ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN. KHỐI 11. NĂM HỌC 2012- 2013
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
( Đề thi gồm 01 trang gồm có 06 câu)
Câu 1(4 điểm) Giải các phương trình sau:
a.
( )
12sin32
2
sin =−+






+ xx
π
π
b.
3
cos)12cos2(3cos
π
=+xx
Câu 2 (4 điểm)
a. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành cấp số
cộng:
012)1(2
24
=+++− mxmx
b. Biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của

nuu
u
nn
Chứng minh rằng:
1
2
cos2
+
=
n
n
u
π
Câu 4 (2 điểm) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 xét tập hợp E gồm các số có 7 chữ số khác nhau
viết từ các số đã cho. Chứng minh rằng tổng S tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
Câu 5 (4 điểm)
a. Tính giới hạn sau:








++−
++
+
+
+

kx
kx
x
xx
xx
∈




=
+=
⇔
==






−⇔
=+⇔
=−+






+

cos)12cos2(3cos
=++⇔
=+⇔
=+⇔
=+
xxx
xxx
xx
xx
π
+ Xét
π
kxx =⇔= 0sin
không phải là nghiệm của phương trình. Nhân
2 vế của (2) với sinx và biến đổi ta được:
Zk
k
x
k
x
xx ∈






+=
=
⇔= ,

ĐK:





−>
≠
⇔





>+=
>+=
>=∆
′
2
1
0
012
0)1(2
0
2
m
m
mP
mS
m

Cho:
( )
01 :1
10
=−++−−=
n
n
n
nn
CCCx
Suy ra :
1220
2
−
=++++
nk
nnn
CCC
Theo giả thiết:
1025122
91
=⇒==
−
n
n
Từ đó ta có:
( )
2
10
0

2
cos.2
2
2
.22
π
u
đúng với n = 1.
Giả sử :
1
2
cos2
+
=
k
k
u
π
. Ta đi chứng minh:
2
1
2
cos2
+
+
=
k
k
u
π

kk
uu
π
ππππ
Vì
2
2
0
2
ππ
<<
+k
nên
0
2
cos
2
>
+k
π
Vậy ta luôn có:
1
2
cos2
+
=
n
n
u
π

1212
1

53
1
31
11
lim
=
−+
=








−−+++−+−++−
=








++−

0.5
0.5
(ĐPCM)
6 a A
I K
D
B
J
C
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD;
Hai tam giác ABC và ABD bằng nhau vì :





=
=
ADBC
BDAC
chungAB
Suy ra 2 trung tuyến tương ứng bằng nhau : CI = DI
Tam giác ICD cân tại I nên trung tuyến IJ cũng là đường cao nên
CDIJ ⊥
.
Tương tự :
JABJAJBACDBCD ∆⇒=⇒∆=∆
cân tại J nên trung tuyến JI
cũng là đường cao
ABJI

−+
=⇒+=+
Tam giác IJC vuông tại J:
=−=
222
CJCIIJ

244
22
2222222
acbaacb −+
==
−+
Áp dụng định lí cosin vào tam giác IJK:
2
22
222
cos
cos 2
b
ca
JKI
JKIKJIKKJIKIJ
−
=⇔
−+=


Mà IK//BD, KJ//AC mà góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD là
góc nhọn