháp dạy học tích cực. Nxb Giáo dục.
15. Lê Bích Ngọc - Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Hữu Trí (2005), Đạo hàm và
các ứng dụng. Nxb Hà Nội.
16. Nguyễn Văn Nho (2003), Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương. Nxb Giáo dục.
17. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với nghiên cứu toán
học. Nxb Giáo dục.
18. Nguyễn Cảnh Toàn (2006), Nên học toán thế nào cho tốt. Nxb Giáo dục.
19. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt. Nxb thành phố Hồ Chí Minh.
20. Jiri Sedlacek (Nguyễn Mậu Vị dịch) (2002), Không sợ toán học. Nxb Hải Phòng.