Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
1
TÓM T
ẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
A.Đ
ẠI SỐ.
1. Tam th
ức bậc hai.
Gi
ả sử
2
( ) 0; , ; ;   
 
       
 
 

b
f x ax bx c a S
a
0
( ) 0
0


   

 



a
f x x
1 2
( ) 0
( ) 0

 



   



af
x x
af

là nghi
ệm của
( )f x
( ) 0 f
1 2
( ) 0
( ) 0

 



 



 

   



 

x x af
S
1 2
1 2
( ). ( ) 0
 
 
 
  

 

  

x x
f f
x x
1 2




 




    



 


 


af
x x af
S
S
2. B
ất đẳng thức Cô si:
V
ới hai số
0, 0 a b
thì
2


A B


 

 

A B
A B
A B
    A B B A B
4. Phương tr
ình
– b
ất ph
ương trình chứa căn
 
0 0 


 




A B
A B
A B
2
0

  
 




B
B
A B
A
A B
0

 



A
A B
A B
B. H
Ệ THỨC L
ƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
.
1. Đ
ịnh lý hàm số Cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos

S
R
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
  S ab C ac B bc A
     
   S p p a p b p c
.S p r
C.H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
.
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để giải một hệ ph
ương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có m
ột số loại hệ ph
ương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 D
ạng:
1 1 1
2 2 2
(*)
 


 

ếu
0D
: h
ệ (*) có nghiệm duy nhất









x
y
D
x
D
D
y
D
- N
ếu
0D
và
0
x
D
hay
0

hệ không thay đổi.
 Cách giải:
Đ
ặt
;  S x y P xy
Gi
ải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
0  X SX P
Đi
ều kiện để ph
ương trình trên có nghiệm là
2
4 0   S P
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
4
3. H
Ệ PH
ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
 D
ạng:
( , ) 0 (1)
(*)
( , ) 0 (2)





4. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
.
 D
ạng:
H
ệ ph
ương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
 Cách giải:
- Xét
0x
, th
ế vào hệ tìm y.
- Xét
0x
, đ
ặt
y tx
, th
ế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.
D.LƯ
ỢNG GIÁC
.
I. CÔNG TH
ỨC L
ƯỢNG GIÁC.
1. Các cung liên quan đ
ặc biệt
1.1 Hai cung đối nhau: (

 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
1.2 Hai cung bù nhau: (

và
 
)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
  
  
  
  
 
  
  
  
1.4 Hai cung hơn, kém

: (


tan, cot ‘.
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
5
2. Các công th
ức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1  x x
2
2
1
1 tan
cos
  x
x
2
2
1
1 cot
sin
  x
x
tan .cot 1 x x
sin
tan
cos

x

ức nhân đôi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tana
tan2
1 tan

     


a a a
a a a a a
a
a
4.2 Công th
ức nhân ba
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
 
 


2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
 
 
 
  
 
 
 
 
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
Bng túm tt cụng thc Toỏn hc ph thụng Trng PTTH Ngụ Thi Nhim
Giỏo viờn biờn so
n: Trng Hoi Trung
6
7. Cụng th
c bin i tớch thnh tng



u v k
u v
u v k
2
cos cos
2








u v k
u v
u v k
tan tan 2 u v u v k
cot cot 2 u v u v k
Trng hp c bit:
sin 0 u u k
cos 0
2

u u k
sin 1 2
2


:
sin cos a u b u c
(1) trong ủoự
2 2
0 a b
i
u kin cú nghim:
2 2 2
a b c
Caựch giaỷi:
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
7
Chia hai v
ế của PT cho
2 2
a b
,
(1)

2 2 2 2 2 2
sin cos 
  
a b c
u u
a b a b a b
sin .cos cos .sin sin    u u
sin( ) sin   u
D

ế phương trình (2) cho
2
cos u
. Ta đư
ợc phương trình mới dạng:
2
tan tan 0  a u b u c
.
*Chú ý: N
ếu ph
ương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo
sinu và cosu thì ta
c
ũng giải bẳng phương pháp trên.
D
ẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
– PH
ẢN XỨNG
D
ạng
t
ổng quát:
 
sin cos sin cos 0   a u u b u u c
(3)
Cách giải:
Đ
ặt
t =sin cos 2 sin( ) (*)
4

   
 u u u u
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
 
   
     
   
   
 u u u u
 
2
1 sin2 sin cos   x x x
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
8
E. CÔNG TH
ỨC
Đ
ẠO HÀM
.
1. Quy t
ắc cơ bản.
 
 c ’ 0
 
'
' '  u v u v
 

n n
u n u u
2
1 1
( )'  
x x
2
1 ( )'
( )'  
u
u u
1
( )'
2
x
x
'
( )'
2

u
u
u
 
'
sin cosx x
   
' '
sin cos .u u u
 

'
(cot )' (1 cot ). '
sin
    
u
u u u
u
( )' 
x x
e e
( )' . '
u u
e e u
( )' .ln
x x
a a a
( )' .ln . '
u u
a a a u
1
(ln )' x
x
'
(ln )' 
u
u
u
1
(log )'
.ln

2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
'
( )
 
 
  
   
a b a c b c
x x
a b a c b c
a x b x c
y y
a x b x c a x b x c
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
9
F. CÔNG TH
ỨC MŨ
– LOGARIT.
STT
CÔNG TH
ỨC MŨ
1.
thua so


 
m
n
m
n
m
n
a
a
a
7.
.


m n m n
a a a
8.


m
m n
n
a
a
a
9.
.
( ) ( ) 
m n n m m n

a
a M
4
log

a
N
a N
5
1 2 1 2
log ( . ) log log 
a a a
N N N N
6
1
1 2
2
log ( ) log log 
a a a
N
N N
N
7
log .log


a a
N N
8
2




a
a
N N
13
log c log a
b b
a = c
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
10
G.CÔNG TH
ỨC NGUYÊN HÀM
.
Nguyên hàm c
ủa những hàm số thường
g
ặp
Nguyên hàm c
ủa những
hàm s
ố thường
g
ặp
1.
 


  

dx C
x x
6.
 
1
1 1
1

  


n n
dx C
x n x
7.
 

x x
e dx e C
8.
 
0 1
ln
   

x
x
a

13.
1
1 1 1
1

   


n n
dx c
x n x
14.
1
2
 

dx x c
x
15.

1
f(ax + b)dx = F(ax + b) +C
a
16.
 
 
 
1
1
1

   
1
cos sin   

ax b dx ax b C
a
20.
   
1
sin cos    

ax b dx ax b C
a
21.
 
 
2
1 1
tan
cos
  


dx ax b C
ax b a
22.
 
 
2
1 1

;
 
; ;
B B B
B x y z
.
1.
 
'; '; '    
 
u v x x y y z z
2.
 
. ; ;

k u kx ky kz
3. Điều kiện bằng nhau của hai vectơ:
'
'
'
 



  




x x

7. Độ dài của một vectơ :
2 2 2
  

u x y z
8. Vectơ tạo bởi 2 điểm A, B:
 
; ;   

B A B A B A
AB x x y y z z
9. Độ dài đoạn thẳng AB:
     
2 2 2
      

B A B A B A
AB AB x x y y z z
10. Góc giữa hai vectơ :
2 2 2 2 2 2
. ' ' '
cos
.
. ' ' '

 
 
   
 
 

M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
12
13. G là trọng tâm tam giác ABC 
1
( )
3
1
( )
3
1
( )
3

  






   


G A B C D
G A B C D
G A B C D
x x x x x
y y y y y
z z z z z
15. Tích CÓ HƯỚNG của hai vectơ:
 
, ; ;
' ' ' ' ' '
 

 
 
 
y z z x x y
u v
y z z x x y
16. Tính chất quan trọng :
 
, 
  
u v u
và
 

 
  
20. Chiều cao AH của tứ diện ABCD:
ABCD
3.V


BCD
AH
S
21. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ :
V [AB,AD ].AA’
  
22. Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác 
,
 
AB AC
không cùng phương
23. Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng  ABCD là tứ diện 
, . 0
 

 
  
AB AC AD
24. Đi
ều kiện để ABCD l
à hình bình hành
 
 

 

 
 
  
 
a b MN
d d d
a b
28. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
.
sin
.
 
 
 
n a
n a
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
13
I. PHƯƠNG PHÁP T
ỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY
.
 Di
ện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy:
   
1 2 1 2 1 2 2 1
1

 
; 

a B A
)
- Phương tr
ình tham số:
 
0 1
0 2
 



 


x x a t
t
y y a t
( Vec tơ chỉ phương
 
1 2
;

a a a
và đi qua điểm
 
0 0
,M x y

1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
| . | | |
cos( , ) cos( , )
.
| || |
 
 
 

    
 
n n a a b b
n n
a a b b
n n
c. Kho
ảng cách
t
ừ một điểm
 
;
M M
M x y
đ
ến một đường thẳng
:

ình dạng:
2 2
2 2 0    x y ax by c
v
ới điều kiện
2 2
0  a b c
là phương tr
ình
đư
ờng tròn (C) có tâm
 
;I a b
và bán kính
2 2
  R a b c
.
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
14
3. Elip.
- Phương tr
ình chính tắc của Elip (E):
2 2
2 2
1 
x y
a b
 

- Đi
ều kiện tiếp xúc của (E) và
: 0   Ax By C
là:
2 2 2 2 2
 A a B b C
4. Hypebol.
- Phương tr
ình chính t
ắc:
2 2
2 2
1 
x y
a b
,
2 2 2
 c a b
- Tiêu đi
ểm
   
1 2
;0 , ;0F c F c
- Đ
ỉnh
trên tr
ục thực
   
1 2
;0 , ;0A a A a

A
2
A
1
O
M
y=
b
a
x
y=-
b
a
x
B
1
B
2
A
2
F
2
A
1
F
1
O
y
x
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

2 AC B p
B
2
F
2
y
x
O
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
16
J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
I . CÁC HÌNH CƠ BẢN
1/ Hình chóp
a/ Hình chóp thường:
b/ Hình chóp đều :
* Hình chóp tam giác đều (Tứ diện đều)
* Hình chóp tứ giác đều
A
Hình chóp tam giác S.ABC
(Tứ diện S.ABC)
Hình chóp tứ giác S.ABCD
C
C
I
*Tính chất:
-Đáy là tam giác đều
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

đường chéo)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích hình vuông : S=Cạnh
2
-Đường chéo hình vuông: = cạnh
2
S
A
B
C
S
B
D
S
A
B
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
17
2/ Hình lăng trụ
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), ta làm như sau:
*CÁCH 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với HAI đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(α)
( )
, ( )






d
d
c
d c
*CÁCH 3: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng
cũng sẽ vuông góc với mp đó’’.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
 
  
 



  


 

c
c
2/ Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một
mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
( )

 



d
d
III. CÁC VẤN ĐỀ VỀ GÓC
1/ Góc giữa hai đường thẳng
Đònh nghóa: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ nào
đó cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b.


( , ) ( ', ')a b a b
2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( )
là góc giữa chính đường thẳng a và hình
chiếu của nó lên mặt phẳng
( )
b) Phương pháp th
ực hiện.
3/ Góc giữa 2 mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với GIAO
TUYẾN của hai mặt phẳng đó.
b) Phương pháp.
b
b’
a
*PP: Gọi


ạn: Trương Hồi Trung
19
IV. CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mp
Để xác đònh khoảng cách từ điểm A đến mp
( )
,ta tìm một đt thỏa:
:
( ) tại



 

Qua A
a
H
Khi đó : AH là khoảng cách cần tìm
*Lưu ý:
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đt đến
mp
( ) ( ,( )) ,   AB d AB IH I AB
3. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp kia
( ) ( ) (( ),( )) ( ,( )), ( )        d d A A
( ,( )), ( )  d B B
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nhắc lại: Đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau a, b là đt cắt a, b và đồng thời vuông góc với
2 đt đó.
*TH1: a, b chéo nhau và
a b

( , ) d a b AB
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
20
*TH2: a, b chéo nhau đồng thời có mp
( )
chứa b và song song với a
*TH3: Trường hợp tổng quát
PP
- Dựng mp
( )
vuông góc với a tại O. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên
( )
- Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’. Từ H dựng đt song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đt song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
d(a,b) = AB = OH
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ:
S
hình vuông
= cạnh
2
Di
ện tích hì
nh ch
ữ nhật = dài . rộng
Đường chéo hình vuông = cạnh .
2
S


cao
Di
ện tích tam giác
đ
ều
=
2
3
4
canh
Thể tích khối cầu V=
3
4
3
R
PP:
-B1: Lấy
M a
,kẻ
( )MH 
tại H
-B2: Từ H dựng
'a a
, cắt b tại B
-B3: Từ B dựng đt

MH cắt a tại A

AB là đoạn vuông góc chung

3
R h
Tam giác ABC vng t
ại A:
2 2 2
1 1 1
 
AH AB AC
Thể tích khối trụ V= S
đáy

cao =
2
R h
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
22
K. S
Ố PHỨC
1. Đ
ịnh nghĩa số phức v
à các khái niệm liên quan
Đ
ịnh nghĩa :
S
ố phức l
à một biểu thức có dạng
a bi
; trong đó

z
g
ọi l
à số thực kh
i
0a

z
g
ọi l
à số thuần ảo khi
0b
Các khái ni
ệm li
ên quan :
Cho s
ố phức
 z a bi
. Khi đó :
 M
ỗi s
ố phức
 z a bi
đư
ợc biểu diễn bởi
m
ột
đi
ểm
 

 z a bi
và
  
 z a b i
. Khi đó:
2. Các phép toán trên t
ập hợp số phức
Phép c
ộng, trừ, nhân hai số phức :
       
       
       
      
      
     
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
Chú ý :
 Các phép toán : c
ộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện nh
ư rút gọ
n bi
ểu thức đại số thông th
ường
v
ới chú ý rằng
2
1 i
.

3. Phương tr
ình bậc hai
Căn b
ậc hai của số thực âm :
Cho a là s
ố
th
ực âm
. Khi đó a có hai căn b
ậc hai
là :
i a
và
i a
.




 




a a
z z
b b
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung

ương tr
ình có một nghiệm kép thực
1 2
2

 
b
z z
a
.
 N
ếu
0 
thì

có hai căn b
ậc hai l
à
i
và
 i
. Khi đó phương tr
ình có hai nghi
ệm phức
phân bi
ệt l
à
1
2
  







r a b
a
r
b
r
+

là một acgumen của z.
+
( , )  Ox OM
4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
sin ) , ' '(cos ' sin ')     i z r i
thì :
a)
. ' . '[cos( ') sin( ')      z z r r i
]
b)
[cos( ') sin( ')]
' '
      
z r
i
z r