Môn học
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

TS. Lê Đình Hồng
(Tel. 0903 994436)
BM. Kỹ thuật Tài nguyên nước
Khoa Kỹ thuật Xây dựng
Đại học Bách khoa Tp. HCM
Nội dung môn học

1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn
2. Phương pháp số dư gia trọng
3. Lý thuyết ñàn hồi (tự ôn tập)
4. Phần tử thanh (tự ôn tập)
5. Hàm nội suy
6. Bài toán phẳng và khối
7. Bài toán bản, vỏ
8. Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng)
9. Kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn
10. Sơ lược về bài toán ñộng lực học và phương pháp phần tử
hữu hạn
Tài liệu tham khảo

• Fundamentals of Finite Element Analysis, David V. Hutton,
McGraw Hill, 2004.
• The Finite Element Method in Engineering, Singiresu S. Rao,
Elsevier Science & Technology Books, 2004.
• Một số sách khác sẵn có trong Thư viện ĐH Bách khoa Tp.

• Phức tạp → lời giải xấp xỉ (hay lời giải số):
9 Phương pháp sai phân hữu hạn: đạo hàm riêng
trong phương trình vi phân chủ đạo được thay thế
TS. Leâ Ñình Hoàng 2/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
bằng biểu thức sai phân → hệ phương trình đại số
tuyến tính → lời giải tại một số điểm rời rạc.
9 Phương pháp biến phân (Rayleigh-Ritz, Galerkin,
bình phương tối thiểu): phương trình vi phân chủ
đạo → dạng biến phân → giả thiết lời giải dạng
(
)
j
j
c
φ
∑
trên toàn miền tính toán với
j
φ
là hàm số
chọn sẵn, c
j
là hệ số chưa xác định → xác định c
j
để
phương trình nguyên thủy và phương trình dạng
biến phân tương đương nhau. Lưu ý: không phải
mọi bài toán đều có thể được viết dưới dạng biến
phân.
9 Phương pháp phần tử hữu hạn: có thể áp dụng cho
TS. Leâ Ñình Hoàng 8/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Mô phỏng một máy bay chiến đấu TS. Leâ Ñình Hoàng 9/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bài toán dao động do động đất, tải thay đổi theo thời gian,
TS. Leâ Ñình Hoàng 10/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
1.3 CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
Bước 1
: Rời rạc hóa miền tính toán thành các phần tử hữu
hạn với hình dạng được chọn trước và các phần tử liên kết
với nhau tại các nút. Phần tử thanh Phần tử phẳng tam giác, tứ giác
TS. Leâ Ñình Hoàng 11/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH

Phần tử vỏ mỏng Phần tử khối

Bước 2
: Chọn hàm chuyển vị (thường là đa thức bậc 1, 2, 3)
được xác định bên trong từng phần tử để nội suy chuyển vị
tại vị trí bất kỳ (bên trong phần tử) theo chuyển vị nút của
các phần tử (ẩn số).

u = vectơ
chuyển vị nút của phần tử (e).

Bước 3
: Xác định quan hệ biến dạng - ứng suất và biến
dạng – chuyển vị theo lý thuyết đàn hồi (tùy thuộc loại bài
toán đang giải). Ví dụ đối với bài toán một chiều

xxx
du
E
dx
ε
σε
== (1.2)

TS. Leâ Ñình Hoàng 13/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử và phương
trình cân bằng phần tử theo một trong các phương pháp:
cân bằng trực tiếp, năng lượng / công hay số dư gia trọng
và được hệ phương trình có dạng

()
{
}
(
)
(
)
{

=
vec tơ chuyển vị nút của phần tử (e) bất kỳ.

Bước 5
: Hệ phương trình cân bằng của từng phần tử được
cộng với nhau theo nguyên lý xếp chồng → hệ phương trình
cân bằng tổng thể có dạng

{
}
[
]
{
}
F
KU
=
(1.4)
TS. Leâ Ñình Hoàng 14/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
{
}
F
= vec tơ lực tác dụng tại các nút;
[
]
K
= ma trận độ
cứng (đối xứng đối với bài toán kết cấu); và
{
}

TS. Leâ Ñình Hoàng 15/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
Bước 7: Tính chuyển vị tại vị trí bất kỳ theo (1.1) và biến
dạng, ứng suất trong phần tử bất kỳ theo các biểu thức
tương tự (1.2).

Bước 8
: Phân tích, giải thích kết quả để dùng trong quá
trình thiết kế. Các sai lầm thường gặp:
• Nhập sai dữ liệu đầu vào (tính chất vật lý, kích thước,
…).
• Chọn loại phần tử không thích hợp → cần nắm vũng
phạm vi áp dụng và ưu nhược điểm của từng loại phần
tử.
• Chọn loại bài toán không phù hợp → cần phân biệt
các loại bài toán (lý thuy
ết đàn hồi).
TS. Leâ Ñình Hoàng 16/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH
• Hình dạng phần tử và lưới phần tử không hợp lý → có
ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán.
• Gán tải và điều kiện biên không đúng.

Các phương pháp để thiết lập ma trận phần tử:
• Trực tiếp
• Cực tiểu thế năng
• Số dư gia trọng

1.4 ƯU ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦ
N TỬ HỮU
HẠN
• Dễ dàng mô phỏng kết cấu có hình dạng bất kỳ hoặc

G
G
(2.2)

TS. Leâ Ñình Hoàng 2/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
• Bài toán giá trị riêng (eigenvalue): → tần số tự nhiên
và hình dạng mode, chẳng hạn đối với bài toán động
trong kết cấu. Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo
có dạng:
[]
[
]
AX BX
λ
=
G
G
(2.3)
với điều kiện biên là
[]
CX g
=
G
G
(2.4)

• Bài toán lan truyền (propagation - giá trị ban đầu và
giá trị biên): → lời giải trong một miền hở thỏa mãn
các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho sẵn, chẳng
hạn đối với bài toán động trong kết cấu, bài toán tỏa

,0
XX t
dX
Yt
dt
==
=
=
GG
G
G
(2.7)
trong đó [A], [B], [C] và [D] là các ma trận vuông mà hệ số
của chúng đã biết;
X
G
là vectơ ẩn số chưa biết;
00
,, ,bgX Y
G
G
G
G
là
TS. Leâ Ñình Hoàng 4/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
các vectơ hằng số đã biết, λ là giá trị riêng, t là biến thời
gian và
F
G
là vectơ hàm số của

n
ii
i
yx cNx
=
=
∑
(2.10)
N
i
(x) = hàm thử được chọn sẵn, phải liên tục trên toàn miền
và thỏa tất cả các điều kiện biên.
Thay (2.10) vào (2.8) → số dư
()
(
)
*, 0Rx Dy x x
=
≠
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.11)
Phương pháp số dư gia trọng yêu cầu c
i
được tính từ hệ n
phương trình n ẩn số sau
() ()
0 1,2, ,

++ (2.14)
Thay (2.14) vào (2.13) → hàm sai số
()
()
2
21
1123
23
du
Ay
dy
ww
wytEccycyPR
L
−
⎡⎤
⎛⎞
+
++ −=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
   
   
(2.15)
Cho w
1
= 2; w
2

−−
=
×+× + ×
(2.18)

Phương pháp miền con (subdomain)
Tích phân của hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3)
miền con, chẳng hạn: miền 1 từ y = 0 đến y = L/3; miền 2 từ
y = L/3 đến y = 2L/3 và miền 3 từ y = 2L/3 đến y = L. Từ
(2.16) → hệ 3 phương trình 3 ẩn số
TS. Leâ Ñình Hoàng 9/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
/3 2 /3
0/32/3
000
LLL
L
L
Rdy Rdy Rdy===
∫
∫∫
(2.19)
→ giải →
662 93
391,35088 10 6,075 10 809,61092 10uyy y
−
−−
= ×+× + ×
(2.20)

Phương pháp bình phương cực tiểu

RR R
Rdy Rdy R dy
ccc
∂∂ ∂
=
==
∂∂∂
∫∫∫
(2.23)
→ hệ 3 phương trình 3 ẩn số → giải →
66263
389,733 10 6,442 10 0,789 10uyyy
−
−−
=×+×+× (2.24)

Phương pháp Galerkin
Yêu cầu sai số trực giao với hàm gia trọng φ
i
ứng với tích
phân
0
01,2,3
L
i
Rdy i
φ
==
∫
(2.25)

()
()
21
11
21
ln ln
PL w w
uy w y w
Et w w L
−
⎡
⎤
⎛⎞
=+−
⎜⎟
⎢
⎥
−
⎝⎠
⎣
⎦
(2.29)

TS. Leâ Ñình Hoàng 12/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
So sánh kết quả tính toán chuyển vị (10
-2
)
y Chính
xác
Chọn

uu
⎛⎞
−
=≤≤
⎜⎟
⎝⎠
==
(2.30)
Lời giải chính xác
()
2
ln
31
ln2
x
ux x
=
−− (2.31)
Miền tính toán chia thành 2 phần tử (kích thước bằng
nhau) với 3 nút
→ lời giải xấp xỉ →
() () () () ()
3
11 22 33
1
*
ii
i
ux u x u xu xu x
φφφφ
→ trong phần tử 1
()
()
()
()
()
11
21
11 22 1 2
21 21
*
x
xxx
ux u xu x u u
x
xxx
φφ
−
−
=+= +
−
−

(2.33)
trong phần tử 2
()
()
()

dx dx
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(2.35)
Hệ phương trình phần tử hữu hạn
33
11
*
40
xx
ii
xx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
φφ
⎡⎤
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣
⎦
∫∫
(2.36)
Thực hiện tích phân từng phần
→

2
) → (2.37) →
TS. Leâ Ñình Hoàng 18/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
()
22
11
1
2
12 1
2
21
21
1*
4
xx
xx
x
du x x
x
u u dx x x dx
dx x x
xx
−
−=− −
−
−
∫∫
(2.38)


xx
xx
ddu ddu
xdxxdx
dx dx dx dx
du du
x
xxdxxdx
dx dx
φφ
φφ φφ
+
=+−−
∫∫
∫∫
(2.39)
TS. Leâ Ñình Hoàng 19/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
()
()
()
()
23
12
23
12
22
12 23
22
21
32

∫∫
∫∫
(2.40)
Với i = 3
→ chỉ φ
3
≠ 0 trong miền (x
2
, x
3
) → (2.37) →
()
()
33
22
3
2
23 3
2
32
32
1*
4
xx
xx
x
du x x
x
u u dx x x dx
dx x x

du
uu
dx
du du
uu uu
dx dx
du
uu
dx
=
=
=
=
−=− −
−+ + − = −
−−
−+ = +
(2.42)

TS. Leâ Ñình Hoàng 21/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
1
3
1
1
2
3
2
*
1,1667
2,5 2,5 0

⎬⎨ ⎬
⎢⎥
⎪
⎪⎪ ⎪
−
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭
⎪
⎪
−+
⎪
⎪
⎩⎭
(2.43)
Điều kiện biên u
1
= u
3
= 0
→
2
12
0,5; / 2,4167; / 1,7917
xx
u dudx dudx
=
=
=
−=− =

Điều kiện biên là
()
(
)
11
jj j j
ux u ux u
+
+
== (2.45)
Lời giải xấp xỉ trong phần tử j
()
()
()
()
()
1
11 1
11
*
ee
jj
jj j j j j
jj jj
x
xxx
ux u xu xu u
x
xxx
φφ

jj
xx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
ddu
Rdx x x dx
dx dx
φφ
φφ
++
++
++
⎡⎤
⎛⎞
=
−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
=
−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣
⎦

x x
e
jj j
jj j
x x
x
ee e
x x
e
jj j
jj j
x x
x
dd d
du
x
uudxx xdx
dx dx dx dx
dd d
du
x
u u dx x x dx
dx dx dx dx
φφ φ
φ
φφ φ
φ
+ +
+ +
+

11
11
2
jj
e
jj
xx
k
xx
+
+
−
−
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎢
⎥
⎣⎦
−
⎣
⎦
−
(2.49)
Vế phải
→ các số hạng gradient tự triệt tiêu trong ma trận
hệ thống ngoại trừ tại biên của hệ thống, số hạng tích phân
được cộng dồn
→

dx
du
dx
u
u
du
dx
⎧
⎫
−−
⎪
⎪
−
⎧⎫
⎡⎤
⎪
⎪
=
⎨
⎬⎨ ⎬
⎢⎥
−
⎣⎦
⎩⎭
⎪
⎪
−+
⎪
⎪
⎩⎭

→ yêu cầu về bậc liên tục đối với hàm nội suy
giảm một bậc.

2.4 ĐỊNH LÝ GREEN – GAUSS (TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN HAI, BA CHIỀU)
Thiết lập các phương trình phần tử hữu hạn
→ cần tính
tích phân dạng
A
dxdy
x
φ
ψ
∂
∂
∫∫
(2.51)
A = diện tích miền tích phân;
C = đường biên bao của miền tích phân.

TS. Leâ Ñình Hoàng 27/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
Thực hiện tích phân từng phần cho (2.51) đối với x bằng
cách sử dụng quan hệ cơ bản
RR
R
L
L
L
xx
x

R
, x
L
) và (y
B
, y
T
) chỉ các giới hạn tích phân đối với x và y;
viết dy thành
.
x
dy dC l
=
± (2.54)
dC = một phần tử của đường cong biên,
TS. Leâ Ñình Hoàng 28/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
l
x
= cosine của góc hợp bởi pháp tuyến n và phương x, và
dấu cộng và trừ được áp dụng cho đường cong biên phía
phải và phía trái.

TS. Leâ Ñình Hoàng 29/29 Ch. 2: Phương pháp Số dư gia trọng
→ số hạng cuối cùng của (2.53) →
() ()
R
T
B
L
x

φ
ψ
ψφψφ
∂∂
=− +
∂∂
∫∫ ∫∫ ∫
v
(2.57)
với l
y
là cosin của góc hợp bởi pháp tuyến n và phương y.