i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN THU THU HIỀN
RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI
DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
5
1.2. Sáng tạo và quá trình sáng tạo
6
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
6
1.2.2. Quá trình sáng tạo
8
1.3. Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo
8
1.3.1. Tư duy sáng tạo
8
1.3.2. Những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
9
1.4. Phương trình lượng giác
11
1.4.1. Vài nét về sự ra đời của lượng giác
11
1.4.2. Vị trí, vai trò nội dung phương trình lượng giác
12
1.4.3. Thực trạng việc dạy và học nội dung phương trình lượng giác
ở trường phổ thông

13
1.4.4. Thực trạng việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung
học phổ thông

13
1.5. Kết luận chương 1
14
Chƣơng 2: RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC

61
2.3. Kết luận chương 2
64
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
65
3.1. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng thực nghiệm sư phạm
65
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
65
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
65
3.1.3. Đối tượng thực nghiệm
65
3.2. Tổ chức thực nghiệm
67
3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm
67
3.2.2. Giáo án thực nghiệm
68
3.3. Kết quả thực nghiệm
83
3.3.1. Bài kiểm tra và kết quả bài kiểm tra của học sinh
83
3.3.2. Đánh giá của các giáo viên dự giờ
97
3.3.3. Ý kiến của học sinh
98
KẾT LUẬN
99
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bảng 3.8. Kết quả xếp loại điểm kiểm tra sau khi thực nghiệm
96
Bảng 3.9. Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm
97

iii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Trang
Sơ đồ 1.1. Các giai đoạn của một quá trình tư duy
5
Biểu đồ 3.1. Số học sinh làm đúng mỗi bài trong đề kiểm tra
94
Biểu đồ 3.2. Xếp loại kết quả điểm kiểm tra sau khi thực

giúp cho nền giáo dục nước ta phát triển, chất lượng giáo dục ngày một đi lên.
Đảng và nhà nước ta cũng rất quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, thấy được
phát triển giáo dục và đào tạo là động lực quan trọng thúc đẩy sự phát triển
của đất nước, phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu. Nền giáo dục nước ta
đã và đang thực hiện cuộc cải cách, đổi mới chương trình và sách giáo khoa
giáo dục phổ thông. Một trong những trọng tâm là đổi mới phương pháp dạy
học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển tư duy, bồi
dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm vui trong học tập cho học sinh. Nghị quyết
Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII, 24/12/1996)
về định hướng phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá
hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2000, khẳng định : “Đổi mới mạnh mẽ
phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học.”.
Đất nước ta hiện nay vẫn đang trong thời kì đổi mới và phát triển, thực
hiện công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế. Do hội nhập quốc tế
nên chúng ta đã vận dụng được nhiều thành tựu của khoa học kỹ thuật, tiếp
thu tinh hoa của thế giới, tri thức của nhân loại vào thực tiễn đất nước và làm
cho nước ta ngày càng phát triển, đời sống của người dân sung túc hơn. Các
thành tựu, tinh hoa mà nhân loại có được là kết quả của sự sáng tạo. Để tiếp
cận, hội nhập nền kinh tế tri thức và xã hội tri thức đòi hỏi nền giáo dục phải
trang bị cho học sinh kỹ năng tư duy sáng tạo như một phẩm chất của người
hiện đại. Do đó việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là rất
cần thiết. Tuy nhiên chưa có công trình nào đi sâu nghiên cứu việc rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung phương trình lượng giác.

2
Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Trong các đề thi đại học, cao đẳng đều có một ý là giải phương
trình lượng giác. Để giải tốt phương trình lượng giác, đòi hỏi học sinh phải thuộc
công thức, nhận dạng được phương trình lượng giác thường gặp và các phương

7. Phƣơng pháp chứng minh giả thuyết
- Tiếp cận Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận và phương pháp dạy học
môn toán.
- Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, tài liệu và các công
trình khoa học có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra.
- Thực nghiệm.
8. Các luận cứ
8.1 Luận cứ lý thuyết
- Khái niệm tư duy.
- Vai trò của tư duy.
- Tư duy sáng tạo.
- Những biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo.
8.2 Luận cứ thực tế
- Học sinh tư duy tốt hơn.
- Học sinh chụi khó tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán và sáng tạo ra
các bài tập mới.
- Lấy kết quả kiểm tra khách quan sau giờ dạy của giáo viên.
- Kết quả kiểm tra, kết quả thi môn toán cao.
- Phiếu điều tra.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, luận
văn gồm nội dung chính sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho hoc sinh trung học phổ thông
qua dạy học nội dung phương trình lượng giác
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4
CHƢƠNG 1

(Nội dung mục này tham khảo tài liệu [14])
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức và kinh nghiệm.
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.
Giai đoại 5: Giải quyết nhiệm vụ.

Sơ đồ 1.1. Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy
1.1.4. Tầm quan trọng của tư duy
(Nội dung mục này xem [15, tr. 15]).
Mục tiêu của bậc học phổ thông là hình thành và phát triển được nền
tảng tư duy của con người trong thời đại mới. Tại sao cần phát triển tư duy?
Nhận thức vấn đề Xuất hiện các liên tưởng
Phủ định
Giải quyết
vấn đề
Sàng lọc liên tưởng
và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hoá
Hành động tư
duy mới



7
+ Tính mền dẻo (Flesibility);
+ Tính hoàn thiện (Elaboration).
 Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:
- Tính da dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, nhanh chóng tìm ra
nhiều phương án khác nhau từ đó có thể tìm được phương án tối ưu.
- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía, chứ không nhìn cái bất biến, phiếm diện, cứng
nhắc. Chẳng hạn như cosx có thể hiểu là sin
()
2
x


,
sin( )
2
x


,
os( )cx
,
os(2 )c x x
,
os(3 2 )c x x
,
sin .cotxx

tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng (xem [7, tr. 9]).
Sáng tạo có tính tương đối (sáng tạo đối với ai). Để có thể sáng tạo thì
điều kiện cần là có trí tưởng tượng không gian. Đối với các lớp học lớn tuổi,

8
tính sáng tạo được chú ý ngày càng nhiều, vì nó sớm hình thành được tính chủ
động và tự lập cho người học.
1.2.2. Quá trình sáng tạo
Muốn giải quyết vấn đề hay bài toán người học phải phát hiện ra “lời
giải” để từ tình huống tù mù trở thành chính xác, câu hỏi được trả lời, bài toán
được giải xong đó chính là một quá trình sáng tạo (xem [15, tr. 19]).
Trong quá trình sáng tạo, khuyến khích sáng tạo quan trọng hơn là giải
pháp hay kết quả cuối cùng. Các bước của quá trình sáng tạo được tổng kết ở
năm giai đoạn sau: kích thích, khám phá, lập kế hoạch, hoạt động, tổng kết
(xem [13, tr. 14], [15, tr. 24]). Những kích thích cho tư duy sáng tạo bắt nguồn từ
tính tò mò, hay thắc mắc và thích hỏi. Sản phẩm sáng tạo bao gồm các công trình
nghệ thuật và các lý thuyết khoa học. Sáng tạo cũng là tổng hợp các thái độ và
khả năng giúp con người tạo ra các ý nghĩ, ý tưởng hay hình ảnh sáng tạo.
1.3. Tƣ duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo
1.3.1. Tư duy sáng tạo
Có nhiều quan điểm về tư duy sáng tạo.
Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối
quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị (xem [9, tr. 113]).
Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực,
của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của
tư duy được linh hoạt và hiệu quả (xem [13, tr. 14]).
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo
và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới đươc thể hiện ở chỗ phát
hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của
ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.

phê phán những lạc hậu cản trở tiến bộ, và đề xuất những ý tưởng mới giúp xã
hội phát triển. Chính vì vậy, trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần chú
trọng bồi dưỡng và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung

10
môn học. Theo [5, tr. 79], việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần
được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: phân
tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,
hệ thống hoá trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng.
Theo [9, tr. 115] có thể rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
theo các hướng sau:
1. Theo năm thành phần của tư duy sáng tạo (tính mền dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện và tính nhạy cảm vấn đề).
2. Dựa trên các hoạt động trí tuệ: dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương
tự hoá, đặc biệt hoá
3. Tìm nhiều lời giải một bài toán, khai thác, đào sâu kết quả bài toán.
Như vậy, mỗi giáo viên nên:
* Tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫn, phân tích, tổng hợp.
* Tổ chức những tình huống có vấn đề đòi hỏi tranh luận, tạo không khí giao
tiếp thuận lợi.
Những tình huống đó cần phải phù hợp với trình độ của học sinh. Nội
dung quá khó hay quá dễ đều không gây được hứng thú. Cần dẫn dắt học sinh
luôn tìm thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiến thức, cảm thấy mình mỗi ngày
một trưởng thành. Để học tập sáng tạo cần tạo tình huống chứa một số điều
kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất càng nhiều giải pháp càng tốt,
càng tối ưu càng tốt.
Không khí lớp học căng thẳng, học sinh học trong một trạng thái tâm lý sợ
sệt, sợ sai bị mắng, ngồi học không giám nhúc nhích, không giám nêu ý kiến chỉ
làm thui chột khả năng sáng tạo. Tạo ra một bầu không khí lớp học thoải mái,
tôn trọng ý kiến của học sinh, động viên kịp thời sẽ rất tốt để phát huy tính sáng

trước. Các nhà toán học Ấn độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử
dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng
lượng giác. Các nhà toán học Hy Lạp đã góp phần đáng kể vào việc phát triển
môn lượng giác. Tác giả cuốn “Mở đầu về giải tích các đại lượng vô cùng bé”

12
xuất bản năm 1748, đã xây dựng lý thuyết sâu sắc về lượng giác, đã đề cập
đến khái niệm radian, nhưng từ “rađian” (gắn với từ “radius” có nghĩa là bán
kính) mãi đến năm 1873 mới được dùng chính thức lần đầu tiên ở trường Đại
học Belfast, Bắc Ai-len.
Lượng giác gắn với nhiều môn học, nhiều lĩnh vực trong cuộc sống.
Nhiều hiện tượng tuần hoàn đơn giản trong thực tế được mô tả bởi những hàm
số lượng giác: chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời, chuyển động
của guồng nước quay, chuyển động của quả lắc đồng hồ, sự tạo thành và lan
truyền âm thanh, sự biến thiên của cường độ dòng điện xoay chiều. Hiện
tượng tuần hoàn đơn giản nhất là giao động điều hoà được mô tả bởi hàm số
sin( )y A x B    
, trong đó A, B,
,

là những hằng số; A và

khác 0.
Đồ thị của nó là một đường hình sin.
1.4.2. Vị trí, vai trò nội dung phương trình lượng giác
Lượng giác là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Ở cấp Trung học cơ sở các em biết đến giá trị lượng giác của
góc từ 0
0
đến 90

lượng giác lớp 11, hầu hết giáo viên phải nhắc lại công thức, phải mất một
khoảng thời gian rèn luyện để giúp học sinh nhớ công thức. Để học tốt nội
dung phương trình lượng giác, đòi hỏi học sinh phải thuộc công thức. Qua
một số năm trực tiếp giảng dạy, tôi thấy, nhiều học sinh rất thuộc công thức
nhưng còn rất lúng túng, thấy khó trong giải phương trình lượng giác; một số
khác thì luôn giữ trong cặp sách bảng các công thức lượng giác và khi làm bài
mang ra xem phải dùng công thức nào. Các em thường không biết phải biến
đổi như thế nào, càng gặp khó khăn hơn với các bài toán có điều kiện và đối
chiếu nghiệm. Để hướng dẫn học sinh dễ hiểu, giúp học sinh giải thành thạo
phương trình lượng giác, tạo được hứng thú yêu thích môn Toán qua học giải
phương trình lượng giác không phải giáo viên nào cũng làm được.
1.4.4. Thực trạng việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học
phổ thông
Thực tiễn của các nhà trường hiện nay vẫn còn tình trạng quá tải về kiến
thức do cấu trúc của chương trình vẫn còn nặng. Vẫn có xu hướng thiên về
trình bày kiến thức mà nhẹ về hướng dẫn học tập cho học sinh. Vẫn có tình
trạng giáo viên chỉ lo “chạy” cho hết bài, cho kịp tiết học được quy định nên
không có điều kiện để sáng tạo, tổ chức các phương án và hình thức học tập

14
khác nhau cho phù hợp. Các phương pháp dạy học truyền thống vẫn được sử
dụng nhiều. Mặc dầu công nghệ thông tin đã phát triển cũng hỗ trợ tốt cho
giáo viên trong giảng dạy nhưng chưa được sử dụng thường xuyên do nhiều
yếu tố (cơ sở vật chất chưa đủ, trình độ tin học của giáo viên còn hạn chế ).
Giáo viên với vai trò cung cấp kiến thức, học sinh nghe thụ động, các hoạt
động diễn ra trong lớp học vẫn mang tính một chiều. Giáo viên hạn chế trong
việc áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh càng ít, mà năng lực sáng tạo lại rất cần trong xã hội hiện đại.
1.6. Kết luận chƣơng 1
Dựa trên cơ sở lý kuận và thực tiễn đã trình bày ở trên, tôi nhận thấy:


2.1.1.2. Các góc (cung) có liên quan đặc biệt
a. Hai góc phụ nhau
2
x


và x b. Hai góc bù nhau
x


và x

 
22
sin
tan =
cos 2
cos
cot =
sin

1
1 cot =
sin
x x x
x x k
x
x x k
x









  




sin( ) os
2
x c x



cos( ) sin
2

  16
c. Hai góc đối nhau –x và x

d. Hai góc hơn kém nhau

:
x


và x
e. Hai góc hơn kém nhau
2

:
2
x


và x


cot( ) cotxx



sin( ) os
2
x c x



os( ) sin
2
c x x

  

tan( ) cot
2
xx

  

cot( ) tan
2
xx

  


sin( + ) sin cos + cos sinx y x y x y

tan + tan
tan( )
1- tan tan
xy
xy
xy
17
2.1.1.4. Công thức nhân đôi, nhân ba

2.1.1.5. Công thức hạ bậc
2.1.1.6. Biểu diễn sinx, cosx qua tan
2
x
(xem [6, tr. 7])

2.1.1.7. Công thức biến đổi tích thành tổng
   
   
1
cos cos cos cos - .
2
1
sin sin - cos cos - .
2
x y x y x y

x - 1
= 1- 2sin
2
x
sin2x = 2sinxcosx
2
2tan
tan2
1- tan
x
x
x


sin3x = 3sinx - 4sin
3
x
cos3x = 4cos
3
x - 3cosx
3
2
3tan - tan
tan3
1- 3tan
xx
x
x



3 os +cos3
os
4
3sin -sin3
sin
4
c x x
cx
xx
x



 
2
22
2tan 1- tan
22
sin = cos = 2
1+ tan 1+ tan
22
xx
x x x k
xx

18
2.1.1.8. Công thức biến đổi tổng thành tích




-
sin sin 2sin cos
22
-
sin -sin 2cos sin
22
x y x y
xy
x y x y
xy





sin + cos = 2 sin + 2 os -
44
sin - cos = 2 sin - 2 os +
44
x x x c x
x x x c x


   

   
   

sinx

0
1
2

2
2

3
21

cosx

1
3
2

2
2

1
2


0

19
2.1.2. Phương trình lượng giác
(xem nội dung mục này trong [3, tr. 19-36], [4, tr. 19-39])
2.1.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản
a. Phương trình sinx = a
- Có nghiệm khi
1a 
.
- Vô nghiệm khi
1a 
.

- Nếu phương trình có nghiệm ta có
arcsin 2
sin arcsin ,
arcsin 2
22
x a k
x a a
x a k






    




- Mọi a phương trình đều có nghiệm. Công thức nghiệm là
●
2
sin = sin ,
2
xk
x
xk


  




  


k 
.
Tổng quát,
( ) ( ) 2
sinf( ) = sing( ) ,
( ) ( ) 2
f x g x k
xx
f x g x k






●
tan = tan .x x k
  
  

Tổng quát,
tanf( ) = tang( ) ( ) ( ) ,x x f x g x k

  

.kd. Phương trình cotx = a
Điều kiện:
.xk



- Mọi a phương trình đều có nghiệm.
 
cot = a arccota 0<arccota< .x x k

  

●

tan 0
tan 1
4
tan -1 -
4
x x k
x x k
x x k





  
   
   

cos 0
2
cos 1 2
cos -1 2
x x k
x x k
x x k




   
  