PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT CHƯƠNG I
• Dạng 1: Xác định vận tốc góc trung bình (hoặc góc mà vật quay được); gia tốc
góc trung bình (hoặc độ biến thiên tốc độ góc) trong một khoảng thời gian.
Phương pháp giải
 Học sinh vận dụng các công thức:
ω
=
t
∆
∆
ϕ
và
γ
=
t
∆
∆
ω
để thực hiện yêu
cầu của đề bài.
 Khi giải các bài toán dạng này cần lưu ý học sinh phân biệt được 2 khái
niệm: góc mà vật quay được với toạ độ góc; nắm được ý nghĩa của vận
tốc góc trung bình, gia tốc góc trung bình.
Ví dụ 1: Tìm vận tốc góc trung bình của trái đất quay xung quanh trục của nó với
chu kì 24 giờ.
Giải
Theo đề ra ta có : ∆t = 24 giờ , ∆ϕ = 2π (rad)
Vận tốc góc trung bình của trái đất quanh trục của nó là:
ω =
t
∆

.
60.5,1
)320225(
22
0
sradsrad
tt
−≈
−
=
∆
−
=
∆
∆
π
ωω
ω
Dấu (-) cho biết cánh quạt đang quay chậm lại.
b) Thời gian để cánh quạt dừng lại kể từ khi vận tốc góc có giá trị 320 vòng/phút
được tính:
∆t =
1,5)(
60
2
.
11,0
)3200(
≈
−

.
)11,0.(2
3200
.
2
1
2
.
2
1






−
−
=
−
π
πγ
ωω
π
TB
(vòng)
≈
812(vòng)
• Dạng 2: Dùng các công thức của chuyển động quay đều, quay biến đổi đều để
tìm các đại lượng: toạ độ góc, góc quay, vận tốc góc, thời gian.

= 2
γ
(
ϕ
-
ϕ
0
) = 2
γ∆ϕ
 Trong quá trình vận dụng các công thức cần lưu ý :
+ Điều kiện áp dụng các công thức trên là : chuyển động quay biến đổi
đều (
γ
= hằng số), hoặc chuyển động quay đều (
γ
= 0).
+ Dấu của
ω
và
γ
được quy ước như sau:
Vật quay theo chiều dương:
ω
> 0
Vật quay theo chiều âm:
ω
< 0
Vật quay nhanh dần:
ωγ
> 0

ϕ
2
=
π
2
7,56

≈
9 vòng
Ví dụ 2: Một cái đĩa bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau
5,0s nó quay được 25 rad.
a) Gia tốc góc của đĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của đĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của đĩa :
γ =
25
25.2.2
2
=
∆
t
ϕ
(rad/s
2
) = 2 (rad/s
2
)
b) Vận tốc góc trung bình


10
510
−
(rad/s
2
) = 0,5 (rad/s
2
)
b) Góc mà bánh xe quay được trong 10s:
∆ϕ = ϕ - ϕ
0
= ω
0
t +
2
1
γt
2
∆ϕ = 5.10 +
2
1
.0,5.10
2
= 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong 10s:
≈=
∆
=
ππ

s13
35,0
)6,4(0
≈
−−
.
b) Sau khi tốc độ của đĩa bằng 0, đĩa sẽ quay nhanh dần đều với gia tốc góc γ =
0,35 rad/s
2
. Thời gian để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương được tính:
∆t =
35,0
2.5.22
π
γ
ϕ
=
∆
≈
13,4 (s).
Thời điểm để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương là: t = t
1
+∆t
≈
26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời điểm ban đầu một bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là -
0,25rad/s
2
và ϕ
0

=
−
γ
ω
Đường mốc đạt được một góc cực đại ϕ
max
:
ϕ = ϕ
max
= ϕ
0
+ ω
0
t
1
+
2
1
γt
1
2

ϕ = 4,7.1,88 +
2
1
(-0,25).1,88
2
= 44,18 (rad)
b) Khi
max

aa
+
; trong đó:
r
v
ra
n
2
2
==
ω
,
t
v
a
t
∆
∆
=
 Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các
điểm trên vật rắn:
+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay
trên vật có cùng góc quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- Đối với vật rắn quay đều thì: a
t
= 0 nên a = a
n
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc độ góc không đổi ω = 20 rad/s

1
smra
n
===
ω
- Gia tốc pháp tuyến của điểm chính giữa một bán kính:
)/(96,985
22
2
1
2
2
sm
ar
a
n
n
===
ω
Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung
quanh trục của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s
2
. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên
vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng
với cùng một điểm trên vành bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:

=+
22
nt
aa
1,03m/s
2
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe được xác định:
tgα =
985,0
314,0
=
n
t
a
a
→ α= 17
0
46
’
 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút đồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất một
vòng mất 27 ngày đêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái Đất quay trên quỹ đạo tròn với chu kì bằng 88
phút.
Đáp số: a) 14,5.10
-5
rad/s, 1,74.10
-3

; c) t
’
= 98,1s
6. Một cái đĩa ban đầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần đều với gia tốc bằng 4,0
rad/s
2
.
a) Hỏi sau bao lâu thì đĩa dừng lại?
b) Đĩa quay được một góc bao nhiêu trước khi dừng?
Đáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội. Biết rằng
vĩ độ của Hà Nội là
0
21
=
α
Đáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyđrô là
scmv /10.8,2
3
=
.Tính vận tốc góc và gia
tốc pháp tuyến của electron nếu quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1
-8
cm.
Đáp số: ω = 4,4.10
16
rad/s ; a
n
= 9,68.10

+ md
2

 Mô men quán tính của một số vật đồng chất:
+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục
của nó: I = mR
2
.
+ Đĩa tròn, hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục
của nó: I =
2
1
mR
2
.
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I =
12
1
ml
2
.
+ Quả cầu đặc có trục quay đi qua tâm: I =
5
2
mR
2
.
Ví dụ 1: Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m
1

2
= m
2
4
2
l
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (O): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
4
2
l
Momen quán tính của hệ đối với trục quay (O):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
12
1

2
)
b) Trục quay vuông góc với thanh tại đầu A được
tính:
Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (A): I
1

=
3
1
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (A): I
2
= 0
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (A): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3

2
= (5 kgm
2
)
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với
thanh.
Áp dụng định lí trục song song ta tính được mô men
quán tính của thanh đối với trục quay (O’):
I
1
=
12
1
m
1
l
2
+ m
1
(
4
l
)
2
=
48
7
m
1
l

m
2
m
3
Hình 2
A
B
m
2
m
3
Hình 3
A
B
m
2
m
3
O’
Hình 4
G
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (O’):
I
3
= m
3
R
3

48
7
lm
+
2
2
16
1
lm
+
2
3
16
9
lm
= 2,875 2 kg.m
2
Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác
đều ABC. Tính mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông
góc với khung.
Giải
Ta thấy:
m
AB
=

m
BC
= m
CA

Áp dụng định lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC đối với trục
quay đi qua A là I
BC
:
I
BC
= I
(G)BC
+ m .(AG)
2
Trong đó: I
(G)BC
=
2
12
1
ml
; AG =
2
3l
I
BC
=
2
12
1
ml
+ m.(
2
3l

 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa tròn đặc bán kính r có trục
quay vuông góc với đĩa và đi qua mép đĩa.
Đáp số:
2
5,1 mR
2. Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
b) Đặt vật nhỏ khối lượng m
1
= 2 kg vào mép đĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm đĩa. Tìm
momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
Đáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2
3. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một
người có khối lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mô men quán tính của
người và sàn trong 2 trường hợp:
A
B
C
G
Hình 5
a) Người đứng ở mép sàn
b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m.
Đáp số: a)250kgm
2

2
= 0,1 kg.m
2
Momen lực tác dụng lên đĩa:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay ta được:
M = I.γ → γ =
==
1,0
4,0
I
M
4rad/s
2
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:
ω = γt = 4.5 = 20 rad/s
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có
đường kính 60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng
đầu tiên. Momen quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:
ϕ
-
ϕ
0
=
2
1
γ
t

≈
2
4/
21,0
kgm
π
0,27kgm
2
.
Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M
1
không đổi là 20Nm.
Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó mô men
lực M
1
ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô
men của lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng
0,25M
1
.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều:
2
1
01
1
/5,1 srad

M
= 10kgm
2
.
Ví dụ 4: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men lực
cần thiết phải tác dụng lên đĩa để tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút trong 5s là bao
nhiêu? Nếu biết rằng sau đó ngừng tác dụng của mô men lực thì đĩa quay chậm dần
đều cho đến khi dừng lại mất 45s.
Giải
Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là:
I =
2
1
mR
2
= 1,55.10
-3
(kgm
2
)
Gia tốc góc của đĩa khi tăng tốc:
γ
1
=
==
)/(
5
60/2.1500
2
1


= Iγ
2

+ Khi tăng tốc đĩa chịu tác dụng của mô men lực làm quay và mô men cản của lực
ma sát:
M
F
+ M
ms
= I γ
1
→ M
F
= I γ
1
- I γ
2
= I(γ
1
- γ
2
)
M
F
= 1,55.10
-3
(10π+
9
10

Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán.
Ví dụ 1: Trên hình vẽ 6: ròng rọc là một cái đĩa đồng tính có
khối lượng M =2,5kg và có bán kính R = 20cm, lắp trên một
cái trục nằm ngang cố định. Một vật nặng khối lượng m = 1,2kg
m
R
Hình 6
treo vào một sợi dây không trọng lượng quấn quanh mép đĩa. Hãy tính gia tốc của
vật nặng khi rơi, gia tốc góc của đĩa và sức căng của dây . Giả thiết dây không trượt
và không có ma sát ở ổ trục.
Giải
- Các lực tác dụng lên M gây mômen đối với trục ròng rọc:
2
T

- Các lực tác dụng lên m gồm
11
,TP

Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật m:
mg – T
1
= ma (1)
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn chuyển
động quay đối với M:
T
2
R = I
γ
=

=
+
=
Gia tốc góc của đĩa :

2
/24
2,0
8,4
srad
R
a
==
γ
Lực căng của dây T:

NMaT 0,68,4.5,2
2
1
2
1
===
Ví dụ 2: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng
một dây nhẹ, không dãn, vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I
= 0,050kgm
2
(hình vẽ). Biết dây không trượt trên ròng rọc. Lúc đầu, các vật được giữ
đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng rọc quay quanh trục
của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi. Cho g = 10m/s
2

B
T
B
T
A
T’
A
T’
B
P
A
F
ms
Hình 9
a = Rγ = 0,63m/s
2
.
c) Lực căng của dây ở hai bên ròng rọc:
- Đối với vật A: P
A
– T
A
= ma
→ T
A
= mg-ma = 9,17 (N) = T’
A
.
- Đối với ròng rọc: (T
A

2
. Cho α = 30
0
. Hãy tính:
a) Gia tốc của m
1
, m
2
và gia tốc góc của ròng rọc.
b)Lực căng của sợi dây nối với m
1
và m
2
.
Giải
a) Các lực tác dụng lên m
1
gồm:
1
P

,
1
T

,
N


Các lực tác dụng lên m

= m
1
a
1
(1)
T
2
– m
2
g = m
2
a
2
(2)
Áp dụng phương phương động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc ta có:
T
1
R – T
2
R = I.γ (3)
Mặt khác: T’
1
= T
1
, T’
2
= T
2
, a
1

200
2
srad
a
1
= a
2
= a = Rγ = 0,1.
8,1
11
200
≈
(m/s
2
).
b) Lực căng các dây được tính:
T
2
= m
2
(g + a
2
) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N)
T
1
= m
1
g.sinα - m
1
a

T

/
2
T

Hình 11
• Dạng 3: Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một
trục cố định khi mô men lực tác dụng lên vật thay đổi.
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một
vị trí đặc biệt nào đó. Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay
đổi. Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:
 Xác định mô men lực tác dụng lên vật
 Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay
 Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l
có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng với trục
quay (O) nằm ngang. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang
rồi thả cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm
bắt đầu thả.
Giải
Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm
ngang), mô men lực làm thanh quay là:
2 2
l mgl
M P= =
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động
quay ta có :
M = Iγ →

1
+l
2
với l
1
=20cm và l
2
=80cm.
Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang, như trên hình
vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính gia tốc của hai
vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu
chuyển động. Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Các lực tác dụng lên m
1
và m
2
như hình vẽ 13.
m m
l
1
l
2
Hình 14
A
O
Hình 12
•

2
l
2
-T
1
l
1
= 0 (3)
Mặt khác:
2
1
2
1
l
l
a
a
=
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m
1
=m
2
= m =100g ta có:
a
1
=
=
+
−

2
/
17
120
sm
T
1
= m
1
(g+a
1
) =
N
17
20
T
2
= m
2
(g-a
2
) =
N
17
5
 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi
dây không khối lượng quấn quanh bánh xe và buộc
vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật này trượt
không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 20

bằng một sợi dây mảnh vắt qua một ròng rọc gắn ở mép
α
Hình 16
m
2
m
1
Hình 17
l
1
l
2
T
1
T
2
P
1
P
2
Hình 15
một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng rọc có mô men quán tính
0,125kg.m
2
và bán kính 15cm. Giả sử rằng dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt
bàn và ở trục ròng rọc là không đáng kể. Hãy tính:
a) Gia tốc của 2 vật.
b)Lực căng ở hai nhánh dây.
Đáp số: a) a
1

a) Tính mô men quán tính của đĩa
b) Tính độ lớn mô men hãm.
Đáp số: a) 0,01(kgm
2
); b) 0,01Nm.
 Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 2)
2.7.4. Bài tập áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng.
• Dạng 1: Tìm mô men động lượng, độ biến thiên môn men động lượng của
một vật hoặc hoặc hệ vật.
Phương pháp giải
 Nếu biết mô men quán tính và các đại lượng động học thì ta áp dụng công
thức: L = I
1
ω
1
+ I
2
ω
2
+… + I
n
ω
n
. Do đó bài toán đi tìm mô men động lượng
trở thành bài toán xác định mô men quán tính và tốc độ góc của các vật.
 Nếu biết mô men lực và thời gian tác dụng của mô men lực thì:: M =
t
L
∆
∆

1
m
1
R
2
+
3
1
m
2
R
2

Mô men động lượng của hệ là:
L = I
ω
= (
2
1
m
1
R
2
+
3
1
m
2
R
2

LL
=
−
−
0
01
Suy ra: L = M.t = 50.5 = 250 kg.m
2
/s
• Dạng 2: Bài tập áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng
Phương pháp giải
 Kiểm tra điều kiện bài toán để áp dụng định luật bảo toán mô men động
lượng.
 Tính mô men động lượng của hệ ngay trước và ngay sau khi tương tác.
Trường hợp có sự tương tác giữa chất điểm với vật rắn thì mô men động
lượng của chất điểm đối với trục quay được viết theo công thức: L = mv.r
= mr
2
ω
.
 Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: L
hệ
= hằng số
 Từ phương trình định luật bảo toàn , ta dùng toán học để tìm kết quả.
Ví dụ 1: Một sàn quay có dạng một đĩa tròn đồng chất khối lượng M = 25 kg, bán
kính R = 2m. Một người khối lượng m =50 kg đứng tại mép sàn. Sàn và người quay
đều với tốc độ 0,2 vòng/s. Khi người đó đi tới điểm cách trục quay 1m thì tốc độ góc
của người và sàn bằng bao nhiêu?
Giải
Mô men quán tính ban đầu của hệ :

Momen động lượng của hệ ban đầu: L
1
= I
1
ω
1
Khi người cách trục quay 1m thì momen động lượng của hệ là: L
2
= I
2
ω
2
Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có:
L
1
= L
2
hay I
1
ω
1
=

I
2
ω
2
vßng/s5,0
100
2,0.250

Với: I
1
= 3 + 2.3.1
2
= 9 (kgm
2
)
I
2
= 3 + 2.3.(0,3)
2
= 3,54 (kgm
2
)
Do đó:
)/(9,1
54,3
75,0.9
2
11
2
srad
I
I
===
ω
ω
Ví dụ 3: Một đứa trẻ, khối lượng M đứng ở mép một sàn quay có bán kính và mô
men quán tính I. Sàn đứng yên. Bỏ qua ma sát ở trục quay. Đứa trẻ ném một hòn đá
khối lượng m theo phương ngang, tiếp tuyến với mép của sàn.Tốc độ của hòn đá so

( ) 0I MR mvR
ω
⇒ + + =
a) Tốc độ góc của đứa trẻ :
2
mR
I MR
ω
−
=
+
b) Tốc độ dài của đứa trẻ :
2
2
mvR
v R
I MR
ω
−
= =
+

Ví dụ 4: Một thanh mảnh, đồng tính, dài 0,5m, khối lượng 0,4kg. Thanh có thể quay
trên một mặt phẳng nằm ngang, quanh một trục thẳng đứng đi qua khối tâm của nó.
Thanh đang đứng yên, thì một viên đạn khối lượng 3,0g bay trên mặt phẳng ngang
của thanh và cắm vào một đầu thanh. Phương của vận
tốc của viên đạn làm với thanh một góc 60
0
. Vận tốc
góc của thanh ngay sau va chạm là 10rad/s. Hỏi tốc độ

2
2
=






+=






+
−
ω
l
mMl
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
h
= L
1
→ v =
28,1
650,0
835,0

mML
l
mIIL
h
+=⇒






=














+==
2Ö
2
l

=
ω
60
0
•
Hình 19
•
Trục quay
Cục matít
Hình 20
 Bài tập tự luận áp dụng.
1. Một vận động viên trượt băng nghệ thuật có thể tăng tốc độ từ 0,5vòng/s đến 3 vòng/s.
Nếu mô men quán tính lúc đầu là 4,6kgm
2
thì lúc sau là bao nhiêu?
Đáp số: 0,77kgm
2
.
2. Một xi lanh đặc, đồng chất, khối lượng 10kg, bán kính 1m quay với vận tốc góc 7rad/s
quanh trục của nó. Một cục ma tít, khối lượng 0,25kg, rơi thẳng đứng vào xi lanh tại
một điểm cách trục 0,9m và dính vào đó. Hãy xác định vận tốc của hệ khi cục ma tít
dính vào.
Đáp số: 6,73rad/s.
3. Hai đĩa có ổ trục được lắp vào cùng một cái trục. Đĩa thứ nhất có mô men quán tính
3,3kgm
2
,

được làm quay với tốc độ 450vòng/phút. Đĩa thứ hai


v
4
3
.
 Bài tập dạng tắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 3).
2.7.5. Bài tập về năng lượng trong chuyển động quay của vật rắn.
• Dạng 1: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục
cố định
Phương pháp giải
 Viết công thức tính động năng của vật hoặc hệ vật: W
đ
=
2
1
I
ω
2
.
 Nếu đề bài cho mô men quán tính và tốc độ góc thì ta áp dụng công
thức.
 Nếu đề bài chưa cho I và
ω
thì ta tìm mô men quán tính và tốc độ góc
theo các đại lượng động học, động lực học hoặc áp dụng các định luật
bảo toàn.
Ví dụ 1: Một sàn quay hình trụ có khối lượng 80kg và có bán kính 1,5m. Sàn bắt
đầu quay nhờ một lực không đổi nằm ngang, có độ lớn 500N tác dụng vào sàn theo
phương tiếp tuyến với mép sàn. Tìm động năng của sàn sau 3,0s.
Giải
Mô men quán tính của sàn đối với trục quay của nó:

2 2
d
1 1
W 90 (25,0) 28125
2 2
I J
ω
= = × =
• Dạng 2: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động lăn.
Phương pháp giải
Áp dụng công thức : W =
2
1
mv
G
2
+
2
1
I
ω
2

và xác định các đại lượng trong
công thức để tìm động năng.
Ví dụ: Một cái đĩa hình trụ đặc khối lượng M= 1,4kg và bán kính R = 8,5cm lăn trên
một mặt bàn nằm ngang với tốc độ 15cm/s.
a) Vận tốc tức thời của đỉnh đĩa đang lăn là bao nhiêu?
b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là bao nhiêu?
c) Động năng của đĩa là bao nhiêu?

ω
2

+
2
1
mv
kt
2
=
22
2
2
4
3
2
1
)
2
1
.(
2
1
ktkt
kt
MvMv
R
v
MR
=+

1
=
)/(2
40
80
srad
R
v
==
Gọi ω
2
là tốc độ góc của quả bóng sau khi dây được kéo qua lổ xuống dưới. Áp
dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
1
= L
2
→ I
1
ω
1
= I
2
ω
2

→ ω
2
=
)/(12,52.

I
-
2
11
2
1
ω
I
=
2
2
2
2
2
1
ω
mR
-
2
1
2
1
2
1
ω
mR

Thay số: A = 0,06 (J)
Ví dụ 2: Công cần thiết để tăng tốc đều một bánh xe từ nghỉ đến tốc độ góc 200rad/s
là 3000J trong 10s. Tìm momen lực tác dụng vào bánh xe?

+ γt → γ =
10
200
=
t
ω
= 20 (rad/s).
Momen lực tác dụng vào bánh xe là: M = Iγ = 0,15.20 = 30 (Nm)
• Dạng 4: Bài tập áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trong chuyển động
quay.
Phương pháp giải
Bài tập lại này chủ yếu áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật rắn
có trục quay cố định nằm ngang trong trường hợp bỏ qua ma sát. Do đó
khi giải ta áp dụng công thức:
W = W
t
+ W
đ
= mgh
G
+
2
2
1
ω
I
= hằng số
Trong đó: h
G
= l(1-cos

.
2
1
22
l
mgml
=
ω
→
26
1
2
2
2
l
mg
l
v
ml
=
→ v =
5,2.8,9.33
=
gl
(m/s)
≈
8,6 (m/s)
Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m trượt không ma sát trên một
mặt cong. Vật va chạm vào đầu một thanh đồng chất khối
•

(2)
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
h
= L
1
→ ω =
lmM
ghm
)3(
23
+
(3)
Động năng của hệ ngay sau va chạm:
W
đ
=
2
1
222
3
1
ω






+

+
Cos θ = 1-
)3)(2(
6
2
mMmMl
hm
++
(5)
Ví dụ 3: Một ròng rọc khối lượng M, bán kính R,có thể quay tự do xung quanh trục
cố định của nó. Một sợi dây quấn quanh ròng rọc và đầu tự do của dây có gắn một vật
khối lượng m. Giữ cho vật đứng yên rồi thả nhẹ ra. Khi vật m rơi xuống được một đoạn
bằng h thì tốc độ của nó ở thời điểm đó có phụ thuộc bán kính R không?
Giải
Chọn mốc tính thế năng tại chân độ cao h là O'
Cơ năng của hệ ban đầu: W = W
t
= mgh
Cơ năng của hệ khi vật rơi đến O':
W' = W
đrr
+ W
đvật
=
2
1
Iω
2
+
2

2
+
2
1
mv
2
=
4
3
mv
2

Theo ĐLBT cơ năng ta có:
W' = W →
4
3
mv
2
= mgh → v =
3
4gh
Vậy: Tốc độ của vật không phụ thuộc R
 Bài tập tự luận áp dụng
1. Một vật khối lượng m = 2kg được nối với một sợi dây quấn quanh một ròng rọc có trục
quay nằm ngang. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy g = 10m/s
2
. Thả vật rơi không có vận tốc ban