GIỚI HẠN HÀM SỐ
(Trích tạp chí THTT)
LaTeX: [email protected]
02/10/2012
Mục lục
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
2
1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . . 2
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . . 3
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . . 3
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không cùng
bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Dạng 6: Dạng vô định

1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số
Tìm lim
x→x
0
f(x)
g(x)
trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x
0
là nghiệm
Cách giải: Ta có lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
(x −x
0
)f
1
(x)
(x −x
0
)g
1
(x)

điều kiện f
2
k
(x
0
) + g
2
k
(x
0
)
Thí dụ 1: Tính lim
x→1
x
3
+ x
2
− 2
x
4
− x
3
+ x
2
+ x − 2
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
a. lim
x→
1

√
2 + 1)x
2
+ (4 + 2
√
2)x − 2
x
3
− (2
√
2 + 1)x
2
+ (2 + 2
√
2)x − 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
hai
Tìm lim
x→x
0

f(x) − a
g(x)
trong đó

f(x
0

f(x) + a)(x −x
0
)g
1
(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)
(

f(x) + a)g
1
(x)
=
f
1
(x
0
)
2a.g
1
(x
0
)
Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
x→x
0

(x) −

g
2
(x)
hoàn toàn tương tự.
Thí dụ 2: Tính lim
x→1
√
x + 8 −3
x
2
+ 2x − 3
Thí dụ 3: Tính lim
x→1
√
x +
√
x − 1 −1
√
x
2
− 1
Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng
0
0
đôi khi ta tách thành tổng các
phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:

2x − 2
2
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3
Tìm lim
x→x
0
3

f(x) − a
g(x)
trong đó
3

f(x
0
) = a và g(x
0
) = 0
Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp
3

f
2
(x) + a
3

f(x) + a


f
1
(x) ±
3

f
2
(x)

g
1
(x) −

g
2
(x)
;
lim
x→x
0
3

f
1
(x) ±
3

f
2

a. lim
x→1
3
√
2x − 1 −
3
√
x
√
x − 1
b. lim
x→1
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1
3
√
x − 1 + x
2
− x + 1
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
cao
Dạng thường gặp: Tìm lim
x→0
n
√

5
√
1 + 5x −1
x
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
4
√
2x + 1 −1
x
b. lim
x→1
4
√
4x − 3 −1
x − 1
c. lim
x→1
7
√
2 − x −1
x − 1
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không
cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định
0

2
− 3x + 2
b. lim
x→0
3
√
1 + x
2
−
4
√
1 − 2x
x + x
2
c. lim
x→0
√
1 + 4x −
3
√
1 + 6x
x
2
d. lim
x→1
4
√
2x − 1 +
5
√

Hệ quả: lim
x→a
sin u(x)
u(x)
= 1 (nếu lim
x→a
= 0); lim
x→0
x
sin x
= 1; lim
x→0
tan x
x
= 1
Thí dụ 9: Tìm lim
x→
π
2
(
1
cos x
− tan x) Làm theo 2 cách
Thí dụ 10:Tìm lim
x→
π
3
sin x −
√
3 cos x

2
+ 1 − 1
d) lim
x→0
1 −
3
√
cos x
tan
2
x
e) lim
x→0
cos (
π
2
cos x)
sin
2
x
2
g) lim
x→0
1 −
√
2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2 −x
h) lim
x→0

x→0
1 − cos x. cos 2x
x
2
1.7 Dạng 7: Dạng vô định
0
0
của hàm số mũ và hàm số logarit
Định lý: lim
x→∞

1 +
1
x

x
= e; lim
x→∞
(1 + x)
1
x
= e; lim
x→0
ln 1 + x
x
= 1; lim
x→0
e
x
− 1

sin x
sin x
; . lim
x→0
e
2x
− 1
√
1 + x −
√
1 − x
c. lim
x→0
e
3x
2
. cos
2
x − 1
x
2
; d. lim
x→0
3
x
2
− cos x
x
2
e. lim

)
x − x
0
Thí dụ 14 :Tìm A = lim
x→0
(x
2
+ 2010)
9
√
1 − 9x −2010
x
Thí dụ 15 :Tìm B = lim
x→0
1 −
√
2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→1
4
√
2x − 1 +
5
√
x − 2
x − 1

3
√
1 + x
2
ln (1 + x
2
)
Một số bài trong các đề thi
Bài 1: lim
x→1
√
2x − 1 −
√
x
x − 1
(HVNH-98)
Bài 2: lim
x→1
x
3
−
√
3x − 2
x − 1
(ĐHQG-98)
Bài 3: lim
x→0
2
√
1 + x −

1 − cos x




(ĐHQG KB 97)
Bài 7: lim
x→0

2
sin 2x
− cot x

(ĐHL-98)
Bài 8: lim
x→0
tan x − sin x
x
3
(HVKTQS-97)
Bài 9: lim
x→0
cos

π
2
cos x

sin
2

2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2 −x
(ĐHGTVT 98)
Bài 14: lim
x→0
√
1 + x
2
− cos x
x
2
(ĐHTM-99)
Bài 15: lim
x→0
1 −
√
cos x
1 − cos
√
x
(ĐHHH-97)
Bài 16: lim
x→0
√
1 + tan x −
√
1 + sin x
x
3

2
)
(GTVT 01)
Bài 20: lim
x→0
√
2x + 1 −
3
√
x
2
+ 1
sin x
(ĐHQG-00)
Bài 21: lim
x→1
√
5 − x −
3
√
x
2
+ 7
x
2
− 1
(TCKT-01)
Bài 22: lim
x→0
√

cos
4
x − sin
4
x − 1
√
x
2
+ 1 − 1
(ĐHHH-01)
Bài 26: lim
x→0
√
x + 1 +
3
√
x − 1
x
(TK-02)
Bài 27: lim
x→1
x
6
− 6x + 5
(x − 1)
2
(TK-02)
Bài 28: lim
x→0
1 −

x
2
+ 2x + 1
x
√
x + 1
Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
a. lim
x→+∞
x + 1
x
√
x +
√
x
; b. lim
x→+∞
√
x +
3
√
x +
4
√
x
√
2x + 1
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞
Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng

x
2
+ x + 1 −
√
x
2
− x + 1) b. lim
x→+∞
(
√
4x
2
+ 3x − 1 −
3
√
8x
3
− 5x
2
+ 3)
2.3 Dạng vô định 1
∞
Tìm lim
x→+∞

f(x)
g(x)

x
, trong đó lim

x→+∞

2x + 3
2x − 1

x
b. lim
x→+∞

x + 3
x − 1

x
2.4 Dạng vô định 0.∞
Cách giải: Biến đổi đưa về dạng
0
0
hoặc
∞
∞
Thí dụ 6: (Đưa về dạng
0
0
) Tìm lim
x→−1
+
(x
3
+ 1)


x − 1
x
3
+ 5
√
x + 2
3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x = x
0
khi và chỉ khi lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
)
• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x
0
. Hàm số y = f(x) liên
tục tại điểm x = x
0
khi và chỉ khi lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0

tan x − 3 cot x
3x − π
khi x =
π
3
m khi x =
π
3
b. f(x) =

e
x
khi x < 1
mx − 1 khi x ≥ 1
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0:
y = f(x) =



e
tan x−sin x
− 1
x
2
khi x = 0
0 khi x = 0
Bài tập tự luyện:
1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =