1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGÔ THỊ CHUNG

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN VỀ BẤT
ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIACOPXKI



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phƣơng pháp dạy học (Bộ môn Toán)
Mã số: 601410
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2012

83
MỤC LỤC

Lời cảm ơn i
Danh mục kí hiệu viết tắt ii
Danh mục các bảng v
Danh mục các biểu đồ vi
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9
1.1 Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo 9
1.1.1. Tƣ duy 9

KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 79
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 iv

4
DANH MỤC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
BĐT : Bất đẳng thức
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
THPT : Trung học phổ thông
VT : Vế trái
VP : Vế phải

6
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nƣớc ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với
cộng đồng quốc tế. Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nƣớc, đổi mới giáo
dục là trọng tâm của sự phát triển. Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công
nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế là con ngƣời. Công cuộc đổi mới này
đòi hỏi nhà trƣờng phải tạo ra những con ngƣời lao động năng động, sáng tạo để
làm chủ đất nƣớc, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển.
Luật giáo dục nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định
“Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng
tạo của ngƣời học, bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn
lên.” [13].
Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp giáo dục để giải
quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới với phƣơng pháp giáo dục của
nƣớc ta hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động
đổi mới phƣơng pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hƣớng
đổi mới là: phƣơng pháp dạy học cần hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Nhìn chung, tƣ tƣởng chủ đạo của phƣơng pháp đổi mới là: tập trung vào các
hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cƣờng giao lƣu trao
đổi giữa trò và trò.
Vấn đề rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh đã đƣợc khá nhiều ngƣời quan
tâm nghiên cứu. Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực
tế giảng dạy môn toán ở các trƣờng phổ thông nƣớc ta còn nhiều hạn chế vì hầu hết
giáo viên chƣa thấy đƣợc tác dụng to lớn của phƣơng pháp này nên chƣa đƣợc coi
trọng và áp dụng vào thực tế. Ngoài ra, giáo viên cũng chƣa có nhiều kinh nghiệm

để các bài tập đó để rèn luyện tƣ duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thao
tác tƣ duy, rèn năng lực tƣ duy độc lập, sáng tạo,… ) thì năng lực tƣ duy của HS sẽ
phát triển.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu tài lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo và tƣ duy toán học.

8
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức
có liên quan đến bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này.
- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này.
- Thực nghiệm sƣ phạm và thống kê.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một
số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.


với lời nói và những kết quả của tƣ duy đƣợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu
cho tƣ duy là quá trình trừu tƣợng hóa, phân tích và tổng hợp. Kết quả của quá trình
tƣ duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”
1.1.1.2. Các thao tác của tư duy
a. Phân tích
Là quá trình tách các sự vật, hiện tƣợng tự nhiên của hiện thực với các dấu
hiệu và thuộc tính của chúng cũng nhƣ các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo
một hƣớng xác định. Xuất phát từ góc độ phân tích, các hoạt động tƣ duy đi sâu vào
bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa
học. Trong học tập, hoạt động này rất phổ biến.
b. Tổng hợp

10
Là hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy biểu hiện trong việc xác lập tính
thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên
vẹn có thể có đƣợc trong việc xác định phƣơng hƣớng thống nhất và xác định các
mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó trong việc
liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu đƣợc một sự vật và hiện tƣợng
nguyên vẹn mới. Nhƣ vậy, tƣ duy tổng hợp cũng đƣợc phát triển từ sơ đẳng đến
phức tạp với khối lƣợng lớn. Phân tích và tổng hợp không phải là hai phạm trù riêng
rẽ của tƣ duy. Đây là hai quá trình có mối quan hệ biện chứng. Phân tích để tổng
hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tich đạt đƣợc chiều sâu bản chất sự vật hiện
tƣợng. Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tƣ
duy và các thao tác tƣ duy của học sinh.
c. So sánh
Là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng
nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện
tƣợng của hiện thực. Trong hoạt động tƣ duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò
tích cực.
d. Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa

kiện cần thiết của tƣ duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo
của tƣ duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tƣ duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái
mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái
mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [11].
Theo Tôn Thân quan niệm: “Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập tạo
ra ý tƣởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả “tƣ
duy sáng tạo là tƣ duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp”.
Mỗi sản phẩm của tƣ duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo
ra nó [10].
Nhà tâm lí học ngƣời Đức Mehlow cho rằng:”Tƣ duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tƣ
duy sáng tạo đƣợc đặc trƣng bởi mức độ cao của chất lƣợng, hoạt động trí tuệ nhƣ
tính mềm dẻo, tính chính xác, tính nhạy cảm, tính kế hoạch. Trong khi đó,
J.DanTon lại cho rằng: “Tƣ duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tƣởng
tƣợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi

12
phiêu lƣu bao gồm những điều nhƣ: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tƣởng
tƣợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.
Trong cuốn “Sáng tạo toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tƣ duy gọi là có
hiệu quả nếu tƣ duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng phƣơng tiện và tƣ liệu này có số lƣợng càng lớn, có dạng
muôn màu muôn vẻ thì mức độ sang tạo của tƣ duy càng cao. ”[14].
Qua những định nghĩa của các tác giả trên chúng ta đều nhận thấy nét phổ
biến nhất của tƣ duy sáng tạo là tƣ duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tƣ duy sáng
tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới, về các phƣơng thức hoạt động. Lene đã
chỉ ra các thuộc tính sau của tƣ duy sáng tạo:

Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng
sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết
mới. Các nhà tâm lí học rất coi trọng yếu tố chất lƣợng của ý tƣởng sinh ra, lấy đó
làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định
các ý tƣởng. Số ý tƣởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý
tƣởng độc đáo, trong trƣờng hợp này số lƣợng làm nảy sinh chất lƣợng. Tính nhuần
nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trƣng sau:
Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề giải
quyết, ngƣời cố tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đƣợc nhiều
phƣơng án tối ƣu.
Hai là khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái nhìn bất
biến, phiến diện, cứng nhắc.
Tính độc đáo
Tính độc đáo của tƣ duy đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng:
- Khả năng tìm ra những hiện tƣợng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tƣởng
nhƣ không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

14
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có mối quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo tạo
điều kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác
nhau và nhờ đó đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc giải
pháp lạ, đặc sắc. Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nhƣ: tính
chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói

tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết
chuyển từ phƣơng pháp này sang phƣơng pháp khác, những bài tập có những vấn đề
thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên
tƣởng ngƣợc xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận, những bài
toán không theo mẫu, không đƣa đƣợc về các loại giải toán bằng cách áp dụng các
định lí, quy tắc trong chƣơng trình…
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện
khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới
Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong
đó giáo viên đƣa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán đƣợc
những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự
đoán đƣợc các kết quả, tìm đƣợc hƣớng giải của một bài toán, hƣớng chứng minh
một định lý. Nói cách khác là tăng cƣờng cả hai bƣớc suy đoán và suy diễn trong
quá trình dạy toán.
Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chƣa rõ điều phải
chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
Việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh cần đƣợc tiến hành trong mối quan hệ
hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác nhƣ: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự,
trừu tƣợng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai
trò nền tảng.
Để bồi dƣỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tƣ duy, học sinh cần đƣợc
luyện tập thƣờng xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn
thấy đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau.
Trên cơ sở so sánh các trƣờng hợp riêng lẻ, dùng phép tƣơng tự hóa để chuyển từ
trƣờng hợp riêng lẻ này sang trƣờng hợp riêng lẻ khác, khai thác mối liên hệ mật

16
thiết với trừu tƣợng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và

17
Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phƣơng tiện để cài đặt nội dung
dƣới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần
lý thuyết.
Về mặt phƣơng pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS
kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học
khác nhau. Khai thác tốt bài toán nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đƣợc thực
hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phƣơng pháp dạy học, đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là
phƣơng tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển tƣ duy của HS cũng nhƣ hiệu quả giảng dạy của
GV.
1.1.4. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Theo Polya (1975), phƣơng pháp chung cho quá trình tìm lời giải bài toán gồm
bốn bƣớc
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để tìm hiểu nội dung bài toán, HS cần thực hiện các thao tác: phát biểu đề bài
dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho
và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc
diễn tả đề bài
Qua các bƣớc ở trên ta thấy, việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thỏa mãn không,
thừa hay thiếu…đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt đƣợc bƣớc này
thì việc giải bài toán có thể rất thuận lợi để tìm đƣợc lời giải đúng.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Để tìm đƣợc cách giải, HS cần thực hiện những hoạt động sau:
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc

sinh.
Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay một mô hình
nào đấy để học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô
hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình hạt
động và nghiên cứu.

19

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng này trình bày một số vấn đề thuộc lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo,
các yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo và phƣơng pháp giải bài tập toán.
Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tôi xác định phƣơng hƣớng cho giải pháp
rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức Côsi và bất đẳng
thức Bunhiacopxki ở trƣờng THPT sẽ trình bày trong chƣơng 2.


a a a
n
  

.
Đẳng thức xảy ra
12

n
a a a   
.
Trong trƣờng hợp
2n 
, bất đẳng thức Côsi có dạng:
, 0, 0
2
ab
ab a b

  
.
Một số hệ quả thƣờng sử dụng:
1,
1 1 4
, 0, 0ab
a b a b
   

.
2,

1, Cho
   
, , , 8a b c a b b c c a abc

    
.
2, Cho
2 2 2
, , ,a b c a b c ab bc ca

     
.
3, Cho
, , ,a b c ab bc ca a bc b ca c ab

     
.
4, Cho
1 1 1 1 1 1
, , ,abc
abc
ab ca bc

     
.
5, Cho
 
1 1 1
, , , 9a b c a b c
abc

1
3
abc  
.
Chứng minh: Ta có:
3 3 3 3
3
1 1 1
3 3 . 3
3 3 3 3 3
a b a b ab ab    
.
Tƣơng tự:
33
33
1
3,
33
1
3.
33
b c bc
c a ac
  
  

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:
 
 
 

1
3
abc
ab bc ac

   
.
Phân tích và định hướng lời giải
Biểu thức dƣới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số. Để sử dụng đƣợc
BĐT Côsi ta cần viết:
.1, .1, .1.ab ab bc bc ca ca  22
Nói khác đi, ta đã thêm vào thừa số 1 ( hằng số ở đây là 1 ).
Khi đó, theo BĐT Côsi, ta có:
33
33
33
1
.1 ,
3
1
.1 ,
3
1
.1 .
3
ab
ab ab

.
Bƣớc 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với
2,3, 4,5 n 
cùng với các số hạng hằng số
đã xác định ở bƣớc 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu thức cần chứng minh.
Phƣơng pháp trên đƣợc gọi là phƣơng pháp thêm bớt hệ số khi sử dụng BĐT
Côsi. Vấn đề quan trọng ở chỗ cần chọn hằng số nhƣ thế nào để có thể áp dụng
đƣợc BĐT Côsi vào BĐT cần chứng minh. Đồng thời phải chọn đúng hệ số khi
ghép cặp để đẳng thức có thể xảy ra đƣợc.
Ví dụ 3: Với
1x 
. Hãy tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức
1
3.
2
yx
x


Phân tích và định hướng lời giải
Lời giải sai: sử dụng Côsi dạng
2a b ab
, dễ thấy:
11
3 2 3 . 6.
22
y x x
xx
   




. Cho
1x 
ta đƣợc
1
2


. Từ đó ta có:
1 5 1 5 1 5 5 7
3 2 . 1 1 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
yx
x x x

           



Vậy ,min
7
2
y 
, đạt đƣợc tại
1x 
.
Ví dụ 4: Với
, , 0abc




Từ đó, để bảo toàn đƣợc dấu bằng cho bài toán, ta sẽ đánh giá nhƣ sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
     
2 2 2
2.
3 3 3
a b b c c a     

Tới đây, ta sử dụng BĐT Côsi dạng
2
xy
xy


, ta có:
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
, , .
3 2 3 2 3 2
a b b c c a


24
Phân tích và định hướng lời giải
a) Ý tƣởng đầu tiên chúng ta nghĩ tới là làm thế nào để phá bỏ đƣợc lớp căn
thức ở vế trái ( vì biểu thức vế phải không chứa căn). Một cách tự nhiên, ta nhớ lại
BĐT Côsi bộ hai số dạng:
.
2
ab
ab



Thật vậy, ta để ý rằng:
 
 
11
1 1. 1
22
1.
2
y
y
yy
xy
xy

    
  



là biểu thức đối xứng chứa
22
,xy
ở dƣới
mẫu nên ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi
1
2
xy
. Khi đó
9A 
. Ta sẽ đi chứng
minh nhận định này là đúng, tức
9.A 

BĐT này có thể viết lại thành:
   
2 2 2 2 2 2 2 2
1 . 1 9 1 8 .x y x y x y x y      

Vì
 
2
1 xy
nên ta sẽ quy bài toán này về chứng minh
 
2
2 2 2 2
8x y x y x y   