1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Danh mục các chữ viết tắt 4
Chương 1. MỞ ĐẦU 5
1. Lời giới thiệu 5
1.1. Lý do chọn đề tài 6
1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu 7
2. Mục đích nghiên cứu 7
3. Câu hỏi nghiên cứu 7
4. Định nghĩa các thuật ngữ 8
5. Ý nghĩa nghiên cứu 8
6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu 8
6.1. Phương pháp nghiên cứu 8
6.2. Đối tượng nghiên cứu 9
6.3. Phạm vi nghiên cứu 9
6.4. Công cụ nghiên cứu 9
7. Cấu trúc luận văn 9
Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10
1. Nền tảng lịch sử 10
1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn 10
1.2. Kết nối Toán với thế giới thực 10
1.3. Một số quy trình toán học hóa 13
2. Nền tảng lý thuyết 16

2

3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi 66
Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 70
1. Kết luận 70
1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 70
1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71
1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 72
2. Lý giải 73
2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 73
2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai 76
2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba 78
3. Vận dụng 81
KẾT LUẬN 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO 83
4


tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình
huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán
xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ"
hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn
đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành
thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp
học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong
một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và
HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề
cần giải quyết.
Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các
vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng
dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người.
Những nội dung đó được gọi là "các ý tưởng bao quát": đại lượng, không gian và
hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác
biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến
thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, "các ý tưởng bao
quát" bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học
trong nhà trường.

6
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong một lần lướt web, tôi gặp bài viết của một người ông về cháu mình như sau:
"Tôi có đứa cháu năm nay học lớp 8, học kì I được xếp loại giỏi. Ngày tết ngồi đọc
Tuổi trẻ cười, thấy có chuyện cấp cái sổ đỏ 5m
2
, nó ngơ ngẩn hỏi 5m
2
là cỡ bao lớn.
Tôi bảo nó cứ tưởng tượng đó là hình chữ nhật 6m

diện Vụ; Cục thuộc Bộ và hơn 100 đại biểu đến từ các Sở Giáo dục và Đào tạo của
63 tỉnh, thành trong cả nước [16].

7
Với những nhu cầu cấp thiết của khuynh hướng giáo dục trong tương lai, tầm quan
trọng đặc biệt và hiệu quả của việc sử dụng quy trình toán học hóa trong sự phát triển
tư duy cho HS; với mong muốn làm sao để toán học không khô khan và có sự cuốn hút
đặc biệt đối với HS. Đó là những động lực mạnh mẽ cho tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu này.
1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học
trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học
theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống và của cá nhân đó với tư cách là một
công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ảnh [10].
Trong khi đó, việc dạy toán của chúng ta hiện nay còn mang tính hàn lâm, chú trọng
nhiều đến rèn luyện kỹ năng, chưa thật sự quan tâm đến phát triển năng lực toán và
hình thành những hiểu biết toán cho HS; đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết các
vấn đề thực tế thông qua toán học, một trong những yếu tố quan trọng giúp giáo dục
toán trở nên hiệu quả hơn. Có thể thay đổi cách nghĩ của HS từ ba không (khó, khô
khan, không thích) sang ba có (thú vị, ý nghĩa, thích).
Nếu đánh giá hiệu quả giáo dục toán theo khía cạnh HS áp dụng tri thức đã học vào
giải quyết các vấn đề trong bối cảnh mới, đặc biệt là bối cảnh thực tế ra sao thì giáo dục
toán của ta đem lại những kết quả khá khiêm tốn.
Trong bối cảnh đó, tôi chọn đề tài: "Quy trình toán học hóa để phát triển các năng
lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi" làm vấn đề nghiên
cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
(1) Thăm dò các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán
phổ thông của HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế.
(2) Sử dụng quy trình toán học hóa của PISA để phát triển các năng lực về "thay

Thứ hai: Kết quả nghiên cứu cho thấy rõ tầm quan trọng của quy trình toán học hóa
cũng như việc dạy toán thông qua giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến
"thay đổi và các mối quan hệ".
Thứ ba: Nghiên cứu đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của quy
trình toán học hóa cũng như việc đem toán học gần với cuộc sống thường ngày.
Thứ tư: Nghiên cứu này đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy cho HS về
"thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông thông qua quy trình toán học
hóa PISA.
6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu
Trong nghiên cứu này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu có tính lịch sử: khảo sát những vấn đề liên quan đến đề tài như:
mô hình toán học hóa của PISA; xu hướng kết nối toán học với thực tiễn trên
thế giới cũng như trong nước; nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"…

9
- Nghiên cứu khảo sát: Thu thập thông tin từ HS về: suy nghĩ về toán và việc
học toán; sự thể hiện các năng lực của HS trong nội dung toán "thay đổi và
các mối quan hệ" và khả năng vận dụng các năng lực đó vào đời sống thực tế
như thế nào.
6.2. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn tập trung vào nghiên cứu các đối tượng sau:
- Quy trình toán học hóa của PISA;
- Nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ";
- Năng lực và suy nghĩ của HS mười lăm tuổi tại Huế về "thay đổi và các mối
quan hệ".
6.3. Phạm vi nghiên cứu
Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:
- Giáo viên: người nghiên cứu;
- Học sinh: gồm 2 lớp trường THPT Hai Bà Trưng; 2 lớp trường THPT chuyên


luôn có nghiệm; trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không
chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau
mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh; hệ thống số hữu tỉ được hình thành do
nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau; hệ thống số thực
được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả
những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo. Trong lịch sử
toán học, để giải phương trình bậc ba người ta đã phải giải phương trình bậc hai như
một bước trung gian. Khi xét phương trình:
3
0xx
, rõ ràng là có ba nghiệm 0, 1,
-1 nhưng người ta nhận thấy rằng phương trình bậc hai trung gian của nó lại có biệt
số

âm. Việc này phải chăng có mâu thuẫn? Vì phương trình bậc hai vô nghiệm
khi biệt số

âm. Nhưng nếu thử chấp nhận một số có bình phương bằng -1 (một cách
hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi
đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên. Thực tế này gợi ra việc cần phải mở
rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương của nó là một số âm,
và như thế số phức ra đời.
Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và
phát triển do như cầu thực tế cuộc sống. Chúng ta không phát minh ra toán học mà
phát hiện ra chúng. Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực
tiễn phát triển. Với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do
chính thực tiễn đặt ra.
1.2. Kết nối toán với thế giới thực
Là GV toán, chúng ta đều muốn làm cho toán học, cái chúng ta dạy trở nên "sinh

Nhưng một khi đi xây dựng một mô hình toán học cho một vấn đề nào đó, ta phải
rất cẩn thận khi sử dụng nó. Nó luôn không tầm thường, chẳng hạn như vấn đề mù
màu sau đây: tỉ lệ mù màu (không phân biệt màu đỏ và xanh lá cây) ở đàn ông
khoảng 1/20, và tỷ lệ thấp hơn rất nhiều ở nữ. Khi đó, nếu các câu hỏi được đưa ra:
ta đã điều tra bao nhiêu người khi phát hiện ra 20 người mù màu? Có trung bình
bao nhiêu người bị mù màu khi kiểm tra 100 nữ? Rất nhiều người phạm sai lầm
bằng cách đưa ra câu trả lời 400 cho câu hỏi đầu tiên. Nhưng nếu có một cái nhìn
nghiêm túc hơn, chúng ta không thể biết chính xác là đang khảo sát nam, nữ hay cả
hai. Ngay cả khi giả định rằng ta đang khảo sát là nam cũng không thể chắc chắn

12
rằng 400 là đủ. Tại sao? Bởi vì ngay cả khi khảo sát một triệu người, ta có thể sẽ rất
không may mắn và không tìm thấy một người mù màu. Trong câu hỏi thứ hai, mặc
dù câu hỏi đã đưa vào cụm từ "trung bình" để nói rằng đang dựa vào số liệu thống
kê, nhưng chúng ta lại không cho biết chính xác tỉ lệ nữ bị mù màu là bao nhiêu. Vì
vậy, sẽ không thể có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này.
Một ví dụ khác cho thấy tính cẩn thận là rất cần thiết: mỗi người chớp mắt khoảng
17.000 lần một ngày, và như vậy trong một ngày thông qua nhấp nháy ta nhắm mắt
trong hơn 1/2 giờ. 1/2 giờ nhắm mắt trong một ngày thông qua chớp mắt là một tỷ
lệ khá dễ nhớ với HS. Do đó, để thực hành sự hiểu biết về khái niệm này GV có thể
hỏi những câu hỏi sau đây: Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống
kê) trong một tuần? Và như vậy thông qua chớp mắt, khoảng thời gian mà họ nhắm
mắt trong một tuần? Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê)
trong một giờ? Thông qua chớp mắt khoảng thời gian mà họ nhắm mắt trong một
giờ? GV khá là an toàn với hai câu hỏi đầu tiên, nhưng hai câu hỏi sau cùng lại gây
ra rất nhiều vấn đề. Bởi vì khi GV hỏi về một khoảng thời gian ngắn hơn một ngày,
GV phải nêu chính xác giờ đang xét (ngày hay đêm). Hơn nữa GV phải thiết lập
bao nhiêu giờ trong một ngày (tức là thời gian sau khi đã trừ đi thời gian ngủ chứ
không phải theo khái niệm vật lý thông thường). Bây giờ nó không phải là một tỷ lệ
đơn giản.

Chúng tôi đánh giá cao sự cần thiết phải kết nối toán học với thế giới thực trong
dạy học phổ thông, đồng hành với nó là ý thức về sự cần thiết phải làm cho HS
nhận thức các ứng dụng thực sự của toán học. Làm thế nào để điều này trở nên
hợp lý và hiệu quả, là một trong những vấn đề chính được nhiều nhà nghiên cứu
giáo dục đã và đang quan tâm.
1.3. Một số quy trình toán học hóa
Với những gì vừa đề cập, chúng tôi tin rằng người đọc sẽ cảm nhận được những
khó khăn khi giảng dạy thông qua việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực.
Nhưng để đưa toán học gần gũi với cuộc sống; để đưa việc giải quyết các vấn đề
trong thế giới thực vào trong dạy học toán và để nhiều người thấy được tính hữu
dụng thực sự của toán học, chúng tôi tin rằng đó là con đường duy nhất. Đó cũng
là cách để trả toán học về với bản chất của nó. Trong nhiều thập niên qua, các
nhà nghiên cứu giáo dục trong và ngoài nước luôn tình kiếm, xây dựng các mô
hình; các quy trình mô hình hóa toán học để hỗ trợ đắc lực cho GV trong việc
giảng dạy các vấn đề trong thế giới thực. Dưới đây là một vài quy trình toán học
hóa tiêu biểu trong những thập niên qua.

14
Quy trình 1: Quy trình toán học hóa của OECD/PISA được tác giả Trần Vui
trình bày [5, tr.35] như sau:

Sơ đồ 2.1. Quy trình toán học hóa 1
Trong đó:
(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học;
(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế;
(4) Giải quyết bài toán;
(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo bối cảnh thực tế.
Quy trình 2: Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum [3, tr.100] đề
xuất như sau:

Quy trình 5: Quy trình mô hình hóa toán học được tác giả Lê Văn Tiến [4, tr.170]
đề xuất như sau:
Hiện tượng ở
thế giới thật
Mô hình
toán học
Kết luận
dự đoán
Kết quả
toán học
Lý giải
Phân tích
Áp dụng
Quan sát,
thành lập

16

Sơ đồ 2.5. Quy trình mô hình hoá toán học 5
Nhìn chung, các quy trình toán học hóa có thể phân chia làm năm bước: (1) là một
quá trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này thường được cấu
trúc lại (đơn giản hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa) để được một mô hình phỏng
thực tiễn; (2) mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;
(3) được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học; (4) kết
quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế ban đầu; (5)
sự phù hợp kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải không thỏa
đáng thì quá trình này phải được lặp lại.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào phân tích làm rõ quy trình toán học hóa
1 cũng như cách thức vận dụng quy trình này vào giải quyết vấn đề trong thế giới
thực trong dạy học để phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" cho HS

cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn.
5. Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế.
Liên hệ kết quả này với công viên thực tế. Phản ánh về lời giải và nhận ra rằng
nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không hợp lý vì cây
đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nhận ra rằng vị trí, và kích thước của các cây
xanh trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tính hữu ích của lời
giải toán học.
Những quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng là đặc trưng cho việc các nhà
toán học thường làm toán như thế nào, con người sử dụng toán học như thế nào
trong nhiều nghề nghiệp hiện nay. Những công dân có hiểu biết và biết phản ánh
nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực
tế. Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho HS.

18
2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA
Sơ đồ 2.1 là quy trình toán học hóa của PISA. Trong quy trình này, để giải quyết
một vấn đề thực tế, HS cần chuyển vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình
được tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về
bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết
và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn.
Mặt khác, 5 bước của quy trình toán học hóa có thể được chia làm ba giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ
thực tế sang toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:
 Xác định toán học phù hợp tương ứng với một vấn đề thực tế được đặt ra;
 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái
niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;
 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề, ngôn ngữ ký hiệu và hình
thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;
 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;
 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

Lọ hoa có đặc điểm: mặt ngoài và mặt
trong có dạng mặt nón cụt; mặt ngoài có
bán kính đáy nhỏ là 6cm; bán kính đáy
lớn là 15cm; mặt trong có bán kính đáy
nhỏ là 17/3cm; bán kính đáy lớn là
14cm; khoảng cách giữa mặt trên và mặt
dưới phía trong là 25cm; đáy lọ hoa dày
2cm. Hỏi người thợ thủ công cần ít nhất
bao nhiêu cm
3
thủy tinh để có thể làm
được lọ hoa?
Quy trình toán học hóa 5 bước được thể
hiện trong bài toán này như sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế: tính thể tích thủy tinh tối
thiểu để có thể làm được lọ hoa.
Bước 2: Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định lĩnh vực toán học phù
hợp. Mặt trong và mặt ngoài của lọ hoa có dạng mặt nón cụt. Phần không gian trong
lọ hoa có dạng khối nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa cùng với phần thủy tinh
của lọ hoa có dạng khối nón cụt.

20
Bước 3: Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến
khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một
bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế. Vấn đề được chuyển thành việc
xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt.
Bước 4: Giải quyết bài toán: sử dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt:
 
22
1

Thể tích phần không gian hình khối nón cụt có mặt nón cụt là mặt ngoài của lọ hoa là:
 
22
2
1
15 15.6 6 .27 9919,26
3
V

   
3
()cm

Thể tích thủy tinh tối thiểu để làm lọ hoa là:
21
9919,26 8044,46 1874,46V V V    
3
()cm

Bước 5: Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao
gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Bề mặt phía trong và bề mặt phía
ngoài của lọ hoa ảnh hưởng đến tính thực tiễn của lời giải toán học. Nếu hai bề mặt
này không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn, hoặc sử dụng công
thức tính thể tích của nhiều khối đa diện, khối trụ, khối tròn xoay khác cùng với
nhiều bước biến đổi trung gian.
Năm bước của quy trình toán học hóa trong bài toán này có thể được chia theo 3
giai đoạn như sau:
Giai đoạn thứ nhất: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với vấn đề đặt ra trong
thực tế: Tính thể tích khối thủy tinh có hình dạng các khối nón cụt. Biểu diễn vấn đề
theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt

9 27 3
AN CN AN
AM BM
AN
AN
  

   

suy ra:
25 20
15
33
ON OA AN    
( ).cm

Vậy bán kính đáy nhỏ của lọ hoa là:
20 17
1
33
r KH KC HC     
( ).cm

2.2. Đánh giá toán trong PISA
2.2.1. Các ý tưởng bao quát
Trong nhiều thế kỷ, toán học nổi bật như là một khoa học về số, cùng với hình học
không gian tương đối. Giai đoạn những năm 500 TCN ở Mesopotamia, Ả Rập và
Trung Quốc người ta thấy nguồn gốc về khái niệm số. Các phép toán về số và đại
lượng, bao gồm các đại lượng thu được từ những đo đạc hình học đã được phát


2.2.2. Các năng lực
Những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề
được hiểu là các năng lực toán học. Mỗi năng lực có thể đạt được ở các mức độ
thành thạo khác nhau. Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các
năng lực khác nhau. Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã

23
quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999)
và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông bao gồm:
1. Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng
toán ("Có hay không…?", "Nếu như vậy, có bao nhiêu?", "Làm thế nào
chúng ta tìm ?"); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những
câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý,
phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định
phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho.
2. Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và
chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các
chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải
quyết vấn đề bằng kinh nghiệm ("điều có thể (không thể) xảy ra, và tại
sao?"); tạo nên và trình bày các lập luận toán.
3. Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về
những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu
được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn
đề như vậy.
4. Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh
được mô hình hóa; chuyển thể "thực tế" thành các cấu trúc toán; giải thích
các mô hình toán học theo nghĩa "thực tế"; làm việc với một mô hình toán;
làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng
như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm
hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô

nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp.
Những năng lực này là:
- Kiến thức về các sự kiện và các biểu diễn vấn đề chung;
- Sự nhận ra các tương đồng;
- Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;
- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;
- Áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn và kỹ năng có tính kỹ thuật;
- Thao tác với các biểu thức chứa ký hiệu và công thức theo dạng chuẩn;
- Tiến hành các tính toán.
Các câu hỏi thuộc cụm năng lực tái tạo có thể được mô tả với những chỉ số mô tả
chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen thuộc.
b) Cụm năng lực liên kết
Năng lực thuộc cụm năng lực liên kết xây dựng trên các năng lực của cụm năng lực
tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen

25
thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc. Những câu hỏi kết
hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu
từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên
kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề. Các câu hỏi đánh giá các nặng lực
cụm năng lực liên kết có thể được mô tả bởi các chỉ số mô tả sau: tích hợp, liên kết
và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành.
c) Cụm năng lực phản ánh
Năng lực trong cụm năng lực phản ánh liên quan đến khả năng của HS vạch
chiến lược giải và tìm công cụ giải các vấn đề không quen thuộc. Ngoài các năng
lực được mô tả trong cụm năng lực liên kết, đối với cụm năng lực phản ánh còn
bao gồm:
Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc hiểu và thao tác các khái niệm
toán học trong các tình huống mới hoặc phức tạp; tổng quát hóa kết quả.
Lập luận: Điều này liên quan đến suy luận toán đơn giản, phân biệt giữa các chứng