ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN
HÀ NỘI - 2014 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNGLUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành, sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy không chỉ hướng dẫn
và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu
vii
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
5
1.1. Tư duy
5
1.2. Tư duy sáng tạo
6
1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
9
1.3.1. Tính mềm dẻo
9
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
11
1.3.3. Tính độc đáo
21
1.3.4. Tính hoàn thiện
22
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
25
1.3.6. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
28
1.4. Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong
việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
30
1.5. Kết luận chương 1
32
Chƣơng 2: MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VÀ
lời giải
41
2.3.2. Khai thác mối quan hệ cái chung và cái riêng trong việc tìm tòi lời
giải lời giải bài toán và sáng tạo bài toán mới
44
2.3.3. Khai thác mối quan hệ giữa nội dung và hình thức để quy các bài
toán lạ về quen
47
2.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương
trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giấ giá trị hai vế
49
2.4.1. Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế
49
2.4.2. Ví dụ minh hoạ
49
2.5. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một phương trình,
hệ phương trình
54
2.6. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây
dựng phương trình và hệ phương trình mới
66
2.6.1. Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về hệ phương trình
66
2.6.2. Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai cho trước
100
2.10. Kết luận chương 2
105
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
106
v
3.1. Mục đích thực nghiệm
106
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
106
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
106
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
107
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
109
3.3.1. Đánh giá định tính
109
3.3.2. Đánh giá định lượng
110
3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
112
KẾT LUẬN
113
TÀI LIỆU THAM KHẢO
114
vi
3u v
……………………………………………………
56
Hình 2.2:
Bảng biến thiên hàm số
2
( ) 2 9f t t t
trên
3;3 2
…………
57
Hình 2.3:
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ đường tròn
2 2
9u v
và đường
thẳng
1 1 2u v m
………………………………………
Hình 2.7:
Đường thẳng
x y k
và nửa đường tròn
2 2
1x y
……………
82
Hình 2.8:
Minh họa ví dụ 2.7.3………………………………………………
83
Hình 2.9: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ nhất 85
Hình 2.10: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ hai… 86
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con người được
đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổi
mới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương
pháp giáo dục. Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghi rõ: “Phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
cho học sinh.
Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát tr iển tư duy sáng tạo trong giảng
dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu.
Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc
phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học phương trình và hệ phương trình
trong chương trình phổ thông .
Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:
"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình
và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông."
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện và bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệ
phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông.
3. Phương pháp nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn
2
Toán.
- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.
3.2. Điều tra, quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thống bài tập
chọn lọc.
3.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một đối tượng.
4. Phạm vi đề tài
Nghiên cứu các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong chương
trình toán trung học phổ thông.
Thời gian: Năm học 2012 – 2013.
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa
biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản
chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên
hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn Quang
Cẩn)
Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián
tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên
hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu
biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân
tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết
chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy
5
bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".
Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy.
• Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
• Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
• Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của
con người nhằm phản ánh đối tượng.
• Tư duy là quá trình phát tr iển năng động và sáng tạo.
• Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong [9], G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó
dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy
đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận
dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu
muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng
của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán
khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn
lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người
khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Trong [24], Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:
"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương
đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn
toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành
tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị
cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là
tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới
7
về thế giới về các phương thức hoạt động. Trong [15], Lene đã chỉ ra các thuộc
tính sau đây của tư duy sáng tạo:
• Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
• Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"
• Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
• Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
• Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời
giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một
phương thức mới).
1 +
1 −x
2
(1 −x)
2
−
(1 + x)
3
= 2 +
1 −x
2
.
Phân tích, tìm tòi lời giải:
Điều kiện: −1 ≤ x ≤1.
Khi giải bài toán này, vì có căn bậc hai nên học sinh thường nghĩ ngay đến
phương pháp dùng phép biến đổi tương đương (bình phương hai vế). Quá trình
đó vô cùng phức tạp vì trong phương trình có nhiều căn thức.
9
Đến đây sẽ đưa các em vào một tình huống có vấn đề: phải tìm một phương
pháp khác tối ưu hơn để có thể giải được bài toán.
Do đặc thù của bài toán nên ta chỉ còn trông cậy vào khả năng hữu tỷ hóa
bằng cách đưa vào các ẩn phụ để chuyển phương trình vô tỷ một ẩn khó giải về
hệ phương trình hữu tỷ.
2
+ uv
= 2 + uv
⇔
u
2
+ v
2
2
+ uv(u −v)(2 + uv) = 2 + uv
u
2
−v
2
=
√
2.
Như vậy, việc giải phương trình đã cho chuyển về việc giải hệ phương trình hữu
tỷ đơn giản
u
2
−v
2
=
√
2
u
khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương
pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều
kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải
các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra
giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng
sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Ví dụ 1.3.2. Giải hệ phương trình
√
x + 9 +
√
7 −y = 4
√
y + 9 +
1
2
√
t +9
+
1
2
√
7 −t
> 0,∀t ∈ (−9;7).
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [−9;7]. Từ (1.1) ta có
f (x) = f (y) ⇔x = y.
Thế vào phương trình đầu của hệ ta được
√
x + 9 +
√
7 −x = 4
⇔ x + 9 + 7 −x + 2
√
x + 9
√
7 −x = 16
⇔
−x
2
−2x + 63 = 0
⇔ −x
2
−2x + 63 = 0
x + y + 2
√
y + 9
√
7 −x = 0
⇔ 2
√
x + 9
7 −y = 2
y + 9
√
7 −x
⇔ 7x −xy + 63 −9y = 7y −x y + 63 −9x
12
⇔ 16x = 16y ⇔x = y.
Thế vào phương trình đầu của hệ ta thu được phương trình
√
x + 9 +
√
7 −x = 4
x + 9 + 7 −x + 2
√
x + 9
√
7 −x = 16
⇔
−x
x + 9 +
√
7 −y = 4
√
y + 9 +
√
7 −x = 4,
nên 4 > 4 (Vô lý).
TH1: Nếu x < y thì ta có
√
x + 9 <
√
y + 9 và
√
7 −y <
√
7 −x suy ra
√
x + 9 +
7 −y <
y + 9 +
√
7 −x.
Mà
√
x + 9 +
√
+
7 −y +
y + 9
= 8. (1.2)
Ta có
√
x + 9 +
√
7 −x
2
= 16 + 2
√
x + 9
√
7 −x ≥16.
suy ra
√
x + 9 +
√
7 −x ≥4. (1.3)
y + 9 +
√
x + 9
√
7 −x = 0
√
y + 9
√
7 −y = 0
⇔
(x + 9)(7 −x) = 0
(y + 9)(7 −y) = 0
⇔
x = −9
x = 7
y = −9
y = 7.
z
2
+ v
2
= 16 (4).
14
Từ (1) và (2) suy ra u + v = z +t (5);
Từ (3) và (4) ⇒ u
2
+t
2
= z
2
+ v
2
⇔ u
2
−v
2
= z
2
−t
2
⇔ (u −v)(u + v) = (z −t)(z +t) (6).
Từ (5) và (6) ta được
u + v = z +t
(u −v)(u + v) = (z −t)(z +t)
⇒ (u −v)(u + v) = (z −t)(u + v)
⇔ (u + v)[(u −v) −(z −t)] = 0 ⇔ (u −v) −(z −t) = 0( vì u + v = 4 > 0)
−2x + 63 = 0 ⇔
x = 7 ⇒y = 7
x = −9 ⇒y = −9.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (−9;−9) và (7; 7).
Cách 6: Từ hệ phương trình đã cho ta có
(
√
x + 9 +
√
7 −x) + (
7 −y +
y + 9) = 8 (1.5)
Xét hàm số f (t) =
√
t +9 +
√
7 −x,t ∈ [−9;7]. Ta có
f
(t) =
1
2
√
t +9
−
1
2
⇒ min
[−9;7]
f (t) = f (−9) = f (7) = 4 ⇒ f (x) + f (y) ≥ 4 + 4 = 8.
Do đó (1.5) xảy ra khi ta có
f (x) = 4
f (y) = 4
⇒ (x;y) ∈{(−9;−9); (7; 7); (−9; 7); (7;−9)}
Thay (x;y) bởi (−9;−9);(7;7);(−9;7);(7;−9) vào hệ phương trình đã cho ta
có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9);(7;7).
Cách 7: Từ hệ phương trình đã cho ta có
(
√
x + 9 +
√
7 −x) + (
7 −y +
y + 9) = 8. (1.6)
Xét hàm số
f (t) =
√
t +9 +
√
7 −x,t ∈ [−9;7].
Ta có
f
(t) =
√
t +9 ⇔t = −1 ∈(−9; 7.)
Bảng biến thiên
Hình 1.2: Bảng biến thiên hàm số f (t) =
√
t +9 +
√
7 −x,t ∈ [−9;7].
Từ bảng biến thiên ta suy ra
min
[−9;7]
f (t) = f (−9) = f (7) = 4
16
Copyright: Tài liệu đại học ©