ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ MAI HOA
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 601410
HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ………………………………………………………… 1
2. Lịch sử nghiên cứu ……………………………………………………… 1
3. Mục tiêu nghiên cứu ……………………………………………… …… 2
4. Vấn đề nghiên cứu …………………………………………………. …… 2
5. Giả thuyết khoa học ……………………………………………… …… 2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………………. …… 2
7. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………… 3
8. Những đóng góp của luận văn …………………………………… …… 3
9. Cấu trúc luận văn ………………………………………………………… 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN …………………. …… 5
1.1. Tư duy ………………………………………………………………… 5
1.1.1. Tư duy là gì ? ………………………………………………………… 5
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy …………………… …… 5
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy ……………………………………. … 6
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy ………………………………………… 7
1.1.5. Các thao tác tư duy …………………………………………… …… 7
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy ……………………………… …… 7
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển ……………………………. …… 8
1.2. Tư duy toán học ………………………………………………… …… 8
1.2.1. Tư duy khoa học tự nhiên …………………………………………… 8
1.2.2. Tư duy toán học ……………………………………………………… 9
1.3. Tư duy sáng tạo ……………………………………………………… 10
1.3.1. Tư duy sáng tạo là gì?……………………………………………… 10
1.3.2. Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh……………………………………………… 10
Chƣơng 2: RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ

2. Khuyến nghị …… ……………………………….……………… …….96
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO …… ………………………….98
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhân loại đang bƣớc vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con
ngƣời đƣợc xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội
tƣơng lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con ngƣời có trí tuệ, thông
minh và sáng tạo. Muốn có đƣợc điều này, ngay từ bây giờ nhà trƣờng phổ
thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại,
phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tƣ duy sáng tạo.
Thế nhƣng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho

- Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?
- Sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm nhƣ thế nào để rèn
luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học?
5. Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm giúp cho học
sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua
đó rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động tƣ duy của học sinh trong quá trình giải bài tập
về ứng dụng của đạo hàm, từ đó hƣớng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận
giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả.
- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và
đƣa ra phƣơng pháp chung cho mỗi loại đó.
- Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về
ứng dụng của đạo hàm đã đƣợc phân loại và xây dựng để phát triển năng lực
tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối chiếu
kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng
áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất.

3
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu lí luận về tƣ duy, rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh
trung học phổ thông.
- Nghiên cứu tác dụng và cách sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo
hàm trong dạy học toán học.
7.2. Điều tra, quan sát
- Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm việc dạy chủ đề này.
- Điều tra thực trạng nhận thức và năng lực tƣ duy sáng tạo của học
sinh phổ thông trung học trong quá trình giải các bài tập về ứng dụng của đạo

5
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì?
L.N. Tônxtôi đã viết: "Kiến thức chỉ thực sự là kiến thức khi nào nó là
thành quả những cố gắng của tƣ duy chứ không phải của trí nhớ". Nhƣ vậy,
học sinh chỉ thực sự lĩnh hội đƣợc tri thức chỉ khi họ thực sự tƣ duy.
Theo M.N. Sacđacôp: "Tƣ duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp các
sự vật và hiện tƣợng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính
chung và bản chất của chúng. Tƣ duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự
vật, hiện tƣợng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái

+ Tư duy phản ánh khái quát:
Tƣ duy phản ánh hiện thực khách quan, những nguyên tắc hay nguyên
lý chung, những khái niệm hay vật tiêu biểu. Phản ánh khái quát là phản ánh
tính phổ biến của đối tƣợng. Vì thế những đối tƣợng riêng lẻ đều đƣợc xem
nhƣ một sự thể hiện cụ thể của quy luật chung nào đó. Nhờ đặc điểm này, quá
trình tƣ duy bổ sung cho nhận thức và giúp con ngƣời nhận thức hiện thực
một cách toàn diện hơn.
+ Tư duy phản ánh gián tiếp:
Tƣ duy giúp ta hiểu biết những gì không tác động trực tiếp, không cảm
giác và quan sát đƣợc, mang lại những nhận thức thông qua các dấu hiệu gián
tiếp. Tƣ duy cho ta khả năng hiểu biết những đặc điểm bên trong, những đặc
điểm bản chất mà các giác quan không phản ánh đƣợc.
+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:
Quá trình tƣ duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, liên hệ chặt chẽ với nó
trong quá trình đó nhất thiết phải sử dụng những tƣ liệu của nhận thức cảm
tính.

7
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy
a) Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng và chính xác đối tƣợng
cần lĩnh hội, mục đích phải đạt đƣợc và những con đƣờng tối ƣu đạt đƣợc
mục đích đó.
b) Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tƣợng khác.
c) Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện
tƣợng.
d) Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức và cách
thức hành động vào những tình huống khác nhau một cách sáng tạo.
e) Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tƣ duy đƣợc tiến hành theo các
hƣớng xuôi ngƣợc chiều.
f) Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện ra vấn đề, đề xuất

1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển.
a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình
huống mới. Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn
đề đòi hỏi phải liên tƣởng đến những kiến thức đã học trƣớc đó. Nếu học sinh
độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tƣ
duy phát triển.
b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách
nhanh chóng.
c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế:
Định hƣớng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tƣ duy
để tìm cách tối ƣu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.
1.2. Tƣ duy toán học
1.2.1. Tư duy khoa học tự nhiên
Tƣ duy khoa học tự nhiên đƣợc đặc trƣng bằng các phƣơng pháp nhận
thức khoa học tự nhiên, bao gồm:

9
- Hiểu vấn đề.
- Xác định vấn đề một cách chính xác.
- Xác định giới hạn giữa nó và các vấn đề khác.
- Nghiên cứu tất cả các yếu tố liên quan đến vấn đề đã nêu.
- Vạch kế hoạch tìm tòi cách giải quyết.
- Chọn lựa những suy đoán chính xác nhất.
- Tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả thuyết.
- Thực nghiệm đánh giá kết quả.
- Rút ra kết luận và cơ sở khoa học của chúng.
- Chọn lựa phƣơng án giải quyết tối ƣu.
- Mở rộng kết quả sang trƣờng hợp tƣơng tự.
1.2.2. Tư duy toán học

tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay một lĩnh vực.
Tƣ duy sáng tạo có liên quan đến các chức năng tâm lý sau:
- Nhận thức đƣợc đặc điểm bản chất của tình huống mới do ngƣời khác
nêu ra hoặc tự mình đƣa ra vấn đề cần giải quyết.
- Sáng tạo ra công cụ mới, phƣơng pháp mới, cách thức phù hợp với
hoàn cảnh mới (trên cơ sở những tri thức và kinh nghiệm tiếp thu đƣợc trƣớc
đó).
1.3.2. Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Theo thuyết hoạt động có đối tƣợng thì năng lực chỉ có thể hình thành
và phát triển trong hoạt động. Để giúp học sinh phát triển năng lực tƣ duy, mà
đỉnh cao là tƣ duy sáng tạo, thì cần phải rèn luyện cho học sinh hoạt động tƣ
duy sáng tạo, mà đặc trƣng cơ bản nhất là tạo ra những phẩm chất tƣ duy
mang tính mới mẻ. Trong học tập toán học, một trong những hoạt động chủ
yếu để phát triển tƣ duy cho học sinh là hoạt động giải bài tập. Vì vậy, giáo
viên cần phải tạo điều kiện để thông qua hoạt động này các năng lực trí tuệ
đƣợc phát triển, học sinh sẽ có những sản phẩm tƣ duy mới, thể hiện ở:
- Năng lực phát hiện vấn đề mới.
- Tìm ra hƣớng đi mới.
- Tạo ra kết quả mới.
Để làm đƣợc điều đó, trƣớc hết ngƣời giáo viên cần chú ý hoạt động
giải các bài tập ứng dụng của đạo hàm để tìm ra kết quả không phải chỉ là

11
mục đích mà chính là phương tiện hiệu nghiệm để phát triển tƣ duy cho học
sinh. Bài tập ứng dụng của đạo hàm phải đa dạng phong phú về thể loại và
đƣợc sử dụng trong tất cả các khâu của quá trình dạy học nhƣ nghiên cứu tài
liệu, ôn tập, luyện tập, kiểm tra … Thông qua hoạt động giải bài tập ứng dụng
của đạo hàm, mà các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp, khái
quát hóa, trừu tƣợng hóa, … thƣờng xuyên đƣợc rèn luyện và phát triển, các

3. Tƣ duy sáng tạo là gì? Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo
hàm và việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
Tất cả những vấn đề trên là cơ sở cho phép chúng tôi nêu lên một số
vấn đề, cần đƣợc hiểu và làm theo quan điểm tiếp cận hệ thống, góp phần rèn
luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học. 13
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số

)('
0
xf
hoặc
)('
0
xy
,
nghĩa là

)('
0
xf
=
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx




Nếu đƣa vào số gia
0
xxx 
của biến số tại điểm

lim

2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Cho hàm số
f
xác định trên tập
J
, trong đó
J
là một khoảng hoặc là hợp
của những khoảng nào đó.
Hàm số
f
gọi là có đạo hàm trên
J
nếu nó có đạo hàm
)(' xf
tại mọi điểm
x

thuộc
J
.
Nếu hàm số
f
có đạo hàm trên
J
thì hàm số
'f
xác định bởi


'






v
u
=
2
''
v
uvvu
.
2.1.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
)(xgu 
có đạo hàm theo
x
kí hiệu là
x
u'
hàm số
)(ufy 
có
đạo hàm theo
u
kí hiệu là

là hằng số) (1)

1'
.)(




xx
(3)

2
'
11
x
x








(
)0x
(5)
(
x
)

uuu




(4)

2
'
'1
u
u
u








(6)
(
u
)
u
u
2
'
'


(15)
(e
x
)
'
e
x
(17)
(a
x
)
'
a
x
.lna (19)
(ln
x
)
x
1
'
(21)
(log
ax
x
ln
1
)'
(23)

(22)
(log
au
u
u
ln
'
)'
(24)
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm
)(xfy 
có đạo hàm
)('' xfy 
. Đạo hàm này lại có thể có đạo
hàm. Đạo hàm của
)('' xfy 
đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số
)(xfy 

và đƣợc kí hiệu là
''y
hay
)('' xf
. Nếu đạo hàm cấp hai có đạo hàm thì đạo
hàm ấy đƣợc gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số
)(xfy 
và đƣợc kí hiệu là
'''y
hay

2.2. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức
Ta biết rằng hàm số hằng
cy 
có đạo hàm trên R và
0'y
. Đảo lại, ta có
định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số
)(xfy 
có đạo hàm trong khoảng (
ba,
) và
)(' xf
= 0

),( bax
thì hàm số
)(xfy 
không đổi trong khoảng (
ba,
).
Từ đó, sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức ta làm nhƣ sau:
Giả sử cần chứng minh hàm số
)(xfy 
là hàm hằng trên tập D, D có thể là
một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Bƣớc 1: Tính
)(' xf
, rồi chứng minh
)(' xf

)sin(
bx 
)sin(
ba 
) = cos
2
(
ba 
).
Lời giải
Xét hàm số
y
= cos
2
(
ax
) + sin
2
(
bx 
) – 2cos(
ax
)sin(
bx 
)sin(
ba 
).
Ta có
'y
= sin(

)sin(
ba 
) – 2sin(
ba 
)cos(
bax 2
) = 0.


Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta có
y
=
y
(
b
) = cos
2
(
ba 
).
Vậy
y
= cos
2
(
ba 
).
Nhận xét: Rõ ràng trong ví dụ này, sử dụng đạo hàm làm cho lời giải của bài
toán ngắn gọn hơn, việc tính đạo hàm và chứng minh

2
x
+ 3cos
2
x
+ 1
không phụ thuộc
x
.
Lời giải
Ta có: A không phụ thuộc x

A’ = 0
x
.


–2sin
x2
– 2
m
cos
x
sin
x
– 6sin
x
cos
x
= 0


a
(cos
x
–1) +
2
b
– cos(
ax
+
2
b
) = –1. (*)
Lời giải
Đặt
)(xf
=
a
(cos
x
–1) +
2
b
– cos(
ax
+
2
b
).
Từ đó:

x
.



a
[sin(
ax
+
2
b
) – sin
x
] = 0
x
.








).3(;,sin)sin(
0
2
xxbax
a


(0)=0).
Với
b
= 0 thay vào (3) ta có: sin
ax
= sin
x

x

a
= 1.
Vậy với
a
=
b
= 0 hoặc
a
= 1;
b
= 0 thì phƣơng trình nghiệm đúng với
mọi
x
.
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán này nếu áp dụng điều kiện cần và đủ
nhƣng lời giải dài và phức tạp hơn. Cụ thể lời giải nhƣ sau:
1.Điều kiện cần. Giả sử (*) đúng với mọi
x
. Nói riêng cũng đúng khi
x

x
khi
a
= 0.

18
Vậy ta chỉ cần xét khi
a

0. Do (4) đúng với mọi
x
nên (4) đúng khi
x
= 2

,
khi ấy có: cos

a2
= 1


ka 22 
.
Do
a

0 nên ta có
a
=

= 2

m

a
=
m
1
(6).
Từ (5) và (6), với
mk,
nguyên nên ta có
a
= 1 hoặc
a
= –1.
Vậy
b
= 0 và (
a
= 0 hoặc
a
=

1) là điều kiện cần để (*) đúng
x
.
1. Điều kiện đủ. Xét 3 trƣờng hợp sau:
- Nếu
a

= 0 (7).
Rõ ràng (7) không thể đúng

x
, vậy
a
= –1;
b
= 0 không thỏa mãn.
Tóm lại với
a
=
b
= 0 hoặc
a
= 1;
b
= 0 thì phƣơng trình nghiệm đúng với
mọi
x
.
Nhận xét: Nhƣ vậy bên cạnh phƣơng pháp điều kiện cần và đủ, ta có thể sử
dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình nhận
x

D làm
nghiệm. Mặt khác sử dụng đạo hàm giúp cho giải bài toán trở nên ngắn gọn
và dễ hiểu hơn.
Bài tập đề nghị:
Bài tập 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

cossin 
= 1.

19
Hƣớng dẫn
Đặt
)(xf
=
xx
mm
cossin 
.



)(xf
= 1









).2(;1)
4
(
).1(;,0)('

cos
x
(
x
m 2
sin

–
x
m 2
cos

) = 0,
x
.








xxx
m
mm
,0cossin
0
22


2
2
00


















, không thỏa mãn.
– Với
m
= 2, ta đƣợc:






thỏa mãn.
Vậy với
m
= 2 phƣơng trình nghiệm đúng với mọi
x
.
Bài tập 3. Tìm
a
,
b
để phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi
x
:
a)
.
2
3
)]
3
2
(cos)
3
2
([coscos
222


xxbxa

b) 2

,
16
5
 ba
c)
.0,1  ba20
2.3. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển nhƣ bất
đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki…,thì sử dụng đạo hàm cũng
là một công cụ hữu ích. Trong nhiều trƣờng hợp, sử dụng đạo hàm thì lời giải
bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức
A

B,
trên D, với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thƣờng dùng hai cách
sau:
Cách 1:
Xét
f
là một hàm số của một đối số nào đó,
f
xác định trên D và thỏa
mãn
)(


nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại


,
D,


:
)(

f
= A–B và
)(

f
= 0

A

B.
Nếu f đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại


,
D,


:
)(
