Chuyên đề giới hạn của hàm số
Chủ đề : giới hạn của hàm số
I/ Kiến thức cơ bản.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định trên khoảng
0
(a;b) \ x
.
Khi đó
0
0
x x
lim f(x ) L

=
nếu
n
dãy số (x )
trong tập hợp
0
(a;b) \ x
mà
n 0
limx x=
,ta đều có
n

(a; )+
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L
khi x dần đến
+
nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )+
mà
n
limx = +
,ta đều có
n
limf(x ) L=
.
Ta viết
x
lim f(x) L
+
=
.

x x x
x x
+/ T ơng tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x) .
+ +

= + = =

= =
d/
0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M


= .
Định lý 2: Giả sử
0
0
x x
lim f(x ) L

=
, khi đó:
a/
0
x x
lim f(x) L

=
. b/
0
3

0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )
trong khoảng
0
(x ;b)
mà
n 0
limx x=
,ta
đều có
n
limf(x ) L=
. Ta viết
0
x x
lim f(x) L
+

=
.
+/ Định nghĩa tơng tự cho
0
x x
lim f(x) L


=

5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
1
Chuyên đề giới hạn của hàm số
+/ Nếu
0
x x
lim f(x)

= +
thì
0
x x
1
lim 0
f(x)

=
.
+/ Quy tắc 1.
Nếu
0 0
x x x x
lim f(x) và lim g(x) L 0

= =
,thì
[ ]
0
x x


=
và
0
x x
lim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0

=



0
x J \ {x }
, trong
đó J là mộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
0
x x
f(x)
lim
g(x)

cho bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x)

x
,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu
thành tích chứa nhân tử
n
x
rồi giản ớc).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đa
k
x
ra ngoài (k là bậc cao nhất của x
trong căn) trớc khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
Dạng

và dạng
0.
:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dới dấu căn hoặc quy
đồng mẫu để đa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải
các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1
lim
x 1


2
n n
n
n
3x x 1
3.2 2 1
limf(x ) 11
x 1 2 1
+
+
= = =

+/ Vậy
2
x 2
3x x 1
lim 11
x 1

+
=

.
Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính
2
2
x 1
x 2x 3
lim
2x x 1


+ + +
= = = =

+ +
2
n n n n n
n
2
n n
n n n
x 2x 3 (x 1)(x 3) x 3 4
f(x ) lim lim lim
1 1
3
2x x 1
2(x 1)(x ) 2(x )
2 2
+/ Vậy
2
2
x 1
x 2x 3 4
lim
3
2x x 1

+
=


(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
+ + +


= = =
+ +

.
2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25



= = =
+ +

.
L u ý : Do
2 2
x 5 x 5
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25

limf(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
Ă
.
+/
2
x 1 x 1
limf(x) lim(7x 4x 3) 6

= + =
.
+/
x 1 x 1
lim f(x) lim(4x 2) 6= + =
.
Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
3
Chuyên đề giới hạn của hàm số
+/ Do
x 1 x 1
lim f(x) lim f(x) 6
+

= =

lim (1 2x)(3 )
x 1
+

+

.
Giải :
1/ Ta có
3
3 2
x x
3
1
1
x
lim lim 0
1 2
3x x 2
3
x
x

= =
+
+
.

2 3
2
x x x
2
2
2
1 1
1 1
x 3
3
3x x 1
x x
x x
2/ lim lim lim x = .
3 1
3 1
x 3x 1
1
x 1
x
x
x
x

+ ++

ữ


+ +

+
ữ

=+ = = ữ
ữ

ữ

ữ

x x x
7
1
1
x
Vì lim x ; lim 2 2, lim 3 2 .
1
x
1
x
Ví dụ 5: Tính
1/
2
x 0
(x 3) 27
lim
x


.
Giải :

1/ Ta có


+ + +
= = + + =
2 3 2
2
x 0 x 0 x 0
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim lim(x x 27x) 27.
x x
2/ Ta có

=

+

= = =
+ + + +
2
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1

(3 x) 3 x 1
(x 2) (3 x) 3 x 1
4/ Ta có

3 3
2 2
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1 + +
ữ
=

.
Mặt khác



=

+ + + +
2
x 1 x 1 x 1
5 x 2 1 x 1 1
lim lim =lim = .
8

x 1
5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x 1

+
= =

.
Ví dụ 6: Tính

( )
+
+
+ + +

+ +

+ +

2
2
x x
2 2
x x
5x 3 1 x x 2x 3x
1/ lim 2 / lim
1 x
4x 1 x 2

+ +
+ +
ữ
+ +

=

+ +
+ +
+ +
ữ

+ +
+ +
2
2
x x x
x
2
2
x 1 3
x 1 3x
x 2x 3x
x
x
2 / lim lim = lim
1
1 2
4x 1 x 2
x 4 x 2

x
x
Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
5
Chuyên đề giới hạn của hàm số
+ + +

+ = ì+ +
+ +
+ +
ữ

2
2
x x x x
2
2
x x 1 1
4 / lim x x 1 x lim = lim = lim =
2
1
1
x 1 x
1 1
x 1 1
x
x


D.
3

Ví dụ 9:
2
x 0
1 1
lim
x
x



ữ

bằng:
A.2 B.4 C.
+
D.

Ví dụ 10:
x 2
x 3
lim
x 1



bằng:


bằng:
A.2 B.0 C.1 D.
1
Ví dụ 13:
3
2
x 1
x 3x 4
lim
x 1

+

bằng:
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5
Ví dụ 14:
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 2x 3

+
+
bằng:
A.
+
B.

x 5
1/ lim
x 4

+


2
x 2
x 3x 2
2 / lim
x 2

+

.
HD:
+/ Xem lại ví dụ 1.
+/ Đ/S: 1/
8
5
2/ 1 .
Bài 2 : Tính

+

+
+ +
2 2
2 2

+ + +

+ + +
= =
+ +
+
2
2
x 1 x 1 x 1
x 4x 12 x 2 x 6 x 6 8
Nên lim lim = lim .
x 3 x 2 x 3 5
x x 6
Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a 4 khi x>2
f(x)
3ax 4 khi x 2

+
=

+

Có giới hạn khi x dần đến 2.
HD:

( )
( )
2

Bài 4: Tính
3 2
x 1 x 1
3 3
2 3 3
x 0 x 1
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3
2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1+ + +
+
+
+ +

HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5.
Đ/S: 1/
4
15

2/
4
3

3/ Lu ý để cho gọn ta biến đổi

3 3
2
x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 1 1
(x x 1)
x 1 x 1 x 1 x 1

= = + +

Nh vậy giới hạn cần tính bằng
2
x 1 x 1 x 1
3x 1 1 3 3
lim(x x 1) lim 3 lim .
x 1 2
3x 2 1


+ + = =

+
Bài 5:Tính
3 3
x 0 x 1
3
3
2
x 1
x 1
1 2x 1 3x x 7 x 3
1/ lim 2 / lim

1
6
.
3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu.
+/ Đáp số: 1
4/ +/ Biến đổi:
2 2 2
x x 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
+
= +
+
+/ Từ đó tính đợc giới hạn đã cho bằng
1
2
.
Bài 6 :Tính
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
x x
2
2
3
3
x x
3
x 1 x

+ +
HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6.
Đ/S: 1/ 5 2/
1

3/
1
4/ 0
5/
1
6/
1
2
7/ 1 8/ 2
Bài 7: Tính giới hạn sau theo a.
Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
8
Chuyên đề giới hạn của hàm số
2
2
x a
2 2 2
3 2
x a
(x 3x 2) x a
1/ lim
x 5x 4
x 2(a 1)x 2a 1 x a
2 / lim
x 5x 4x

+

= =
+/ Trờng hợp 2:
a 4

.

I 0. =
+/ Vậy
2 khi a=4
I
0 khi a 4

=



.
2/ Ta có:
a 0
>
.

+
+


+ + + +


I lim
x(x 1) 3

+
= = ì

+/ Trờng hợp 3:
a 1
a 4






I 0 =
.
Vậy
10
khi a 4
I
3
0 khi a 4 .

=

=




+

bng :
A). 3. B). 1. C). 6. D). 2,5.
Bi 3). Gii hn
3
1
2 2 1. 5 3
lim
1
x
x x
x

+

bng :
A).
19
12
B).
29
12
C).
19
12

D).
29
12

lim
2 5 2
x
x
x x


+
bng :
A).
8
3
. B). 2. C).
4
3
. D). 4.
Bi 6). Gii hn
3
1
1
lim
3 1 2
x
x
x


+
bng :
A).

Bi 8). Gii hn
2
1
3 2
lim
2
x
x
x x

+
+
bng :
A).
1
4

. B).
1
3
. C).
1
16
. D).
1
12
.
Bi 9). Gii hn
3
1

x
x x
x

+

bng :
A). 3. B). 11. C). 14. D). 13.
Bi 11). Gii hn
2
2
lim
2 2
x
x
x


+
bng :
A). 8. B). 4. C). 0. D). 2.
Bi 12). Gii hn
3
2
8
lim
2
x
x
x

Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
10
Chuyên đề giới hạn của hàm số
Bi 14). Gii hn
2
2
2
2 8
lim
2
x
x x
x x

+

bng :
A). - 2. B). 2. C).
4
3
. D). 4.
Bi 15). Gii hn
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

1
12
B).
7
12
C). 0. D).
1
6
Đáp án:
B i 1 B i 2 B i 3 B i 4 B i 5 B i 6 B i 7 B i 8
B B D C C B D D
B i 9 B i 10 B i 11 B i 12 B i 13 B i 14 B i 15 B i 16
B B B A B B D C
Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 0982681433
11