Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
Công thức nhân:
Tích thành tổng:
cosa.cosb =[cos(a−b)
+cos(a+b)]
sina
.sin
b
=[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb =[sin(a−b) +sin(a+b)]
Tổng thành tích:
Công thức hạ bậc: cos
2
a
=(1+cos2a)
sin
2
a =(1−cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv *
cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k

2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 
= + ≠ +
 ÷
 
( )
( )

a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −

a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
1
2
1
2
tan
2
a
t =
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −

cos
c
a
α
⇔
α
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
2 2
a b+
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +

3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Gii
Phng trỡnh (1) tng
ng vi:
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
4cos5x.cos2x.cosx = 0
Vớ d 2. Gii phng trỡnh: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Gii
Ta cú (2) cos
6
x(2cos
2
x1) = sin
6
x(12sin
2


+ =
+
( )
2 2
sin sin
c
x
a b

+ = =
+
ủaởt
tan
2
x
t =
2
x k


= +
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x

2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

k

x
x k
x
l
x x k x k l n
x

x k x n


= +
= +


=







2
cos 2 (1 cos4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x

x x
+ =
+ =
+ + + =
+ =
+ =
=
= = ,( )k k+ Â
2
Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:
(4).
Giải
Ta có (4)

Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do nên , mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương
trình: .
Giải
Đặt . Dễ thấy f(x) = f(−x), , do đó f(x) là
hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với
x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự
nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc
khoảng thoả mãn phương trình:.
Giải
Đặt f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin
n-1
x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2

2
t
t t t t
t

=

+ + = ⇔ + − = ⇔


= −


2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x kπ k
x x x x
= ⇔ = ∈

π x=
| sin | 0,x ≥
|sin | 0
1
x
π π≥ =
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
+
 
= =
 
= =

= = ∈
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =

n n
x x
−
+ =
0;
2
π
 
 ÷
 
4
π
 
 ÷
 
2
2
2
n−
4
π
3
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện
Ngân Hàng) ĐS:

3
4
x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS: .
9. ĐS:
10.
HD: Chia hai vế cho cos
3
x
ĐS: x = ,
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số
ĐS:
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx
(1).
Giải
(1) ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos
2

(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phương trình lượng giác:
Giải
Điều kiện:
Chuyên đề: LG
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
2
x k
π
=

π
=
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
4
8
5
8
x k
x k
x k
π
π

2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈ ¢
1t ≤
( )
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
t x

=

⇒ =

=


loaïi
1t ≤
( )
2 cos sin

trình: .
Giải
Pt⇔ (cosx
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0
sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
18. Giải phương
trình: .
Giải
19. Giải phương trình:
cosx=8sin
3
Giải
cosx=8sin
3
cosx =
⇔ (3)
Ta thấy cosx = 0
không là nghiêm
(3) ⇔
20. Giải phương trình lượng giác:
Giải
Điều kiện:
Từ (1) ta có:
So với điều kiện, ta
được họ nghiệm của phương
trình đã cho là
21. Giải phương trình:
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2

2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈¢
( )
4 4
sin cos 1
tan cot

 ÷
 
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 

2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
⇔ − − − + =

=

− =

⇔ ⇔ =


+ − =



=

+
 ÷
 
⇔
( )
3
3 sin cosx x+
3 2 2 3
3 3 sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x+ + + − =
3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x+ + =
tan 0 x x k
π
⇔ = ⇔ =
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈ ¢Z
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔ sinsinx +
coscosx = – cos3x.
⇔ cos ⇔ cos
⇔ ⇔ x = (k∈Z)
23. Giải phương trình cos3xcos
3
x –
sin3xsin
3
x =
Giải
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x = ⇔
cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
⇔ ⇔ .
24. Định m để
phương trình sau
có nghiệm
Giải
Ta có:
* ;
*
*
Do đó phương
trình đã cho tương
đương:
Đặt (điều kiện: ).

3
x x
π
π
 
− = −
 ÷
 
3 2
( )
3
k
x
k
x k
π π
π
π

= +

∈


= +

Z
3 2
k
π π

 ÷  ÷  ÷
     
( )
4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x= −
( )
4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
4 4 2
x x x x x x
π π π
 
     
− + = − + = +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
π π
 
   
+ = + + = −
 ÷  ÷
 ÷
   
 

 
−
 
2
4y t t= +
2 4 2− 2t = −
2 4 2+
2t =
2 4 2 2 2 2 4 2m− ≤ − ≤ +
2 2 2 2m⇔ − ≤ ≤
6
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
)
của phương trình: (Khối
A_2002).
Giải
ĐS: .
2. Giải phương trình:
(Khối
A_2003)
Giải
Chuyên đề: LG
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x

x k k
π
π
= + ∈Z
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
8
ĐS:
4. Giải phương trình:
(Khối
A_2006)
Giải
ĐS:
5. Giải phương trình:
(Khối A_2007)
Giải
ĐS:
6.
(Khối
A_2008)
Giải
Chuyên đề: LG
( )
2
k
x k
π
= ∈Z
( )
6 6

sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
9
ĐS:
7. Giải phương trình: .
(Khối A_2009)
Giải
ĐS:
KHỐI B
8. Giải phương trình
(Khối
B_2002)
Giải
ĐS:
9. Giải phương trình
(Khối
B_2003)

( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈Z
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
10
ĐS:
10. Giải phương trình
(Khối B_2004)
Giải
ĐS:
11. Giải phương trình
(Khối
B_2005)
Giải
Chuyên đề: LG
( )
,
3
x k k
π
π
= ± + ∈Z

 
+ + =
 ÷
 
12
ĐS:
13. Giải phương trình:
(Khối
B_2007)
Giải
ĐS:
14. Giải phương trình
(Khối B_2008)
Giải
ĐS:
15. Giải
phương
trình: .
(Khối
B_2009)
Giải
Chuyên đề: LG
( )
5
; ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈Z

Giải
Chuyên đề: LG
( )
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
π π π
π
= + = − − ∈Z
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
14
ĐS:
18. Giải phương trình

   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
15
ĐS:
20. Giải phương trình:
cos3x+cos2x−cosx−1=0
(Khối D_2006)
Giải
ĐS:
21. Giải phương trình
(Khối D_2007)
Giải
Chuyên đề: LG
( )
,
4
x k k
π
π
= + ∈Z
( )
2
2 ,
3
x k k
π
π
= ± + ∈Z

trình
(Khối
D_2009)
Giải
ĐS:
Chuyên đề: LG
( )
2 , 2 ,
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈Z
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− =
( )
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈Z
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈Z