A. C hc
1. ng hc
Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ. B chuyển động sang phải với gia tốc
a

, còn vật nhỏ A đợc nối với
điểm C bằng một sợi dây không dãn đợc nâng lên theo đờng dốc chính của một mặt trụ của vật B.
Mặt này có bán kính R.
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng yên,
sợi dây luôn căng.
Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ sàn
lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D).

Giải:
Khi A đi từ sàn lên đến điểm cao nhất của trụ thì độ dời của nó sẽ là
AI

:


cos 2
22
DIADDIADIAIA +==
(
4


=
)
2
1
atEF =
Thời gian để trụ đi từ E đến F cũng chính là thời gian chuyển dời của vật nhỏ khi đi từ I đến A :
Suy ra:

a
R
a
R
a
AD
a
EF
t


====
2
.2
.2.2

Vận tốc trung bình của vật nhỏ A:
t
IA
v =

=v



gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:
2
22
2
v
lx
t
+
=
.
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô :
21
ttt +=
=
1
v
xd
2
22
v
lx +
+
.

+

=
1
v
xd

+
22
1
22
. lxv
lxnx
+
+
=
.
f(x) = 0

x=
1
2
n
l
.
Bảng biến thiên:

Vậy ô tô phải rời đờng cái tại B cách C một đoạn
=x

1
2

n
l
, lúc đó thời gian ngắn nhất cần
thiết của ô tô sẽ là:

AB:
=ld=v
0
dt.
Do

Rdl =


d
=
R
dl
thế vào phơng trình trên ta đợc:

R
dl
l
=
dtv
0
Lấy tích phân hai vế:

L
R
ldl
0
=

t




Rv
L
t
0
2
2
=
.
Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là:
Rv
L
t
0
2
2
=
.
Bài 4: Có hai vật m
1
và m
2
chuyển động thẳng đều với vận tốc lần lợt là
1
v

và
2

cos)(2)()(
21
2
2
2
1
tvtvltvtvld +=
=
2
21
2
2
221
2
1
)cos(2)cos2( ltvvltvvvv ++++

Ta xem biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai ẩn số
t
, với

22
2
2
sin4 vl=
, d sẽ đạt giá
trị nhỏ nhất khi tam thức đó nhận giá trị nhỏ nhất,
hay

=

min
d
2
221
2
1
2
cos2
sin
vvvv
lv
++


Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận tốc
không đổi lần lợt là v và u
( )
uv >
. Tàu B chuyển động trên một đờng thẳng (đờng thẳng này vuông
góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn hớng về tầu B.
Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?
Giải:
Ta gắn hệ trục
xy0
trùng với mặt phẳng nớc và trục 0x cùng
phơng chiều với chuyển động của tàu B , còn tàu A nằm trên
phần dơng của trục 0y ở vị trí ban đầu có toạ độ là
( )
a,0
.


dt
dy
dt
dy
dt
dx


cot
tan
1
==
(1)
Ta lại có:

cottan yxut
xut
y
=

=
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta đợc:

dt
dy
dt
dy
dt

==
(5)

4
Thay dt từ (5) vào (4):


sin
d
dy
y
vu =
hay


sin
d
y
dy
v
u
=
Lấy tích phân 2 vế:


=










=
2
tan

Mặt khác ta lại có:

=
+
=
2
tan1
2
tan2
sin
2



v
u
v
u
a
y
a

1

và

sinv
dy
dt =
nên




















+


















+






=

0
0
2
a
v

=
v
u
v
u
v
a
t
1
1
1
1
2
hay

=t

22
uv
av

Vậy sau thời gian
22
uv
av

tàu A sẽ đuổi kịp tầu B.
Bài toán đuổi bắt có nhiều dạng khác nhau, phơng pháp đa năng để giải các loại bài toán này
chính là phơng pháp vi phân . Tuy nhiên còn có những ph ơng pháp đặc biệt để giải chúng, các bạn
có thể tham khảo cuốn Lãng mạn toán học của giáo s Hoàng Quý có nêu ra một trong những phơng

Tìm điều kiện để điểm va chạm lần 2 cách điểm va chạm lần 1 một khoảng là d/2 ?
Giải :
Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.
Gọi v
1
,v
1
lần lợt là vận tốc của vật 1 trớc và sau khi va chạm.
Gọi v
2
và

v
2
là vận tốc của vật 2 trớc và sau khi va chạm (các vận tốc
v
1
,v
2
,v
1
,v
2
mang giá trị đại số).
Sau va chạm :

( )
21
22121
'

mm
vmvmm
v
+
=
+
+
=
(do v
2
= 0)
Nhận thấy v
1
,v
2
đều dơng, chứng tỏ sau va cham chúng chuyển động cùng chiều ox.
Gọi điểm va chạm lần 2 cách tờng một đoạn x, thời gian giữa 2 lần va cham là :

'
'
2
1
v
xd
v
xd
t
+
=


2
d
thì:
22
dd
dx ==

hay
23
21
21
d
d
mm
mm
=

+



21
3mm
=
.
Bài 7: Một hạt chuyển động theo chiều dơng của trục ox với vận tốc sao cho
xav =
(a là hằng số
dơng). Biết lúc t = 0 hạt ở vị trí x=0.
Hãy xác định :

4
2 t
a
xatx ==
Vận tốc của vật
'x
dt
dx
v ==

t
a
v
2
2
=
Gia tốc của vật :

7

''
2
2
x
dt
xd
w ==

2
2

. Bỏ qua sức cản của không khí.
a. Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi.
b. Tìm góc

hợp bởi phơng véc tơ vận tốc và phơng ngang ngay sau viên đá chạm mặt
phăng nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B.
Giải:
a. Chọn hệ trục oxy gắn o vào điểm A và trục ox song song với phơng ngang Trong quá trình
chuyển động lực tác dụng duy nhất là trọng lực
P

.
Theo định luật II Newton:

amP


=
Chiếu lên:
0x:
x
ma=0

0=
x
a
0y:
y
maP =




=
=
)4(sin
)3(cos


ly
lx
T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :



2
2
0
cos.
)cos.sincos (sincos2
g
v
l

=



2
2
0

Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :


cos
3
2
cos
2
0
g
v
lx ==
hay

cos
3
2
.cos
2
0
0
g
v
tv =
;
Suy ra thời gian chuyển động trên không của viên đá:



cos3





tan
=
3
1
2
32
0
0
=

=
v
v
v
v
x
y


0
30
=

do
<=
32

22
222
v
vv
vvv
yx
=+=+=


=R

g
v
.33
2
2
0
Bài 9: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển động
nhanh dần đều. Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian
1
t
.
Hỏi toa thứ n đi qua ngời ấy trong thời gian bao lâu?
Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa.
Giải:
Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian t
1
:

2

1n
toa đầu tiên vợt qua ngời ấy mất thời gian
1n
t
:

( )
2
1
2
1
=
n
at
sn


a
Sn
t
n
)1(2
1

=

Toa thứ n vợt qua ngời ấy trong thời gian
t

:

, , nv
0
.
Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trên quảng đờng AB trong các trờng hợp :
a. s = 315 m ;
b. s = 325 m .
Giải:
Đặt:
)(3
1
st =

Gọi quảng đờng mà chất điểm đi đợc sau
1
nt
giây là s:

n
ssss +++=
21

Trong đó s
1
là quảng đờng đi đợc của chất điểm trong 3 giây đầu tiên. s
2
,s
3
, ,s
n
là các quảng đ-

6
n
n
(loại giá trị n=-7)
Thời gian chuyển động:

)(231
1
snntt =+=
Vận tốc trung bình:
23
315
==
t
s
v

=v
)/(7,13 sm
.
b. Khi
ms 325=
:
Thời gian đi 315 mét đầu là 23 giây
Thời gian đi 10 mét cuối là :

)(29.0
5.7
1010
1

2
. Sau
thời gian t chuyển động khoảng cách giữa chúng là:

2
2211
)()( tvdtvdd +=
=
2
2
2
12211
22
2
2
1
)(2)( ddtdvdvtvv ++++

min
dd =
2
2
2
1
2211
vv
dvdv
t
+
+
=
22
dS
2
2
2
1
12211
2
2
2
1
2211
2
)(
vv
dvdvv
vv
dvdv
v
+

=
+
+


)(750

0
30=

.
a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ
cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông
(coi nh một điểm) lấy g = 10m/s
2
.
Giải:
a. Sau 4s độ cao của ngời đứng trên mật côngtenơ là:

)(10
2
45
6
2
22
m
ta
H =

+=

+
Vận tốc của ngời lúc đó:

s
m

=+=+=


1=
x
y
v
v
tg

vậy
0
45=


Chọn trục oxy nh hình vẽ gắn vào mặt đất. Phơng trìn chuyển động của viên đá theo phơng
oy:
2
sin10
2
gt
tvy +=

với
)/(65,6
22
smvvv
yx
=+=
vậy:

Giải:
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng ox :


cos
0
vv
x
=
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng oy:

gtvv
y
=

sin
0

Phơng trình chuyển động:

tvx =

cos
0
;

2
sin
2
0



==

(1)
Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:






=
=




=
=
)3(
2
sin
)2(cos
2
0
0
h
gt
tv

2
+=
v
gh

;
2
0
2
2
1
cos
v
gh
=

Thế vào (4):

)coscos(sin
2
2
0

=
g
v
l

=l


+
=
2
0
2
0
2
0
00
2
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
v
gh
v
gh
v
gh
vvv

2
0
2
0
2
0
+=+= v
v
gh
v
gh
v
gh
vv
A

13

=
max
S

( )
g
v
v
gh
g
v
A

22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
l +=
thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và
tầm xa này bằng
( )
g
v
v
gh
1.
2
1
2
0
2
0
+






0
=
t
,
0
=
v
00
222 vatvvC +==

2
2
00
4
. t
a
tvavv +=
Khi chất điểm dừng lại thì v = 0:

0
2
v
a
t =
(*)
Quảng đờng vật đi đợc cho đến lúc dừng lại:


+==
0)

=
b. Từ (*) ta có thời gian đi quảng đờng ấy:
=t
0
2
v
a
.
Bài 15: ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả
cầu đồng chất bán kính R = 1(cm)
)( hR
. Đẩy cho tâm 0
của quả cầu lệch khỏi đờng thẳng đứng đi qua A, quả cầu

14
rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0. Tính thời gian rơi và
tầm xa của quả cầu(g = 10m/s
2
).
Giải:
Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A. Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó là v,
phản lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực

cosp
:


cos9cos
2
2

3
2
=
Giai đoạn tiếp theo vật nh một vật bị ném xiên với góc

và với vận tốc ban đầu:

gRv
3
2
=
Theo đề bài
hR
<<
do vậy ban đầu ta xem
A

0
.
Chọn trục
xy'0
nh hình vẽ
A

'0
.






=
=
3
5
sin
3
2

gRv
vào phơng trình trên ta tìm đợc:








<
+
=
++
=
)(0
.33
541010
.33
541010
2

ghgRgR
.33
541010 ++

=S
( )
ghgRgR
g
R
541010
2
27
2
++
.
Bi 16: Mt cht im chuyn ng chm dn trờn bỏn kớnh R. sao cho ti mi im gia tc tiộp
tuyn v gia tc phỏp tuyn luụn cú ln bng nhau. Ti thi im ban u t=o, vn tc ca cht
im ú l
0
v
.
Hóy xỏc nh:
a. Vn tc ca cht im theo thi gian v theo quóng ng i c.
b. Gia tc ton phn theo vn tc v quóng ng i c.
Gii:
a. Theo bi ta cú:

R
v
dt

0


=v
t
R
v
v
0
0
1
+
t (1)
R
ds
v
dv
=
(2) (ds = vdt )
Ly tớch phõn 2 v phng trỡnh (2):

R
s
v
v
R
ds
v
dv
Sv

=a

2
2
R
v
Gia tốc toàn phần theo quãng đường đi được:

=a

2
.
2
2
0
R
ev
R
s
−
.
Bài 17: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến sát
vòng kia với vận tốc
0
v

. Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách giữa hai
tâm
d=
21

R
d
RRRACy
d
tv
RADDx
αα
Ta có:

0
' vd −=
Ta suy ra:








−
=
=
4
4
2
22
dR
y
d

vd
dR
dd
v
v
dv
Cy
Cx

( )
2
22
0
2
0
22
.
42
.
2
dR
dvv
vvv
CyCx
−
+






=

10
2112
=+= vvv
(m/s).
Thi gian t ban u n lỳc vt (1) v vt (2)
gp nhau l:
10
10
100
12
===
v
AB
t
(s)
Quóng ng vt nh i c tng cng cho n lỳc vt (1) v vt (2) gp nhau l:

30010.30.
===
tvs
(m).
2. Động lực học chất điểm:
Bài 19: ở mép đĩa nằm ngang bán kinh R có đặt một đồng tiền. Đĩa quay với vận tốc
t

=
(

===
Gia tốc toàn phần:

22
tn
aaa +=
=
22424
RtR

+
Lực làm đồng tiền chuyển động tròn chính là lực ma sát nghỉ.
Ta có:

22424
RtRmmaF
msn

+==
=
Rm

1
42
+t

Vật có thể nằm trên đĩa nếu lực ma sát nghỉ tối đa bằng lực ma sát trợt:

mstmsn
FF

Lúc vật bắt đầu văng ra thì :
mstmsn
FF =
hay:

)1.(
1
22
22
2
4
=

à

R
g
t

18



=t

1.
1
22
22


( với
g
R

à
>
) vật sẽ văng ra khỏi đĩa.
Bài 20: Một ngời đi xe đạp lợn tròn trên một sân nằm ngang có bán kính R. Hệ số ma sát chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách r từ tâm của sân theo quy luật






=
R
r
1
0
àà
Với
0
à
là một hằng số (hệ số
ma sát ở tâm của sân)
Xác định bán kính của đờng tròn tâm 0 mà ngời đi xe đạp có thể lợn với vận tốc cực đại? Tính vận
tốc đó ?
Giải:
Giả sử ngời đó đang đi trên quỹ đạo tròn với bán kính



à
Suy ra
2
0
0
2
r
R
g
grv
à
à
=
Đây là một tam thức bậc hai ẩn r với hệ số
0
0
<=
R
g
a
à
. Giá trị của
2
v

đạt lớn nhất khi:



R
g
R
gvv
àà
à
=






==
Vậy:

=
max
v
2
0
gR
à
Vậy ngời đi xe đạp có thể đi với vận tốc lớn nhất bằng
2
0
gR
à
trên quỹ đạo có bán kính lớn nhất
bằng

hay
dt
m
k
v
dv
=
Nguyên hàm hai vế:

+= cdt
m
k
v
dv



Cdt
m
k
v +=ln

Lúc
0=t
thì
0
vv =




0

S
= v
0
.
dte
t
t
m
k


0
=
k
mv
0
-
t
m
k
e
k
mv

.
0

k

v

=
0
020



=s
k
mv
0
.
Bài 22: Cho cơ hệ nh hình vẽ. Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận đợc
gia tốc
a

theo phơng ngang nh hình vẽ. Tính gia tốc
của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát trợt giữa M và sàn là
à
.
L ợc Giải:
Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn nh hình vẽ. Trong hệ quy
chiếu oxy:
Phơng trình chuyển động của vật M

0

maTmgF
g
a
mg
ma
P
F
tg
qt
qt


Từ (3) suy ra:


sinma
cosmg+

0
maT =
(4)
Từ (1) và (4) suy ra:

)5(
cossin
1
0
Mm
mgmaNMa
a


)7(
1
1
1
1
cos
22
2
22
ga
g
g
atg +
=
+
=
+
=


Và
)8(
1
MgN =
Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:

21

Mm

M
a

Mm
mgMggam
+
+
à
22
Bài 23: Cho cơ hệ nh hình vẽ. Hệ số ma sát giữa M và m là
1
à
,
giữa M và sàn là
2
à
. Tìm độ lớn của lực
F

nằm ngang:
a. Đặt lên m để m trợt trên M.
b. Đặt lên M để M trợt khỏi m.
Giải:
a. Khi tác dụng lực
F

lên m.
Phơng trình chuyển động của m trợt trên M:

m

msms
msms
21
2
2121
221
'
)(
'

=



+=+=+=
=
Để m trợt trên M thì:

21
aa >
; F
1
'
ms
= F
ms1
=
mg
1
à

>>

22
Vậy đáp số của bài toán này:

( )( )





>
+>
mgF
g
M
m
MmF
1
21
à
àà
b. Khi tác dụng lực
F

lên M :
Phơng trình chuyển động của m:




gMmPPNNN
MaFFF
msms
)(
2121
221

M
FFF
a
msms 21
2

=
Để M trợt khỏi m thì:
12
aa >
(chú ý:
( )



+=
==
gmMF
mgFF
ms
msms
22
1'11

àà
Điều kiện
0
2
>a

hay
)2()(
21
gMmmgF ++>
àà
Điều kiện (2) bao hàm trong điều kiện (1).
Do vậy kết quả bài toán :

gMmF ))((
21
++>
àà
.
Bài 24: Cho cơ hệ nh hình vẽ.
Tìm gia tốc của m
1
và biện luận kết quả tìm đợc.
Bỏ qua mọi ma sát.
Khối lợng ròng rọc và dây nối bằng không.
Giải:
Chọn chiều dơng nh hình vẽ.
Phơng trình định luật II Newton cho vật:

23

1
11
11111
0
000
m
TP
aamTP
m
TP
aamTP
m
T
aamT

==

==
==
Giả sử ròng rọc quay ngợc chiều kim đồng hồ.
Gọi S
0
, S
1
, S
2
là độ dời của m
0
, m
1


g
mmm
T .
2
1
2
12
2
210
++
=

11
1
1
11
1
2
2
m
T
g
m
T
gm
m
Tgm
a =


2
1
210
1












++

* Biện luận:
- Nếu m
0
= 0 thì a
1
= g, a
2
= g: m
1
và m
2
đều rơi tự do.

b. Với giá trị nào của n để kiện hàng vẩn trợt mà không bị lật.
Giải:
a. Xét các lực tác dụng vào kiện hàng:
msBmsABA
FFNNP

,,,,
.
Theo định luật II Newton:

amFFNNP
msBmsABA


=++++
Chiếu lên oy:


cos0)(cos mgNNNNP
BAAA
=+=+
(1)
Chọn khối tâm G của kiện hàng làm tâm quay, vật chuyển động tịnh tiến không quay nên từ đó
ta có:

2222
h
F
h
F

NN
AB
==

Giải hệ phơng trình (1) và (2) ta đợc:

)1(cos
2
1
nmgN
A
à
=)1(cos
2
1
nmgN
B
à
+=
Lực ma sát tại mỗi gối:








.
Bài 26: Một vật nhỏ đang nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang nhẳn, lúc
0
=
t
vật đó chịu tá dụng
của một lực phụ thuộc thời gian
tF

=
(

là hằng số). Lực hợp với mặt nghang góc không đổi

.
a. Tính vận tốc của vật lúc rời mặt phẳng ngang.
b. Quảng đờng vật đi đợc trong khoảng thời gian đó.
Giải:

25