Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
1
TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG
TÀI LIỆU CỦNG CỐ VÀ ÔN LUYỆN
THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC
(Dùng để dạy và học tăng tiết)
Môn: Đại số và giải tích
Giáo viên giảng dạy: Trần Chơn
Mộ Đức, tháng 9/2012
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
2
Môn: Đại số và giải tích
CÁC BÀI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1)Tìm cực trị các hàm số sau:
2 3 2 4
2
2
) 2 3 ) 3 4 ) 2
1
) 2 1 )
1
a y x x b y x x c y x x
x x
d y x x e y
x
Đạt cực trị bằng -2 tại x=1
Câu 5)Xác định tham số m để hàm số y=x
3
3mx
2
+(m
2
1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
Câu 6)Định m để hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị.
b.Có cực đại và cực tiểu.
c.Có đồ thị (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị = 4 khi x = 0).
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Câu 7) Định m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
a. Có cực đại và cực tiểu.
b.Đạt cực trị tại x = 2.
c.Đạt cực tiểu khi x = -1
Câu 8)Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
2
-2m+1.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x
3
3x
2
12x 2 trên [1;2] .
Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
y 2sin x cos x 4sinx 1
.
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
3
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nếu có của hàm số
2
x 1
y
1 x
.
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y x 2
x
trên [0; 2].
Câu 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
( ) 4 5 f x x x
trên đoạn
[ 2;3]
.
Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
4
( ) 1
2
f x x
x
trên
1;2
CÁC TIỆM ĐƯỜNG CẬN
Câu 1 Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số :
2
2
2 2 1
. . .
1 1
1 2 3 1
. . .
1 2 4 1
x x x
a y b y c y
1
1
x
y
x
a. Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên
b. Tìm các điểm trên đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm
đó đến tiệm cận ngang
c. Gọi M là điểm thuộc đồ thị. CMR tich khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ
điểm đó đến tiệm cận ngang là một hằng số
d. Tìm N thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó
đến tiệm cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 1 Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ bằng 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y= 9x
+ 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y=
1
3
x + 2. f/Biết tiếp tuyến qua A(1;-2).
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
2
x 3x 1
(C): y
x 2
, biết rằng tiếp tuyến này song song với
đường thẳng (d) :
5x 4y 4 0
.
Câu 6. Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) :
2
y 2x ax b
tiếp xúc với hypebol (H) :
1
y
x
Tại điểm
M(1;1)
SỰ TƯƠNG GIAO
Câu 1:Cho hàm số: y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x
3
-3x +1 và đường thẳng (d) qua A(0;1) có hệ số góc k. Biện luận số giao
điểm của
(d) và (C).
Câu 6: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của
hàm số
đã cho tại hai điểm phân biệt.
Câu 7: Cho (C): y=
2
2
1
x x
x
và ( d) qua gốc tọa độ có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và
(C).
Câu 8: Cho đường cong (C): y=
4
2x
. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k.
KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1:1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
2 1
5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có toạ độ là các số nguyên.
Câu 3. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x
2
– m = 0.
Câu 4. Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+3 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình x
4
– 2x
2
+ m = 0 có bốn nghiệm thực phân
biệt.
Câu 5. Cho hàm số y = - x
3
+ 3x -1 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x
x
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 9 Cho hàm số
3 2
3 4 y x x
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tâm đối xứng.
Câu 10 Cho hàm số
3
3 4 y x x
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tai diểm có hoành độ x
o
là nghiệm của phương trình
//
( ) 6
o
y x
Câu 11 Cho hàm số y = x
3
+(m -1) x
2
–(m +2)x -1 (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 15 Cho hàm số y = x(x – 3)
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
6
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 16. Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x
có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
Câu 17. Cho hàm số y = (x – 1)
2
(x +1)
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu 18 Cho hàm số
1
Câu 21 Cho hàm số y =
4 2
x + 2(m+1)x + 1
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
LŨY THỪA – LÔGARIT
Câu 1 Rút gọn:
a.
5
6
( 3)
b.
32+4
-
32-4
c.
2
1
4
3
1
aa
a
4
1
4
9
Câu 5 Cho a > 0 ;b > 0 ; c > 0 và a ,b ,c lập thành cấp số nhân.Chứng minh lna ; lnb ; lnc lập
thành cấp số cộng
Câu 6 Chứng minh rằng:
x
xb
bx
a
aa
ax
log1
loglog
)(log
Câu 7 Rút gọn: log
4
1250
Câu 8 Cho
lg392 , lg112 a b
. Tính lg7 và lg5 theo a và b .
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT
Câu 1:Giải các pt :
a. 25
x
– 7.5
x
4 2 .2 3 0
x x
h.
4 5.2 4 0
x x
Câu 2:Giải các pt :
a.
3 3 1
2
log ( 1) log (2 1) log 16 0 x x
b.
9 3
log log 4 5 x x
c.
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5 x x
d.
2
3
2 2
4 0
lo g lo g
x x
e.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
2
22
loglog xx
Câu 3: Giải các phương trình :
a.
2
lg 1 lg lg 2
4 6 2.3 0
x x x
b.
03.264
2lnln1ln
2
xxx
c.
62.42
22
cossin
xx
d.
12356356
xx
e.
1
5
cos
5
x
x
. i. x
4
.5
3
=
5log
5
x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT
Câu 1:Giải các hpt :
a.
75,032
75,23.22.3
yx
yx
b.
1
2 3 0
5 5 10
Câu 2: Giải các hpt :
a.
xy
yx
522
5755
log315loglog3
2log1log.7loglog
b.
1
1
log 2
log 4 2 3
x
y
y
y x
x
y
x y
y x
e.
2
2 6 22 3 2
2
3
2 .3 144
log x y 2
y x x x
Câu 3: Giải hệ phương trình sau :
a.
44
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
8
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT
Câu 1: Giải các bất phương trình
a.
1 1
3 3 10
x x
b.
1
1
1
( 2 1) ( 2 1)
x
x
x
c.
2
lo g
sin 2
4
2
–x - 2 ) < 2log (3 - x ) e.
log ( 3) log ( 2) 1
2 2
x x
f.
3
3 5
lo g 1
1
x
x
Câu 3: . Giải bất phương trình:
a.
x 2
lo g
sin 2
x 4
3 1
b.2.14
x
+ 3.49
x
- 4
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x
d.
2
0
sin cos
I x x xdx
Câu 2:Tính các tích phân sau :
a.
2
3
0
(1 2 sin ) cos
x xdxI
. b.
( 2 )
x d x
x
Câu 3:Tính các tích phân:
a.
2
3
0
sin cos sin
I x x x xdx
b.
0
2
1
16 2
4 4
x
I dx
x x
c.
x x
I dx
x
.
Câu 4: Tính các tích phân sau:
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
9
a.
4
1
1
1
I dx
x x
. b.
ln 5
ln 2
( 1)
1
f.
1
5
0
(1 )
I x x dx
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
I-DIỆN TÍCH:
Câu 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y =
2
x
, (d) : y =
6 x
và trục hoành . Tính
diện tích của hình phẳng (H) .
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x
y e
, trục hoành và các đường thẳng x= 1.
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1
ln , , y x x x e
e
và trục hoành
Câu 4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y =
2
x
, (d) : y =
xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục
Câu 3 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x
2
và y = x
3
xung quanh trục Ox
Câu 4 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y =
2
x
và (G) : y =
x
. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
Câu 5 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =
2
2 x x
và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .
Câu 6 Cho hàm số y=
3 2
1
3
x x
có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
( C ) và các đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x.
Câu 7 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = - x
2
+ 2x và
y = 0
ebooktoan.com
Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)
3
- (3-i)
3
.
Câu 3 Cho số phức
1 3 z i
.Tính
2 2
( )z z
Câu 4 Cho số phức:
2
1 2 2 z i i
. Tính giá trị biểu thức
.A z z
.
Câu 5 Thực hiện các phép tính sau:
a.
(3 )(3 ) i i i
b.
2 3 (5 )(6 ) i i i
Câu 6 Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)
3
Câu 7 Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện
:
3 4 Z Z
Câu 9 Thực hiện phép tính:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)
2
c.
3
1
3i
2
Câu 10 Thực hiện phép tính:
a.
1 i
2 i
b.
2 3i
4 5i
c.
3
5 i
2 2
z 9 z z 1 0
c.
3 2
2z 3z 5z 0
Câu 13 Giải phương trình
3
8 0x
trên tập số phức
Câu 14 Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3
Câu 15 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
2
2 17 0 z z
Câu 16 Giải phương trình:
2 1 3
1 2
i i
z
i i
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
11
Môn: Hình học
KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của
Câu 9.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB .Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng
45
. Tính thể tích
của khối lăng trụ này .
Câu 10. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích
của hai khối chóp M.SBC và M.ABC .
Câu 11.Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2
6
.Điểm M,N là
trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
Câu 12.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
c/ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó
Câu 13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60
o
. Tính thể tích hình
chóp SABCD theo a
Câu 14.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC =SD = a. Tính
đường cao và thể tích khối chóp theo a.
KHỐI TRÒN XOAY
1/ KHỐI NÓN
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
12
Câu 1. Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 ,chiều cao h =
2
điểm O đến AB bằng a và SAO = 30
0
, SAB = 60
0
.
a.Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a
b. Tính thể tích của khối nón
Câu 9.Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Câu 10.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB =
(
> 45
0
). Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
2/- KHỐI TRỤ:
Câu 1.Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song
song với trục cách trục 3cm.
a.Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh
b. Tính thể tích khối trụ
Câu 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
Câu 3.Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay
a/Tính d tích xung quanh của hình trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ
Câu 4.Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính thể
tích khối trụ đó
2
SC
R
.
b) Cho SA = BC = a và
2aAB
. Tính bán kính mặt cầu
Câu 2.: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a,
)(ABCDSA
và
3aSA
. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng
nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh
bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1 Cho điểm M(-1,2,3).Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên:
a.Trục ox
b.Mặt phẵng oyz
Câu 2 Cho A(1,2,1), B(-2,1,2)
a. Tìm A’ đối xứng A qua oy
b. Tìm B’ đối xứng B qua oxy
c. M chia AB theo tỷ số k=-3
d. Tính độ dài AB
Câu 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1,0,1), B(2,1,2), D(1,-1,1), C’(4,5,-5). Tìm toạ độ các đỉnh còn
lại.
và
(Q) :
x y z 5 0
.
a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt
phẳng (T) :
3x y 1 0
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :
x y 2 z 1 0
và mặt
cầu
(S) :
2 2 2
x y z 2 x 4 y 6z 8 0
.
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :
2 1 0 x y z
và mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 6 8 0 x y z x y z
. Viết phương trình mặt
phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông góc với mặt
phẳng (Q) :
0 x y z
và cách điểm M(1;2;
c. Viết phương trình đường thẳng (
) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(
2;1;
1) ,B(0;2;
1) ,C(0;3;0), D(1;0;1) .
a. Viết phương trình đường thẳng BC .
b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng .
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;
1;1) , hai đường thẳng
x 1 y z
( ) :
1
1 1 4
,
x 2 t
( ) : y 4 2t
2
z 1
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với
O là gốc tọa độ .
Câu 5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(d ) :
x 1 2t
y 2t
z 1
và mặt phẳng (P) :
2x y 2z 1 0
.
a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng (
) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d) .
Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
x 2 y z 3
1 2 2
và mặt phẳng (P) :
2x y z 5 0
;1;2) ,
C(1;
1
;4) .
a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác .
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với
O là gốc tọa độ .
Câu 9 Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (
) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC
2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (
)
Câu 10 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0). Viết phương trình tham số
của đường thẳng BC.
Câu 11 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
(
) qua B có véctơ chỉ phương
u
(3;1;2).
Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC)
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 3) và mặt phẳng (P) : x 2y 2z 10 = 0.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
ebooktoan.com
2
chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
( )
1
và song song với đường thẳng
( )
2
.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 2 2t
(d ): y 3
1
z t
và
x 2 y 1 z
(d ):
2
1 1 2
.
a. Chứng tỏ đường thẳng (
d
1
) song song mặt phẳng (
) và (
d
2
) cắt mặt phẳng (
) .
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng (
d
1
) và (
d
2
).
c. Viết phương trình đường thẳng (
) song song với mặt phẳng (
) , cắt đường thẳng (
d
1
) và (
d
( ),( )d d
vuông góc nhau nhưng không cắt nhau .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (
) :
2 2 3 0 x y z
và hai đường thẳng
(
1
d
) :
4 1
2 2 1
x y z
,(
2
d
):
3 5 7
2 3 2
x y z
Chứng tỏ đường thẳng (
1
d
x t
y t
z
Chứng minh rằng đường thẳng
1
( )
và đường thẳng
2
( )
chéo nhau .
Câu 7. Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):
1
3
2
x t
y t
z t
và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0. Chứng
tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
và
2
chéo nhau
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng
1
và
2
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a
3
, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các
cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Hướng dẫn tóm tắt:
Đặt V
1
=V
S.AMN
; V
2
=V
A BCNM
; V=V
V S SA
3
1 . 3
.
3 3
a
V
3
2
. 3
5
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD); AB = SA = 1;
AD 2
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ
diện ANIB.
Hướng dẫn tóm tắt:
ANIB
V
2
36
Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD)
vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên
và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt
phẳng (A
1
BM).
Hướng dẫn tóm tắt:
3
2
AA BM 1 BMA 1
1 1
1 a 15 1
V A A . AB,AM ; S MB,MA 3a 3
6 3 2
3V a 5
d .
S 3
Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc
. Tìm
để
thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn tóm tắt:
2 tan
.
2
1
2 tan
1
27
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
18
V
max
3
4 3
27
a
khi đó tan
2
=1
a
S SO
3
1 3
.
3 16
=
SAC
S d B SAC
1
. ( ; )
3
.
SAC
a
S
2
13 3
16
d(B; SAC) =
a3
13
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với
0
120A
, BD = a >0. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc
với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Hướng dẫn tóm tắt:
V
A.BDMN
=
3
4
V
S.ABD
=
3
4
.
1
3
SA.S
ABD
=
1
4
.a
3
.
2 3
3 3
4 16
1
H thì HK chính là khoảng cách giữa AA
1
và B
1
C
1
.
Ta có AA
1
.HK = A
1
H.AH
1
1
.
3
4
A H AH
a
HK
AA
Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b,
AA’ = c (
2 2 2
c a b
). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua
A và vuông góc với CA.
Hướng dẫn tóm tắt:
SCA
3
3
(sin sin )
6
SABC
a
V
. Xét hàm số
3
sin sin y x x
trên khoảng
0;
2
. Từ BBT
3 3
max max
3
( )
6 9
SABC
a a
V y
, V = V
MBNC'A'B'
.
Ta có
'
a a x
SB a x
SB
SB a x
, (0< x < a)
Xét phép vị tự tâm S tỉ số k =
1
x
a
ta có:
3
1
2
V
a x
V a
1 1 1 1 1
6 6
a x a x x
V V V
x a a a
Theo đề bài V =
2 2
3
3 3
1 1
1 1 1 1 1 1 0
3 6 3
+ y
2
= a
2
.
V =
1
( )
6
ya a x
.
2 2 3
1
( )( )
36
V a a x a x
. V
max
=
3
3
8
a
khi
2
a
x
.
Câu 15 Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm
SO OAcotg R cotg
AH SA R
OA R
SA
2 2 2 2
sin sin
sin
R
OH OA AH
.
Vậy:
3
2 2
.
3
1 cos sin
. . . sin sin
3 3sin
S AOM
2
– BM
2
2 2 2
2
tan 1
12 12 4
a a a
2
2 3
4 tan
a
r = OI = OM.tan
2
=
2
tan
2
4 tan
. Vậy V =
a a a
BN BM
3
1
,
6 24
BMND
a
V BN BM BD
Mặt khác,
1
. ,( )
3
BMND BMN
V S d D BMN
,
2
1 3
0
30 SAB SAC
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Dùng định lí côsin tính được:
aSB
, SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB SA, MC SA. Suy ra SA
(MBC).
Ta có
MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3
1
S.MA
3
1
VVV
Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC
MN BC. Tương tự MN SA.
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
.
4
3a
.3a
6
1
BC.MN
2
1
.SA
3
1
V
3
ABC.S
.
Câu 19 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc
với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
3
8
a
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.
Hướng dẫn tóm tắt:
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
Do A’AO và MAH đồng dạng nên
'
A O HM
AO AH
. 3 3 4
'
3 4 3 3
AO HM a a a
A O
AH a
Thể tích khối lăng trụ:
3
1 1 3 3
. . .
2 2 3 2 12
ABC
a a a
V A O S A O AM BC a
Câu 20 Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có
2, 3, 1, 10, 5, 13 AB AC AD CD DB BC
.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
10 ; 5 ; 13 ; CD AC AD DB AD AB BC AB AC
o
a
HP HA
; SHP vuông có:
3
.tan tan
4
a
SH HP
Thể tích hình chóp
2 3
1 1 3 3
. : . . . .tan . tan
3 3 4 4 16
ABC
a a a
S ABC V SH S
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên qua cạnh
huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60
0
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Kẻ SH BC. Suy ra SH (ABC). Kẻ SI AB; SJ AC.
Ta có S
ABC
= S
ABCD
– S
ADC
=
2
1
2
a
. V
ASBC
=
1
3
S
ABC
.SA =
3
1
6
a
Câu 24 Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó và
khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Hướng dẫn tóm tắt:
Nhận xét: Tâm O của lục giác đều ABCDEF là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF. SO
(ABCDEF). Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac đều bằng nhau cạnh b.
Diện tích đáy: S
đáy
. 3( )
4
OI SO a b
b
a b
OI SO
Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
60BAD
, SA vuông góc mặt
phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và song với BD,
cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Hướng dẫn tóm tắt:
Ta có: SAC vuông tại A
2 2
2 SC SA AC a
AC =
2
SC
= a SAC đều Vì (P) chứa AC và
(P) // BD BD // BD. Gọi O là tâm hình thoi ABCD và I là giao điểm của AC và BD I là trọng
tâm của SBD. Do đó:
2 2
3 3
a
h S
.
Câu 26 Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c,
0
60ASB
,
0 0
90 , 120 BSC CSA
.
Hướng dẫn tóm tắt:
Trên SB, SC lấy các điểm B, C sao cho SB = SC = a. Ta có AB = a, BC = a
2
, AC = a
3
ABC vuông tại B. Gọi H là trung điểm của AC, thì SHB vuông tại H. Vậy SH là đường cao của
hình chop S.ABC
Vậy: V
S.AB’C’
=
3
2
12
a
.
.
– V
SABD
.
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
23
Chứng minh BC (SAB) BC AH AH (SBC).
Kẻ AK (SC) AK (SCD) (AKH) (SCD).
Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E. Kéo dài AH cắt SE tại M.
Có (AMK) (SCD) hay (AMK) (SED).
AH (SBC) AH HK tam giác AHK vuông tại H.
Kẻ HI MK có HI = d(H, (SCD)).
Tính AH, AM HM; Tính AK HK. Từ đó tính được HI.
Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
2 5 a
và
120
o
BAC
. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC
BM a MA a
Ta có thể tích khối tứ diện AA
1
BM là :
1 1
3
2
1 1
1 15 1
. , ; , 3 3
6 3 2
AA BM BMA
a
V A A AB AM S MB MA a
Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA
1
) bằng
3 5
.
3
CA CN A N a a a
C
CA CN
a a
Vậy cosin của góc giữa AM và AC bằng
3
2 5
.
Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Hướng dẫn tóm tắt:
Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC.
Ta có : BC
2
= 2AB
2
– 2AB
2
cos120
0
a
2
= 3AB
2
Hướng dẫn tóm tắt:
Dựng
SH AB
. Ta có:
( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) SAB ABC SAB ABC AB SH SAB
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
24
( ) SH ABC
và SH là đường cao của hình chóp.
Dựng
, HN BC HP AC
,
SN BC SP AC SPH SNH
SHN = SHP HN = HP.
AHP vuông có:
3
.sin60 .
4
o
a
HP HA
SHP vuông có:
3
.tan tan
2
.
Đặt: y = AA’
2
2 2 2
2
4
y
a y a
y =
2a
Câu 33 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên
AA = b. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Tính tan
và thể tích của khối
chóp A.BBCC.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của ABC. Vì A.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (ABC) là =
A EH
.
3 3
' .
4 4
ABC ABC A B C ABC
a a b a
S V A H S
2 2 2
'.
1 3
' .
3 12
A ABC ABC
a b a
V A H S
.
Do đó:
' ' ' . ' ' ' '.
A BB CC ABC A B C A ABC
V V V
=
2 2 2
3
6
1 3
.
3 16
ABMN
a
S SK
.
Câu 35 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD,
AD. Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (AAM) và
tính thể tích của khối tứ diện AAMP.
ebooktoan.com
Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán
Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng
25
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi Q là giao điểm của NP và AD. Do PD = 2PD nên DN = 2DQ
2
2
.
4
a
AD DQ MD QM AM
(đpcm).
Ta có:
'
1
.
3
a a
V S SH a
2
3
.
1 1 5 14 2 5 10 5
. . .
3 3 9 27
14
Có thể dùng công thức tỉ số thể tích:
S PQC
S PQC S ABC
S ABC
S PCD
S PCD S ACD
S ACD
V
SP SQ
V V a
V SA SB
V
SP
V V a
V SA
.
3
. .
.
xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích của hai phần đó.
Hướng dẫn tóm tắt:
Gọi P = MN SD, Q = BM AD P là trọng tâm SCM, Q là trung điểm của MB.
MDPQ
MCNB
V
MD MP MQ
V MC MN MB
1 2 1 1
. . . .
2 3 2 6
DPQCNB MCNB
V V
5
6
Vì D là trung điểm của MC nên
d M CNB d D CNB( ,( )) 2 ( ,( ))
MCNB DCNB DCSB S ABCD
V V V V
.
1
2
2
KMCAND
, V
2
= V
KBBCMAADN
.
V
hlp
=
a
3
, V
EAND
=
ADN
ED S a
3
1 2
. .
3 9
.
ebooktoan.com
Copyright: Tài liệu đại học ©