CÁC CÔNG THỨC SỬ DỤNG TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN - MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ - BÀI TOÁN HỆ THANH
1. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử
1.1 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ địa phương
1.1.1 Phần tử thanh hai đầu nút cứng (NN)



























EF
l
EF
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
46
0
26
0
612























−−
−
−
−
−
=
000000
0

l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
(2)
1.1.3 Phần tử thanh đầu i khớp, đầu j nút cứng (KN)











l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EF
l
EF
K
e
33
00
3
0







−
−
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
][
αα
αα
αα
αα
T
(4)
1.2.2 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể
]].[.[][]'[ TKTK
e
T
e
=
(5)
2. Quy đổi tải trọng phần tử thành lực nút tương đương

y
T
e y y y y
p
R p l p l p l p l
 
= −
 
 
(7)
* Do tải trọng tập trung T:
{ }
( )
. .
0 0 0 0
T
e
T
T b T a
R
l l
 
=
 
 
(8)
* Do tải trọng tập trung P:
{ }
2 2 2 2
3 2 3 2

 
(10)
2.1.2 Phần tử thanh đầu i nút cứng, đầu j khớp (NK)
* Do lực phân bố đều p
x
:
{ }
( )
1 1
. 0 0 . 0 0
2 2
x
T
e x x
p
R p l p l
 
=
 
 
(11)
* Do lực phân bố đều p
y
:
{ }
2
( )
5 1 3
0 . . 0 . 0
8 8 8

( )
0 (3 ) (2 ) 0 (3 ) 0
2
2 2
T
e
P
Pb b Pab Pa a
R l a
l l
l l l
 
 
= − − −
 
 
 
(14)
* Do moment tập trung M:
{ }
2 2 2
2 2 2
( )
3 3
0 (1 ) (1 3 ) 0 (1 ) 0
2 2 2
T
e
M
M b M b M b

y
:
{ }
2
( )
3 5 1
0 . 0 0 . .
8 8 8
y
T
e y y y
p
R p l p l p l
 
= −
 
 
(17)
* Do tải trọng tập trung T:
{ }
( )
. .
0 0 0 0
T
e
T
T b T a
R
l l
 

( )
3 3
0 (1 ) 0 0 (1 ) (1 3 )
2 2 2
T
e
M
M a M a M a
R
l l
l l l
 
 
= − − − − −
 
 
 
(20)
Vectơ tải trọng nút tương đương do tải trọng tác dụng trên phần tử quy đổi thành
lực nút tương đương theo phương hệ toạ độ địa phương:
{ } { } { } { } { } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y
e e e e e e
p p T P M
R R R R R R= + + + +
(21)
2.2 Quy đổi tải trọng tác dụng trên phần tử (theo phương hệ toạ độ địa phương) về
thành lực nút tương đương theo phương hệ toạ độ tổng thể:
{ } { }

}{
P
R
⇒ vectơ lực
tổng cộng tại nút
}{
S
R
}{}'{}{
PSS
RRR
+=
(23)
3.2 Xét điều kiện biên, khử trùng lặp:
Ma trận
][
S
K
⇒ ma trận
]*[
s
K
Vectơ
}{
S
R
⇒ vectơ
}*{
S
R

uTu
=
(25)
3.5 Vectơ nội lực của phần tử:
[ ]
{ }
eeee
RuKF
−=
}{}{
(26)
Nội lực tại 2 đầu thanh:
{ }
)1(
ei
FN
−=
;
{ }
)2(
ei
FQ
=
;
{ }
)3(
ei
FM
−=
(27)

Phần tử p
x
p
y
T a b P a b M a b
1 -1.8
2 2.4 2.5 2.5 -3.2 2.5 2.5
+ Bảng số liệu tải trọng tác dụng tại nút:
Nút P
X
P
Y
M
Z
2 -5
+ Bảng số liệu điều kiện biên:
Nút u
X
u
Y
r
Z
1 0 0 0
2 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0
3 0 0 không xđ
2. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử:
2.1. Phần tử 1: (Áp dụng công thức 1, 4, 5)
Ma trận [K
e
]