Trần Sĩ Tùng Đại số 8
I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức:
a)
169
4
2
2
−
−
x
x
b)
44
12
2
+−
−
xx
x
c)
1
4
2
2
−
−
x
x
d)

x y
2 2
1
+
b)
x y x
x x
2
2
2
2 1
+
− +
c)
x y
x x
2
5
6 10
+
+ +
d)
x y
x y
2 2
( 3) ( 2)
+
+ + −
VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0
Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

x x
2
( 1)( 2)
4 3
− +
− +
f)
x
x x
2
2
1
2 1
−
− +
Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a)
x
x x
2
2
4
3 10
−
+ −
b)
x x
x x x
3
3 2

x x
2
5 1
2 4
+
+ +
d)
x
x x
2
2
4
4 5
−
− + −
e)
x
x x
2
5
7
+
+ +
Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
a)
x y
x y
2 2
2 1
+

−
c)
x y
x y
y x
2( ) 2
( )
3( ) 3
− −
= ≠
−
d)
xy xy
a y
a ay
2
2 8
( 0, 0)
3 12
= ≠ ≠
e)
x x
y
y y
1 1
( 2)
2 2
− −
= ≠
− −

2 2
3 3 )
( )
− −
= ≠ ±
+
−
c)
x y a x y
a x y
a
a x y
2
2
3 ( )
( 0, )
3
9 ( )
+ +
= ≠ ≠ −
+
Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau:
a)
x
x x
2
2
5 6
−
− +

x N∈
ii)
x Z∈
iii)
x Q∈
a)
x
A
1
5
+
=
,
x x
B
x
( 1)( 2)
5( 2)
+ +
=
+
,
x x
C
x
( 1)(3 2)
5(3 2)
+ −
=
−

5 5
( )
3 3
−
≠
−
f)
x x y
x y
y x
15 ( )
( )
3( )
− −
≠
−
Bài 2. Rút gọn các phân thức sau:
a)
x
x x
x x
2
2
16
( 0, 4)
4
−
≠ ≠
−
b)

≠
−
e)
x y x y
x y
x y x y
2 2 5 5
( )
2 2 5 5
+ + +
≠ −
+ − −
f)
x xy
x y y
xy y
2
2
( , 0)
3 3
−
≠ ≠
−
g)
ax ax a
b x
b bx
2
2
2 4 2

x xy
6 3 3 6
7 6
2
( 0, )
+ +
≠ ≠ ±
−
Trang 12
Trần Sĩ Tùng Đại số 8
Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
a)
x x x
A
x x x
2 2
3
(2 2 )( 2)
( 4 )( 1)
+ −
=
− +
với
x
1
2
=
b)
x x y xy
B

3 19 33 9
− − +
− + −
Bài 5. Rút gọn các phân thức sau:
a)
a b c abc
a b c ab bc ca
3 3 3
2 2 2
3+ + −
+ + − − −
b)
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
− + +
+ + + + −
c)
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
+ + −
− + − + −
d)

2 6
=
+ +
đạt giá trị lớn nhất ĐS:
P khi x
1
max 1
5
= = −
b)
x x
Q
x x
2
2
1
2 1
+ +
=
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất ĐS:
Q khi x
3
min 1
4
= =
Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:
a)
x a a a x
x a a a x

d)
x a x
x a
2 2
( )
2
+ −
+
e)
x y
x y ay ax
2 2
( )( )
−
+ −
f)
ax x y ay
ax x y ay
2 2 3 3
4 6 9 6
− − +
+ + +
Trang 13
Đại số 8 Trần Sĩ Tùng
III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC
VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức
Bài 1. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
a)
x xy
,

x
4
3 9−
,
x
7
50 25−
b)
x
a4 2+
,
y
a4 2−
,
z
a
2
4 −
c)
a
b
2
2
,
x
a b2 2+
,
y
a b
2 2

+
−
,
x
2
1+
Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
x
x x
2
2 7 15+ −
,
x
x x
2
2
3 10
+
+ −
,
x
1
5+
b)
x x
2
1
3 2− + −
,

x yz y z
2 2 2
2+ − −
,
z
x xz y z
2 2 2
2− − +
VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a)
x x5 1
5 5
− −
+
b)
x y y2
8 8
−
+
c)
x x x
xy xy
2
1 4− −
+
d)
xy x y xy x y
xy xy
2 2 2 2

+ −
+
b)
x x x3 2 1 2
10 15 20
− −
+ +
c)
x x
x
x
2
2
1 3
2 2
2 2
+ +
+
−
−
d)
2
42
1
12
2
2
21
xx
x

2
2 10 5 2
2
− − +
+ +
h)
x
x y x y
x y
2 2
2 1 3−
+ +
+ −
−
i)
x y
x y
x y
2 2
+
+ +
+
Bài 3. Thực hiện phép tính:
a)
2 2 2 2
2 4
2 2 4
x y
x xy xy y x y
+ +

Trần Sĩ Tùng Đại số 8
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a)
x x1 3 3
2 2
− +
−
b)
x y x y y
x x
2
2( )( ) 2+ − −
−
c)
x x
x y x y
3 1 2 3+ −
−
+ +
d)
xy x
x y y x
2
1
2 2
−
−
− −
e)
2 2

+
−
− +
d)
x
x x
x
2
1 4 10 8
3 2 3 2
9 4
− +
− −
− +
−
e)
x
x
x x x
2 2
3 2 1 2
2 2 1
−
+ −
+ −
f)
x x
x y x y
3
5 5 10 10

k)
12
23
1
6
12
23
222
++
−
−
−
−
+−
+
xx
x
xxx
x
l)
2
3 6
2 6 2 6
x
x x x
−
−
+ +
m)
x

y
2
2
2
.3
c)
2
3 2
15 2
.
7
x y
y x
d)
x y
x y
x
2
3
2
.
5
−
e)
5 10 4 2
.
4 8 2
x x
x x
+ −

i)
a b a b
a b
a ab b
3 3
2 2
2 2 6 6
.
3 3
2
− +
+
− +
Bài 7. Thực hiện phép tính:
a)
x
x
2
2 5
:
3
6
b)
x y
x y
2 5
2 2
18
16 :
5

+ +
−
−
f)
x y x xy
y x
x y
2
2 2
:
3 3
+ +
−
−
g)
2
2
1 4 2 4
:
4 3
x x
x x x
− −
+
h)
12
9
:
44
155

55
244
2
2
++
−
+
−
xx
x
x
x
l)
12
49
:
55
213
2
2
++
−
+
+
xx
x
x
x
m)
1

2
2
961
106
:
13
2
31
3
xx
xx
x
x
x
x
+−
+






+
+
−
c)




xx
d)
1 2 3
: :
2 3 1
+ + +
 
 ÷
+ + +
 
x x x
x x x
Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 15
Đại số 8 Trần Sĩ Tùng
a)
x y
x y
1 1
1 1
+
−
b)
x x
x x
x x
x x
1
1
1

+
−
−
−
e)
x y
y x
x y x y
x y x y
+
− +
+
+ −
f)
a x x
a a x
a x x
a a x
−
+
−
+
−
+
Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
a)
x x
x
3 2
2

4
4 3 2
16
4 8 16 16
−
− + − +
Bài 11. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc
nhất:
a)
x
x x
2
2 1
5 6
−
− +
b)
x x
x x x
2
2 6
( 1)( 2)( 4)
+ +
− − −
c)
x x
x x x
2
3 3 12
( 1)( 2)

a)
a b c
A
a b a c b a b c c a c b( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
− − − − − −
b)
a b c
B
a b a c b a b c c a c b
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
− − − − − −
Bài 14. * Tính các tổng:
a)
A
n n
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)
= + + + +
+
HD:
k k k k
1 1 1
( 1) 1
= −
+ +
b)

+ + + + + +
c)
m m m m m m
4 1 1 1
8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5)
= + +
+ + + + + +
d)
m m m m m
4 1 1 1
3 2 1 3 2 ( 1)(3 2)
= + +
+ + + + +
Trang 16
Trần Sĩ Tùng Đại số 8
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a)
x
x x x
2 2 2
8 2 1
1
( 3)( 1) 3
+ +
+
+ − +
b)
x y x y y
x y x y

1 1
1 1 1 1
− − +
− + − +
f)
x x x
x x
x
3 2
2
2 20 5 3
2 2
4
+ − −
− +
+ −
−
g)
x y x y x y xy
x y x y xy
x y
2 2
2 2
. 1 .
2
 
 
− + +
+ +
 ÷

 
− −
 ÷
+
 
 
 
Bài 2. Rút gọn các phân thức:
a)
x x
x
2
2
25 20 4
25 4
− +
−
b)
x xy y
x y
2 2
3 3
5 10 5
3 3
+ +
+
c)
x
x x x
2

2
+ − +
− + +
với
a b c4, 5, 6= = − =
b)
x xy
x xy
2
2
16 40
8 24
−
−
với
x
y
10
3
=
c)
x xy y x xy y
x y x y
x
x y
x y
2 2 2 2
2
+ + − +
−

4 5
1
− + − +
+
d)
x x x
x
5 4
2 3
1
− − −
+
Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên:
a)
x
1
2+
b)
x
1
2 3
−
+
c)
x x
x
3 2
2
1
− +

2 5 1
3 2
6
+
= − +
+ −
+ −
Trang 17
Đại số 8 Trần Sĩ Tùng
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm x để
P
3
4
−
=
.
d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên.
e) Tính giá trị của biểu thức P khi
x
2
–9 0=
.
Bài 8. Cho biểu thức:
a a
P
a a a
2
2 2

c) Tìm giá trị của x để
P
1
2
= −
.
Bài 10.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2
2 5 50 5
2 10 2 ( 5)
+ − −
= + +
+ +
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3.
Bài 11.Cho biểu thức:
x
P
x x x x
2 3 6 5
2 3 2 1 (2 3)(2 3)
+
= + −
+ + + −
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.

.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = 4.
Bài 14.Cho biểu thức:
x x x
P
x x
x x
2
2
2 10 50 5
5 25
5
− +
= + +
+
+
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = –4.
Bài 15.Cho biểu thức:
x x
P
x
2
3
3 6 12
8

− + +
 
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi
x
1
2
=
.
Bài 17.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2
2 5 50 5
2 10 2 ( 5)
+ − −
= + +
+ +
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = 0; P =
1
4
.
d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0.
Bài 18.Cho biểu thức:

+ − −
= +
 ÷
− + +
 
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x = 20040.
Bài 20.Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
2
10 25
5
− +
=
−
.
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P = 0;
P
5
2
=
.
c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên.
Trang 19