ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ THỊ THỦY
LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ 2
1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các
biến đổi Fourier dạng cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt . . . . . 9
1.3.3 Các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải . . 12
1.4 Tín hiệu và khôi phục tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh 37
2.1 Phân loại các kỹ thuật nén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Nén tổn hao và không tổn hao: . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Mã hóa dự đoán và mã hóa dựa trên phép biến đổi: . . . 39
2.1.3 Mã hóa băng con: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii
Mở đầu
Lý thuyết sóng nhỏ là môn khoa học phát triển gần đây trong ngành toán
học ứng dụng. Tên của chúng đã được ra đời cách đây gần 3 thập kỷ (Morlet,
Arens, Fourgeau và Giard (1982), Morlet (1983), Grossmann và Morlet (1984)).
Trong 30 năm qua, từ khi ra đời sóng nhỏ đã thu hút đươc nhiều sự chú ý và đã
có bước phát triển nhanh chóng. Có một số lý do dẫn đến sự thành công hiện tại
của chúng. Một mặt, khái niệm về những sóng nhỏ có thể được xem xét như là
một sự tổng hợp của những ý tưởng mà được bắt nguồn trong suốt khoảng thời
gian qua trong ngành kỹ thuật (subband coding), vật lý (tình trạng gắn kết,
nhóm renormalization) và ngành toán học (nghiên cứu của toán từ Calderón -
Zygmund). Là kết quả của những nguồn gốc liên quan đến những lĩnh vực học
thuật, sóng nhỏ thu hút nhiều nhà khoa học và các kỹ sư ở nhiều lĩnh vực khác
nhau. Mặt khác, sóng nhỏ là công cụ toán học khá đơn giản mà có nhiều ứng
dụng có thể. Sóng nhỏ đã có những ứng dụng lý thú trong xử lý tín hiệu.
Mục đích của đề tài luận văn nhằm tìm hiểu và giới thiệu về lý thuyết sóng
nhỏ và ứng dụng của nó.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày và giới thiệu về một cái nhìn tổng quan của các khía cạnh
biến đổi của sóng nhỏ như là: Sự cục bộ hóa tần số thời gian; các biến đổi về
sóng; các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau; tín hiệu và khôi phục tín hiệu.
Chương 2 trình bày ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Học viên
Đỗ Thị Thủy
1
Chương 1
Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ
Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) là công cụ chia nhỏ số liệu, hàm số
hoặc toán tử thành các phần khác nhau sau đó nghiên cứu mỗi thành phần với

dte
−iωt
f (t),
cũng biểu diễn dung lượng tần số f, những thông tin liên quan đến sự khoanh
vùng thời gian, ví dụ: Những vụ nổ có tần số cao không thể được đọc ra dễ dàng
từ F f, sự khoanh vùng thời gian có thể đạt được bằng việc thiết lập cửa sổ đầu
tiên của tín hiệu f, để cắt những lát đã được định vị rõ của f và sau đó dùng
biến đổi Fourier:

T
win
f

(ω, t) =

dsf (s) g (s −t) e
−tωs
. (1.1)
Đây là sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ, đó là kỹ thuật chuẩn cho sự khoanh
vùng tần số thời gian.
1
Nó thậm chí còn quen thuộc hơn với các phân tích tín
hiệu trong phiên bản riêng biệt của nó, trong đó t và ω được gán các giá trị
không gian chính quy (giá trị khoảng trống đều đặn) t = nt
0
, ω = mω
0
, trong đó
m, n trên miền Z và ω
0

). Thay đổi số lượng n
để dịch chuyển các “miếng” bằng các bước của t
0
và bội số của nó, cho phép
phục hồi tất cả f từ T
win
m,n
(f). Có nhiều sự lựa chọn và được đề xuất cho chức
năng cửa sổ g trong các phân tích tín hiệu, hầu hết trong số đó giá compact có
tính trơn hợp lý. Trong vật lý (1.1) có tính thống nhất tới trạng thái biểu diễn;
g
ω,t
(s) = e
iωs
g(s − t) được thống nhất các trạng thái liên kết với nhóm Weyl -
Heisenberg. Trong trường hợp này, sự lựa chọn rất phổ biến là một Gaussian g.
3
Trong tất cả các ứng dụng, g được cho là tập trung cao độ trong cả thời gian và
tần số; nếu g và ˆg đều tập trung xung quanh giá trị 0, thì

T
win
f

(ω, t) có thể
được giải thích là "dung lượng" của f gần thời điểm t và gần tần số ω. Hơn thế
nữa sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là một mô tả của f trong các mặt phẳng
tần số thời gian.
Hình 1.1: Fourier dạng cửa sổ: Hàm f (t) là bội số với cửa sổ chức năng và các hệ số Fourier của tích
f (t) g (t); các qui trình sau đó được lặp đi lặp lại cho các dịch chuyển của cửa sổ g (t − t

−m
0
t −nb
0

. (1.4)
Trong cả hai trường hợp, chúng ta cho rằng ψ thỏa mãn

dtψ (t) = 0. (1.5)
Công thức (1.4) là có được từ (1.3) bằng cách giới hạn a, b từ những giá trị
riêng biệt: a = a
m
0
, b = nb
0
a
m
0
trong trường hợp này, với m, n trên miền Z, và
a
0
> 1, b
0
> 0 cố định. Một điểm giống nhau giữa sóng nhỏ và sự biến đổi
Fourier dạng cửa sổ là: Cả (1.1) và (1.3) đưa các tích trong của f với họ chuẩn
tắc của các hàm và chỉ số của 2 ký hiệu g
ω,t
(s) = e
iωs
g(s − t) trong (1.1) và

là một biến đổi, ψ
a,0
(s) = |a|
−1/2
ψ (s/a) bao phủ các phạm vi tần số khác nhau
(các giá trị lớn của tham số tỷ lệ |a| tương ứng với các tần số nhỏ hoặc thang
lớn ψ
a,0
, các giá trị nhỏ của |a| tương ứng với tần số cao hoặc thang chuẩn ψ
a,0
).
Thay đổi các tham số b cũng cho phép chúng ta di chuyển các trung tâm
khoanh vùng thời gian. Mỗi ψ
a,b
(s) được xác định xung quanh s = b. Vậy là
(1.3), giống (1.1) cũng cung cấp tần số thời gian của f. Sự khác biệt giữa sóng
nhỏ và các biến đổi Fourier dạng cửa sổ nằm trong các hình dạng của hàm phân
tích g
ω,t
, và ψ
a,b
như thể hiện trong hình 1.2.
Hình 1.2: Hình dạng đặc trưng (a) của biến đổi Fourier dạng cửa sổ của hàm g
ω ,t
và (b) sóng nhỏ
ψ
a,b
. Các g
ω ,t
(x) = e

t) + γ [δ (t −t
1
) + δ (t −t
2
)] .
Trong thực tế tín hiệu này không biểu diễn sự liên tục, nhưng bằng các mẫu
và thêm một chức năng δ thì tính được xấp xỉ bằng cách thêm một hằng số với
mẫu duy nhất. Trong bản mẫu thì ta có
f (nτ) = sin (2πv
1
nτ) + sin (2πv
2
nτ) + α [δ
n,n
1
+ δ
n,n
2
] .
Với ví dụ trong hình 1.3a, v
1
= 500Hz, v
2
= 1kHz, τ = 1/8, 00 giây(ví dụ:
Chúng ta có 8,000 mẫu trong một giây), α = 1.5, và n
2
−n
1
= 32 (tương ứng với
4 phần nghìn giây giữa hai xung). 3 đồ thị của hàm phổ (đồ thị các mođun của

dễ dàng hơn, một trục tần số tuyến tính (tần số loga) đã được sử dụng nhiều
hơn. Người ta thấy rằng 2 xung được giải thức thậm chí rất tốt với các cửa sổ
Hamming 8,2 ms (bên phải trong hình 1.3b), trong khi độ phân giải tần số với
2 tông màu thuần túy có thể so sánh với những gì thu được từ cửa sổ Hamming
6
Hình 1.3: Tín hiệu f (t). Biến đổi Fourier dạng cửa sổ của f với 3 của sổ có độ rộng khác nhau. Đây
gọi là hàm phổ: Chỉ


T
win
(f)


là đồ thị (giai đoạn không được vẽ ra trên đồ thị) sử dụng các mức
xám (giá trị cao màu đen, 0 màu trắng, mức xám trung gian được chỉ định tỷ lệ loga


T
win
(f)


trong
t (đường ngang), ω(tọa độ) phẳng. (c) biến đổi sóng nhỏ của f thực hiện so sánh với (b) chúng tôi
cũng đã vẽ


T
win

trên một đoạn thẳng, do vậy màng đáy cũng được kéo dài ra. Tiếp đó chúng
ta có thể đưa vào một tọa độ y dọc theo đoạn này. Thử nghiệm và mô phỏng
7
sẽ cho thấy một sóng áp lực là một âm đơn, f
ω
(t) = e
iωt
, dẫn đến một phản
ứng kích thích dọc theo màng đáy mà có cùng tần số thời gian, nhưng với một
vỏ trong y, F
ω
(t, y) = e
iωt
φ
ω
(y). Trong phương pháp đầu tiên, mà kết quả nhận
được cũng khá tốt cho các tần số ω trên 500 Hz, sự phụ thuộc vào ω của φ
ω
(y)
tương ứng với một sự dịch chuyển bằng tốc độ kế ω: Ở đó tồn tại một hàm φ
bởi vậy φ
ω
(y) là luôn đóng với φ (y − log ω). Cho một hàm kích thích chung f,
f (t) =
1
√
2π

dω
ˆ


= (2π)
−1/2
φ (x) , G (a, t) = F (t, log a) ,
thì có nghĩa là
G (a, t) =

dt

f

t


ψ

a

t − t


,
mà (lên mức chuẩn hóa) chính xác là một biến đổi sóng nhỏ. Tất nhiên, xuất
hiện tham số giãn nở vì những sự dịch chuyển loga về tần số ở φ
ω
. Sự xuất hiện
của biến đổi sóng nhỏ trong giai đoạn đầu phân tích âm thanh sinh học cho thấy
rằng các phương pháp dựa trên sóng nhỏ để phân tích âm thanh có cơ hội tốt
hơn các phương pháp ban đầu, ví dụ chúng ta không thể phát hiện sơ đồ nén
bằng tai.


ψ
a,b
, (1.6)
ở đâu ψ
a,b
(x) = |a|
−1/2
ψ

x−b
a

, và ,  có nghĩa là L
2
- bên trong. Hằng số C
ψ
chỉ phụ thuộc vào ψ và được cho bởi
C
ψ
= 2π

∞
−∞
dξ


ˆ
ψ (ξ)


, các hệ số trong
sự chồng chất này được đưa ra một cách chính xác bởi biến đổi sóng nhỏ của f.
Cả hai quan điểm dẫn đến các ứng dụng thú vị.
Sự tương ứng f (x) → (T
wav
f) (a, b) đại diện cho hàm một biến bằng một hàm
hai biến, mà trong đó rất nhiều mối tương quan được xây dựng. Sự dư thừa của
phép biểu diễn có thể được khai thác, một ứng dụng tuyệt vời là khái niệm "bộ
khung" của một tín hiệu, được sử dụng ở biến đổi sóng nhỏ liên tục, mà có thể
được sử dụng cho lọc phi tuyến.
1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt
Trong trường hợp này cả tham số giãn a và tham số tịnh tiến có các giá trị
riêng biệt. Với a chúng ta chọn các số nguyên (dương và âm), các lũy thừa của
9
một số nguyên cố định tham số giãn a > 1, (VD: a = a
m
0
). Như đã được minh
họa bởi hình 1.2, các giá trị khác nhau của m tương ứng với độ rộng khác nhau
của sóng nhỏ. Có nghĩa là sự riêng biệt của các tham số tịnh tiến b nên phụ
thuộc vào m: Các sóng nhỏ hẹp (tần số cao) được tịnh tiến các bước nhỏ để bao
phủ toàn bộ phạm vi thời gian, trong khi các sóng nhỏ rộng hơn (tần số thấp)
được tịnh tiến bởi bước lớn hơn. Vì chiều rộng của ψ

a
−m
0
x

tỷ lệ thuận với a

−m/2
0
ψ

a
−m
0
x − nb
0

.
(1.8)
Hình 1.4a cho thấy phác họa sơ đồ mạng các trung tâm khoanh vùng tần số
thời gian tương ứng với ψ
m,n
.
Với một hàm đã cho f, các tích số bên trong f, ψ
m,n
 thì cho biến đổi sóng
nhỏ riêng biệt T
wav
m,n
(f) chính xác như đã được xác định ở (1.4) (chúng ta giả
định lại ψ là có thật).
Trong trường hợp riêng biệt, nói chung, không có sự tồn tại một công thức
"độ phân giải đồng nhất ", tương tự với (1.6) đối với trường hợp liên tục. Khôi
phục f từ T
wav
(f), nếu có thể phải được thực hiện bằng một số phương pháp
khác.

0
. Chúng tôi giả định
rằng



ˆ
ψ



có 2 đỉnh trong tần số tại ±ξ
0
(đây là trường hợp sóng nhỏ mũ Mexico ψ (t) = (1 −t
2
)e
−t
2
2
);



ˆ
ψ
m,n
(ξ)




0
, b
0
, ψ
m,n
tạo thành một cơ
sở trực chuẩn cho L
2
(R). Đặc biệt, nếu chúng ta chọn a
0
= 2, b
0
= 1,
2
thì ở đó
tồn tại ψ, với các tính chất khoanh vùng tần số thời gian tốt, như vậy là
ψ
m,n
(x) = 2
−m/2
ψ(2
−m
x − n) (1.9)
tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho L
2
(R) (chúng ta giới hạn để a
0
= 2).
Ví dụ cũ nhất của một hàm ψ mà ψ
m,n

12
Hình 1.5: Hai sóng nhỏ Haar, sự hỗ trợ của các sóng nhỏ "hẹp" là hoàn toàn nằm trong khoảng thời
gian mà các sóng nhỏ "rộng hơn" là không đổi.
1) Các ψ
m,n
là trực chuẩn;
2) Bất kỳ L
2
(R) - hàm f có thể xấp xỉ, lên đến độ chính xác nhỏ tùy ý, bởi
sự kết hợp tuyến tính hữu hạn của ψ
m,n.
Trực chuẩn rất dễ dàng để thiết lập. Vì giá (ψ
m,n
) = [2
m
n, 2
m
(n + 1)], hoá ra
là hai sóng nhỏ Haar có cùng thang (cùng giá trị m) không bao giờ trùng nhau,
do đó ψ
m,n
, ψ
m,n

 = δ
n,n

.
Những giá chồng nhau là có thể nếu hai sóng nhỏ có kích cỡ khác nhau, như
trong hình 1.5. Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra nếu m < m

thu hẹp tới các hàm từng khoảng liên tục; giả định f được hỗ trợ trên

−2
J
1
,
2
J
1

,
và là từng khoảng liên tục trên

2
−J
0
, ( + 1) 2
−J
0

, ở đó cả J
1
và J
0
có thể lớn
tùy ý (xem hình 1.6).
Chúng ta hãy biểu thị giá trị hằng số của f
0
= f trên


−J
0
+1
,(k+1)2
−J
0
+1
)
≡ constant = f
1
k
.
13
Hình 1.6: (a) Một hàm f với hỗ trợ trên

−2
J
1
, 2
J
1

, từng khoảng liên tục trên

k2
−J
0
, (k + 1)2
−J
0

là từng khoảng liên tục với
cùng độ rộng từng bước như f
0
; ngay lập tức có:
δ
1
2
= f
0
2t
− f
1

=
1
2
(f
0
2
− f
0
2+1
)
và
δ
1
2+2
= f
0
2+1

=−2
J
1
+J
0
−1
+1
δ
1
2
ψ(2
J
0
−1
x − ).
Vì vậy chúng tôi đã viết f như
f = f
0
= f
1
+


c
−J
0
+1,
ψ
−J
0


,

−2
J
1
+1
, 0

khác biệt là ở sư kết hợp tuyến tính của hàm Haar được giãn ra.
f
1
= f
2
+


c
−J
0
+2,
ψ
−J
0
+2,
,
với f
2
vẫn được hỗ trợ trên


0
+1


c
m,
ψ
m,.
Ở đây f
J
0
+J
1
bao gồm hai phần liên tục(xem hình 1.7),
với f
J
0
+J
1


[0,2
J
1
)
≡ f
J
0
+J
1

, 0

.
Mặc dù chúng ta đã "hoàn thành đủ" toàn bộ giá của f, chúng ta vẫn có thể
tiếp tục đi tính trung bình, không có gì ngăn chúng ta trong việc mở rộng đường
nằm ngang từ 2
J
1
đến 2
J
1
+1
, và viết f
J
1
+J
2
= f
J
1
+J
2
+1
+ δ
J
1
+J
2
+1
, trong đó

J
1
+1
,0)
≡
1
2
f
J
1
+J
2
−1
15
và
δ
J
1
+J
2
=
1
2
f
J
1
+J
2
0
ψ

1
+K
+
J
1
+K

m=−J
0
+1


c
m,
ψ
m,
,
ở giá đó

f
J
0
+J
1
+K

=

−2
J

J
0
+J
1
+K


[−2
J
1
+K
,0)
= −2
−K
f
J
0
+J
1
−1
.
Kết quả là




f −
J
1
+K

2
= 2
−K/2
.2
J
1
/2



f
J
0
+J
1
0


2
+


f
J
0
+J
1
−1



2
(R) ; f từng khoảng liên
tục trên

2
j
k, 2
j
(k + 1)

, k ∈ Z}.
Các không gian này có các tính chất sau:
1) ⊂ V
2
⊂ V
1
⊂ V
0
⊂ V
−1
⊂ V
−2
⊂ ;
2)

j∈Z
V
j
= {0},


V
j
f +

k∈Z

f, ψ
j,k

ψ
j,k
. (1.10)
Điểm nổi bật của phương pháp tiếp cận đa phân giải là bất cứ khi nào thang
không gian f thỏa mãn bốn thuộc tính ở trên, cùng với
5) ∃φ ∈ V
0
để các φ
0,n
(x) = φ (x − n) tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho V
0
,
thì có tồn tại ψ để (1.10) cố định (trong ví dụ Haar ở trên, chúng ta có
thể lấy φ (x) = 1 nếu 0 ≤ x < 1, φ. (x) = 0 và ngược lại). Các ψ
j,k
tự động
tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Nó chỉ ra rằng có rất nhiều ví dụ về "thang
phân tích đa phân giải" tương ứng với nhiều ví dụ về cơ sở trực chuẩn sóng
nhỏ. Có tồn tại một công thức chi tiết cho sự xây dựng ψ: vì φ ∈ V
0
⊂ V

của sóng nhỏ. Cách tiếp cận phân tích đa phân giải này cũng được liên kết với
bộ lọc băng con.
Hình 1.8 cho thấy một số ví dụ về các cặp hàm φ, ψ tương ứng với các phân
tích đa phân giải khác nhau. Các sóng nhỏ Meyer có tập compact hỗ trợ biến
đổi Fourier; chính φ và ψ được hỗ trợ vô hạn; được hiển thị trong hình 1.8a.
Các sóng nhỏ Battle - lemaríe là các hàm splin (tuyến tính trong hình 1.8b,
khối trong hình 1.8c), với những nút tại Z cho φ, tại
1
2
Z cho ψ. Cả hai φ và ψ
có sự hỗ trợ vô hạn, và phân rã theo cấp số nhân, sự phân rã số trị của chúng
nhanh hơn so với các sóng nhỏ Meyer (để so sánh, thang nằm ngang giống nhau
trong (a), (b), (c) hình 1.8). Sóng nhỏ Haar, trong hình 1.8d đã được biết đến từ
năm 1910. Nó được xem như là sóng nhỏ Battle - lemaríe có mức độ nhỏ nhất

ψ
Haar
= ψ
BL,0

hoặc cũng như là tập hợp đầu tiên của các sóng nhỏ có hỗ trợ
giá compact, ψ
Haar
=
1
ψ. Đồ thị hình 1.8e là tập hợp tiếp theo của các sóng nhỏ
có hỗ trợ giá compact
N
ψ;
2

Nhược điểm là tín hiệu đưa vào trong phân bố Wigner là một phương trình bậc
hai chứ không phải là phương pháp tuyến tính, đó là nguyên nhân của nhiều
hiện tượng giao thoa. Điều này có thể hữu ích trong một số ứng dụng, đặc biệt
là các tín hiệu có khoảng thời gian rất ngắn. Với các tín hiệu mà kéo dài thời
gian hơn, chúng làm cho sự phân bố Wigner kém hấp dẫn. Flandrin (1989) cho
thấy các giá trị tuyệt đối của cả biến đổi Fourier dạng cửa sổ và biến đổi sóng
nhỏ của một hàm cũng có thể thu được bằng cách "làm trơn" phân bố Wigner
của chúng một cách phù hợp như thế nào; tuy nhiên, các pha thông tin bị mất
trong quá trình này và việc khôi phục thì không thể thực hiện được.
2. Hạn chế b
0
= 1, tương ứng với (1.9), thì không ảnh hưởng: Nếu (1.9) cung
cấp một cơ sở trực chuẩn, thì:
¯
ψ
m,n
(x) = 2
−m/2
¯
ψ

2
−m/2
x − nb
0

cũng vậy, với
¯
ψ (x) = |b
0

câu hỏi mở liệu có sự tồn tại cơ sở trực chuẩn sóng nhỏ (nhất thiết không được
liên kết với một phân tích đa phân giải), với sự khoanh vùng tần số thời gian
tốt và với a
0
hợp lý.
19
1.4 Tín hiệu và khôi phục tín hiệu
1.4.1 Tín hiệu
Giả sử có tín hiệu được cho dưới dạng hàm của thời gian f(t). Ta giả thiết
hàm f(t) là hàm bình phương khả tích: f(t) ∈ L
2
(R) hay là
+∞

−∞
|f(t)|
2
dt < +∞.
Về mặt vật lý, giả thiết trên chính là năng lượng hữu hạn.
1.4.2 Biến đổi Fourier
(F f)(ξ) =
ˆ
f(ξ) =
1
2π
+∞

−∞
f(x)e
−ixξ

2
(R)
= ||
ˆ
f||
L
2
(R)
=?
Biến đổi Fourier cho hàm tuần hoàn: Giả sử f(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ
2π, đặt T = [−π, π],
||f||
L
2
(T )
=
π

−π
|f(x)|
2
dx,
(F f)(ξ) =
ˆ
f(ξ) =
1
2π
+π

−π

2
(π). Khi đó tổng riêng thứ n trong khai triển Fourier của f được gọi là
xấp xỉ cấp n của f:
(S
n
f) (x) =

|k|≤n
ˆ
f(k)e
ikx
f − S
n
f
L
2
(π)
=

|k|≤n


ˆ
f(k)


→ 0, n → ∞.
S
n
f khôi phục f với độ chính xác ε> 0: ∀ε > 0, ∃n = n (ε) : f − S

2
≤ x < 1
0 Trường hợp còn lại.
Từ hàm Haar ở trên, áp dụng các phép biến đổi co dãn và tịnh tiến, ta xây
dựng được hệ hàm sau đây:
ψ
m,n
(x) = 2
−m/2
ψ(2
−m
x − n) = 2
−m/2
ψ(2
−m
x − n).
ψ - gọi là sóng mẹ,
{ψ
m,n
} - sóng nhỏ con.
Ta gọi đoạn [2
m
n, 2
m
(n + 1) là giá của hàm ψ
m,n
, và ký hiệu là suppψ
m,n
suppψ
m,n