Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học

A/- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ;
( )
bax ;
∈∀
•
0y
′
> ⇔
Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
•
0y
′
< ⇔
Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )
• Hoặc
⇔≥
′
0y
Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
•
⇔≤
′
0y
Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )
(Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x
y’
y

Bảng biến thiên
x
∞−
0 2
∞+

y’ + 0 – 0 +
y
Vậy hàm số đồng biến trong
( ) ( )
∞+∞−
;2;0;
, nghịch biến trong (0;2)
2; y =
1
22
2
+
++
x
xx

Tập xác định D =
¡
\
{ }
1
−
Đạo hàm y’ =
( )

+∞
)
Nghịch biến trên mỗi khoảng (-2;-1) và (-1;0)
Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X
Phương pháp
• Hàm số đồng biến trong X
Xxy ∈∀≥
′
⇔ 0

• Hàm số nghịch biến trong X
Xxy ∈∀≤
′
⇔ 0
• Riêng hàm số nhất biến y =
dcx
bax
+
+

không có dấu “=”
Ví dụ: Cho hàm số y =
3
3
1
x
−
- mx
2
+ (m –2 )x + 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

không tồn tại).
• Lập bảng xét dấu của y’
• Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x
0
mà :
+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
; y
CĐ
= y
0
= f(x
0
)
+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
; y
CT
= y
0
= f(x
0
)
x x
o
x
1

y’ + – – +
y y

• Hàm số y =
11
2
bxa
cbxax
+
++
đạt cực trị tại x
0
. Có y
0
=
1
0
2
a
bax +

• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đạt cực trị tại x
0
khi tính y
0
gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương
P(x) và số dư px + q .
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 2
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học

( )
2
2
1
32
−
−−
x
xx

y’ = 0



=
−=
⇔



=
−=
⇔=−−⇔
7
1
3
1
032
2
1

( )
Zk
kx
kx
xx
∈






+=
+=
⇔=⇔=−⇔
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2
1
sin0sin21
2
1


π
2
6
5
k+
;
32−=
CT
y

Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại
0
x
Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x
0
khi y’(x
0
) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra
giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu tại x
0.
• Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x
0
; y
0
) thì thêm y
0
= f(x
0
) .



<



⇒
Hs đạt cực đại tại x
0

GV: Võ Văn Nghiệp Trang 3
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
3;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


>



⇒
Hàm số đạt cực tiểu tại x

y’ + 0 – 0 +
y CĐ CT
Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x
0
(hoặc
y
′
không tồn tại tại
0
x D∈
) và y’ đổi dấu khi
x đi qua x
0
. Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số
có bấy nhiêu cực trị.
Ví dụ: Cho hàm số y =
1
1
2
+
++−
x
mxx
. Tìm m để :
1; Hàm số có cực trị 2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu
GIẢI : 1; Tập xác định D =
¡

= 2x
1
– 1 ; y
2
= 2x
2
– 1 .
y
1
; y
2
cùng dấu
⇔
y
1
.y
2
> 0
( )( ) ( )
012.401212
212121
>++−⇔>−−⇔
xxxxxx
(*)
Vì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình x
2

f x M x a b

∃ ∈ =


≤ ∀ ∈


thì
( )
;
max
a b
y
= M
( ) ( )



∈∀≤
=∈∃
);()(
:;
00
baxmxf
mxfbax
thì
( )
;
min

), f(x
1
),……
;
ax
a b
m y
 
 
là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.
;
in
a b
m y
 
 
là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên
E/- TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ (NC- đọc thêm)
Lý thuyết :
Trong hệ trục Oxy cho
( ) ( )
: ( ) ;C y f x và I a b
=
. Tịnh tiến hệ Oxy theo
OI
uur
được hệ trục IXY theo
cơng thức
x X a
y Y b

=
+=
Yy
aXx
biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn ( Với I(a;0) )
( g(– X) = g(X) )
F/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
I/- Tiệm cận đứng
Cách tìm Tìm tập xác định D
1. Nếu D =
¡
\
{ }
;;
10
xx
. Tìm
lim ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) 
x a x a x a
x a
f x hoặc f x hoặc f x
hoặc f x thì x a là pt tiệm cận đứng
+ + −
−
→ → →
→
= +∞ = − ∞ = + ∞
= −∞ =
g

• Tập xác định D =
¡
\
{ }
1;3
−
•
2 2
2 2
1 1
6 6
lim lim
2 3 2 3
x x
x x x x
vaø
x x x x
+ −
→ →
+ − + −
= −∞ = + ∞
+ − + −
⇒
Tiệm cận đứng x = 1
•
2
2
3 3
6 2 5
lim lim 3

→±∞
= ± ∞ ⇒
đồ thị không có tiệm cận ngang
III/- Tiệm cận xiên (NC)
Định nghĩa y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)
( ) ( )
lim 0
x
f x ax b
→±∞
 
⇔ − + =
 
. hay a =
( )
( )
lim ; lim
x x
f x
b f x ax
x
→± ∞ →± ∞
 
= −
 
 Nếu phân tích được y = ax + b + P(x) mà
lim ( ) 0
x
P x
→±∞

) : y = f
( )
x
=
( ) 0
( ) 0
f x khi x
f x khi x

≥

− <

nên ta có (C
1
) :
• Giữ phần đồ thị (C) với x
≥
0
• Bỏ phần đồ thị (C) với x < 0
• Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x
≥
0
2; (C
2
) : y =
)(xf
=



<−
>
0)(
)(
)(
0)(
)(
)(
xQkhi
xQ
xP
xQkhi
xQ
xP
nên ta có (C
3
):
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 6
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
• Giữ phần đồ thị (C) với Q(x) > 0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0
• Bỏ phần đồ thị (C) với Q(x) < 0
4; (C
4
) : y = f(x) =
)(.)( xQxP
hay y = f(x) =
)(
)(
xQ

)(x – x
0
)
• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau
( ) ( )
( ) ( )



=
′
=
′
⇔
xgxf
xgxf
có nghiệm
( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(
0 0
;x y
)
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
)
• Nếu chưa cho y

M
= 0
⇒
y
M
= 2
( )
2;0M
⇒
y’ = f’(x) = 3x
2
– 3
⇒
f’(0) = – 3
Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )
⇔
y = – 3x + 2
b; Phương trình trục Ox : y = 0 .
Ta có x
3
– 3x + 2 = 0
( )
( )
21021
2
−=∨=⇔=−+−⇔
xxxxx

• x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)
0

)
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
⇔
( ) ( )
( ) ( )



+=
=
′
2
1
bkxxf
kxf
có nghiệm .
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 7
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
• (d
1
) song song với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k = a
• (d
2
) vuông góc với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k =

0
= 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
• x
0
= – 1
⇒
y
0
= 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
Gọi (d
1
) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )
( )
( )





+−=+−
−=−
⇔
222
1123
3
2
bxxx
x
có nghiệm

) là tiếp điểm.Tính y
0
= f(x
0)
và f’(x
0
) theo x
0
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
M là : y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(
1 1
;x y
) nên y
1
– y
0
= f’(x
0
)( x
1
– x
0
) giải phương
trình tìm x

0
) là tiếp điểm .
Ta có y
0
= x
0
3
– 3x
0
+2 và f’(x
0
) = 3x
0
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
y – (x
0
3
– 3x
0
+ 2) = (3x
0
2
– 3)( x – x
0
)
( )
2233
3

Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 .
(d) là tiếp tuyến của (C)
( )
( ) ( )





−−=+−
=−
⇔
24223
133
3
2
xkxx
kx
có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x
3
– 3x + 2 = (3x
2
– 3) (x – 2) – 4
3003
23
=∨=⇔=−⇔ xxxx

• x = 0
3

(C) và (D) tiếp xúc với nhau
( )





+=+−
=−
⇔



=
=
⇔
21
)1(224
)()(
)(')('
224
3
mxxx
xxx
xgxf
xgxf
có nghiệm
(1)
10044
3

20144
01
2
mxx
x

Đặt h(x) = 4x
2
+ 4x + 1 – m .
Tính
∆
′
= 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m
x
∞−
0 9
∞+
∆
′
– 0 + +
Số điểm
chung
1
¶
2
3
¶
2
3
BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

+ 2.
1; Kho sỏt hm s .
2; Da vo (C) bin lun theo m s nghim ca :
x
3
3x
2
m = 0 (1)
GII : 1;

2; (1)

x
3
3x
2
+ 2 = m + 2
S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca
3 2
( ) : 3 2
( ) : 2 (cuứng phửụng vụựi truùc hoaứnh)
C y x x
d y m


= +

= +



x
y x x= + +
Vớ d 3: Kho sỏt v v th hm s
3 2
3 4 2y x x x= + +
Gii Vớ d 1:
Ni dung Bi gii Gii thớch ghi nh cho HS
Tp xỏc nh D =
Bc 1: Tỡm tp xỏc nh ca hm s
y = 3x
2
+ 6x
y = 0 3x
2
+ 6x = 0 x(3x + 6) = 0 x = 0;
x = - 2
Bc 2:Tỡm y v lp phng trỡnh y =
0 tỡm nghim ( nu cú thỡ ghi ra nu vụ
nghim thỡ nờu vụ nghim vỡ ch yu
l Tỡm du ca y s dng trong
bng bin thiờn
Gii hn:
lim
x
y
+
= +
;
lim
x

y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))
Bước 5: Tìm điểm uốn
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = - 4
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng
đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp
cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi
dạng hàm số)
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax
4
+bx
2
+c
Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x
4
- 2x
2
– 3.
Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của
số hạng có mũ cao nhất, ở đây là
tìm
4
lim ??
x
x
→±∞
=

GV: Võ Văn Nghiệp Trang 11
CĐ
CT
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I

x = - ; y = 0
Giao điểm với Oy:
x = 0 ; y = - 3
Bước 5:Vẽ đồ thị cần thực hiện
theo thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực
tiểu, điểm uốn, giao điểm với
Ox,Oy
 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để
vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
đây)
Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN:
ax b
y
cx d
+
=
+
( tử và mẫu không có nghiệm chung)
Ví dụ 7: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x
− +

y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm
duy nhất x = 0
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Tập xác định D = \{-1}
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số
y’ =
2
3
( 1)x
−
+
< 0 ∀x∈D.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để
khẳng định luôn luôn âm (hay luôn

= −
Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận
là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 +∞
y' - -
y -1 +∞
-∞ -1
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”:
Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = 2
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = 2
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định
giao điểm với Ox,Oy.
 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và
ngang.
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu
dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị
phù hợp cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
mỗi dạng hàm số)
Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4 Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x
= 4.
Bài 5 Cho hàm số:
2 4
2y x x

Bài 7 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng
(T):
13 1
( )
12 2
y m x− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 8 Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=

Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Bài 11 Tìm tham số m để hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Bài 12 Tìm tham số m để hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2

và khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1

2y x x
= −
a) Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Định
m
để phương trình:
4 2
2 log 1 0x x m
− + − =
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 15 Cho hàm số:
3 2
2 3 1y x x= - -
, đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d:
1y x= -
c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
3 2
2 3 0x x m- - =

d) Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d
1
có phương trình:
1y ax= -
.
B ài 16 Cho các đường: y = x
2

2 1y x x= − +
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 20 Cho hàm số :
2 2
(1 ) 6y x
= − −
, đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
2 0m x x
− + =
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 15
Chuyên đề 3
Chuyên đề 3
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
d:
24 10y x
= +
Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
◙ Hàm số lũy thừa:
● Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa
a
α

:
∗
; *
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
+ -
= =
.
∗
( )
.
n
m m n
a a=
; ∗
( )
. .
m
m m
a b a b=
∗
m
m
m
a a
b

xác định x 
¡
(k 
¥
)
▪ Đạo hàm
( )
/
1
. ( 0, )x x x
α α
α α
-
= > Î ¡
;
( )
/
1 /
. . ( 0, )u u u u
α α
α α
-
= > Î ¡
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n ch½n khi n lÎ

*
+
¡
(tức là a
x
> 0, x 
¡
− chú ý tính chất nà
y để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này); liên tục trên
¡
.
▪ Đạo hàm
( )
/
ln
x x
a a a=
(a > 0, a ≠ 1)
▪ Khi a > 1 hàm số y = a
x
đồng biến trên
¡
.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 16
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a
x
nghịch biến trên
¡
.

=
;
lim
x
x
a
- ¥®
= + ¥
.
▪ Với a > b > 0 ta có: a
x
> b
x

⇔
x > 0 và a
x
< b
x

⇔
x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 1a< <
để nhớ các tính chất)
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x

); log
a
1 = 0;
log 1
a
a =
.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
1
2
log
a
x
x
= log
a

▪ Đổi cơ số:
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1
log
b
a
và
log .log 1
a b
b a =
.

x x
x x
+ ¥ - ¥® ®
=- ¥ = + ¥
.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các công thức:
log
(0 1; 0)
a
b
b a a b= < >¹
và
log (0 1)
b
a
b a a= < ¹
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a
x
= b có nghiệm ⇔ b > 0.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 17
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
▪ a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)

▪ a
f(x)
> b ⇔
0
( )
0
( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi
a a
b
f x R
b
f x b a f x b a
é
ì
£
ï
ï
ê
í
ê
ï
Î
ï
î
ê
ê
ì
>
ï
ê

= 2k.log
a
|b| với k ∈  .
▪ log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x).
▪ log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1
khi
khi
f x g x a
f x g x a
ì
>³
ï
ï
í
ï
< <£
ï
î

▪

25
log 15
theo a khi biết
3
log 15 a=
.
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

( ) ( )
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
= = + = +
3 3 3 3 3
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + =
 Mà
3
5
1
log 5
log 3
=
vậy
3
log 5
là cầu nối giữa hai số cần tính.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 18

2
-
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
m
2,5 12- > -
nờn
2,5
12
1
2
2
-
ổử
ữ
ỗ
<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Loi chng minh:

y
ỡ
ù
= +
ù
ớ
ù
= -
ù
ợ

T ú ta phõn tớch
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = +
cũn
4 2 3-
tớnh tng t. T ú
ta chng minh c bi toỏn.
Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh
log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng khỏc 1 v trỏi
v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.


u x
f a b=
,
( )
( )

u x
f a b³
để đơn giản trong thao tác ta đặt
( )u x
t a=
chú ý đặt điều kiện cho
tham số t.
 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến,
nghịch biến và đồ thị của hàm số.
 Chú ý là phải nhận xét xem trong bài toán có bao nhiêu cơ số. Phải lưu ý học sinh trước khi giải
phương trình phải tìm điều kiện xác định.
Vdụ: + Phương trình 2
x + 3
= 5
x
có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi
3
2
2 5 8 1
5
x
x x+
æö
÷

1 1
2.4 9 6
x x x+ +
+ =
có thể biến đổi thành
8.4 9 6.6
x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.
 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải được.
+ Giải phương trình
2
2 1
2
log 2log (3 4)x x=- +
 Nhận xét
1


⇔
f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > <Û
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 20
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x sau đó biến
đổi cơ số.
 (1) 
( )
( )
3
2 7
3 2 7
3 3
3
6 2

ç ç
è ø è ø

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1).
+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
HDẫn cho học sinh phân tích đề:
Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau đó áp dụng công thức
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
với chú ý
4

x x x
x
ì
ï
+ + > +
ï
+ + < + Û
í
ï
+ >
ï
î
.
Ⓐ. MỘT SỐ BÀI TẬP
1) Tính giá trị của biểu thức
1 1
( 1) ( 1)A a b
- -
= + + +
khi

( ) ( )
1 1
2 3 2 3µa v b
- -
= + = -
2) Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3a b c= = =
. Tính

x
y
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
d)
1
2
logy x=
6) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a)
3
3 2
x
y
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

ç
è ø
-
.
7) Chứng minh rằng
( )
3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 21
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
8) Chứng minh
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x
=
+ + +
với a, b, c, d, x, abcd dương
khác 1.
9) Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2+ + - =
.
10) Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:

3 9
x x- -
=
c)
( )
3
4 log
1
3
3
x- +
=
d)
1 2 1
4.9 3. 2
x x- +
=

e)
2
2
3
2 .3
2
x x x-
=
f)
( ) ( )
10
5 10

2
x x x+ + =
. m)
( )
2
3 3
2log ( 2) log 4 0x x- + - =
n)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
o)
2 2
3 log log 4 0x x- =

12) Giải các bất phương trình sau:
a)
9
2 1
log
1 2
x
x
>
+
. b)
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - +

( ) ( )
;F x f x x K
′
= ∀ ∈
.
Định lý :
Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C+
cũng là nguyên
hàm của
( )
f x
trên
K
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C
+
mới là nguyên hàm của
( )
f x

 
 
∫ ∫ ∫
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp :
( )
, ; 0m n m∈ ≠¡
dx x C
= +
∫
kdx kx C
= +
∫
( )
1
1
1
x
x
α
α
α
α
+
= ≠ −
+
∫
( )
( )
( )
1

e dx e C= +
∫
1
mx n mx n
e dx e C
m
+ +
= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫
sin cos
= − +

2
1
tan
cos
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1
cot
sin
dx
mx n C
mx n m
= − + +
+
∫

cos sinf x xdx
∫
cos cost x t m x n
= ∨ = +
( )
1
lnf x dx
x
∫
ln lnt x t m x n
= ∨ = +
( )
2
1
tan
cos
f x dx
x
∫
tan tant x t m x n
= ∨ = +
( )
2
1
cot
sin
f x dx
x
∫
cot cott x t m x n

∫
(trong đó
( )
p x
là hs đa thức;
( )
q x
là hàm số
( )
sin x
α
hoặc
( )
cos x
α
hoặc
( )
x
e
α
)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u p x
dv q x dx
=


=

2
1
x
F x e x
= +
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x
f x e x
= +
.
Bài 2 : Chứng minh rằng hàm số
( )
ln 3F x x x x= − +
là nguyên hàm của hàm số
( )
lnf x x=
.
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
cos 2 3tanf x x x
= −
.
Bài 4 : Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )

 
+
 ÷
 
∫
;
( )
3 2sin cosx xdx
+
∫
;
2
1
3
x
x
e dx
e
 
−
 ÷
 
∫
;
2
cos sin 2
cos
x x
dx
x

x
dx
x
+
∫
;
( )
4
2
cot 1
sin
x
dx
x
+
∫
;
3
x
x
e dx
e
+
∫
ln
dx
x x
∫
;
4

2
3
xdx
x
+
∫
.
2 cosx xdx
∫
;
( )
3
x
x e dx
+
∫
;
( )
4 1 sinx xdx
+
∫
;
2
3 lnx xdx
∫
;
( )
2
3 2 lnx x xdx
+