HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

1 1. KHÁI NIỆM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Dao ñộng là chuyển ñộng có giới hạn trong không gian lặp ñi lặp lại quanh một vị trí cân bằng.
Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng có trạng thái lặp lại như cũ sau khoảng thời gian bằng nhau.
Dao ñộng ñiều hòa là dao ñộng trong ñó li ñộ của vật là một hàm cosin( hay sin) của thời gian.
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Là nghiệm của phương trình vi phân:
2
'' . 0
x x
ω
+ =

Có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +


là những hằng số dương;
ϕ
phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa ñộ.
3. PHƯƠNG TRÌNH GIA TỐC, VẬN TỐC.
a. Phuơng trình vận tốc
(
)
/
v cm s' .sin( )( / )
v x A t cm s
ω ω ϕ
= = − +
=
os( )( / )
2
A c t cm s
π
ω ω ϕ
+ +ax
min
.
.
m
v A

= = − + = −

=
2
os( )( / )
A c t cm s
ω ω ϕ π
+ +2
ax
2
min
.
.
m
a A
a A
ω
ω

=


= −


( Gia tốc cực ñại tại biên âm, cưc tiểu tại biên dương)
Nhận xét: Trong dao ñộng ñiều hoà gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc

+
2
2
cos( ) os ( ) (1)
x
x A t c t
A
ω ϕ ω ϕ
 
= + ⇒ + =
 
 

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ
******
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

2

+
2
2
. sin( ) sin ( ) (2)
v
v A t t
A
ω ω ϕ ω ϕ

2
2 2
2
2 2
2
2
ax
( )
1
.
1( )
m
v
A x I
x v
A A
x v
II
A v
ω
ω

= +


   
+ = ⇒

   
 

v a
ω ω
ω ω

= +


   
+ = ⇒

   
   
   

+ =
   

   


6. TỔNG KẾT
a. Mô hình dao ñộng A

CB
1
A
+


minNhận xét:
+ Một chu kỳ dao ñộng vật ñi ñược quãng ñuờng là
4
S A
=

+ Chiều dài quĩ ñạo chuyển ñộng của vật là
2
L A
=

+ Vận tốc ñổi chiều tại vị trí biên, ñạt cực ñại tại CB theo chiều dương, cực tiểu tại CB theo chiều âm
+ Gia tốc ñổi và luôn hướng về vị trí cân bằng. Gia tốc cực ñại tại vị trí biên âm, cực tiểu tại vị trí biên dương,
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

3

I. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
Bước 1: Phương trình dao ñộng có dạng
cos( )( )
x A t cm

2
ax ax ax
2 2
ax
2
2
m m m
m
a v a
v
f
T A A v A x
π
ω π
= = = = = =
−

+ Tìm
ϕ
:Vòng luợng giác (VLG)

- A A
v < 0
v > 0
ϕ = 0
- A
A

ϕ = - π
ππ
π/3 rad

- A
A
- A/2 (+)
ϕ = - 2π/3

- A/2 (+) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = - 2π
ππ
π/3 rad - A
A
A 3 /2 (+)

ϕ
= -
π
/6

A. 3 /2 ( +) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ

ωω
ω

Đồ thị của gia tốc thời gian
ñồ thị a - t
a
x
A
-A

A .
ω
ωω
ω
2
- A .
ω
ωω
ω
2
x
v
A. ω
- A.

ω
2

A

ω
ωω
ω
2

A

a

BÀI 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

4 1. MỐI LIỆN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
(

)
0
t s
=
x
A

ω

.
t
ω

(
)
t s

ϕTại
(
)
t s
ta có:
( )
os
x
c t
A

Trong ñó:
-
ω
: Là tần số góc
-
T
: Chu kỳ
-
f
: Là tần số dao ñộng
-
ϕ
: là góc tính theo rad;
o
ϕ
là góc tính theo ñộ (
)
1
t s

M

A

ω

.

; .
t
ϕ ϕ ω
∆ ∆ = ∆

Bước 2: Xoay thêm góc
ϕ
∆
kể từ vị trí
(
)
0
t s
=

Bước 3: Tính quãng ñường bằng cách lấy hình chiếu trên trục cos.

(
)
1
t s
M
A
ω

.
t
ϕ ω
∆ = ∆


Bước 2:
3 2 1 3
. .
t
t nT t t t n T t
T
∆
⇒
∆ = +
⇒
= + +

Bước 3: Tìm quãng ñường.
3
.4
S n A S
= +

Bước 4: Tìm
3
S
;
3
S
là quãng ñường ứng với thời gian
3
t
kể từ
1
t

−
.
Dạng 1: Bài toán xác ñịnh
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
2
T
t t
 
∆ ∆ <
 
 A - A
S

max

A. Tìm S

max
:
ax

 
= −
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
= ∆ Dạng 2: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
2
T
T t
 
> ∆ >
 
 


= +
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
∆ = ∆
A - A
S

min
B. Tìm
min
S

min
2
4 2.Asin
2
S A
π ϕ


3
4
T

5
6
T

T

ax
m
S

A

2
A

3
A

2
A

2
A A
+


A A−

3
A

4
ADạng 3: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
(
)
t T
∆ >

+)
ax
m
S
:
*
.
ỨNG DỤNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH - VẬN TỐC TRUNG BÌNH
DẠNG 1: TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH.
A. Tổng quát.

S
v
t
=
∆
Trong ñó: S là quãng ñường ñi ñược,
t
∆
là khoảng thời gian ñể ñi quãng ñường S
B. Bài toán tính tốc ñộ trung bình cực ñại của vật trong khoảng thời gian
t
∆
.

ax
ax
m
m
S
v
t
=
∆

t
∆
là ñộ biến thiên thời gian:
2 1
t t t
∆ = −

ỨNG DỤNG 4: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT QUA VỊ TRÍ M CHO TRƯỚC.
BÀI 5: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 3
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

7

Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
4cos 6
3
x t cm
π
π
 
= +
 
 
.

π π
⇒
= − +

1
0
9 3
k
t
= − + ≥
vậy
(
)
1;2;3
k =
( vì
0( )
t s
≥
)

-
4
4 2 (+)

ϕ
= -
π
/3


2 3
x cm
=
theo chiều âm:

6 .2
3 6
t k
π π
π π
⇒
+ = +
6 .2
6
t k
π
π π
⇒
= − +

1
36 3
k
t
⇒
= − +
Vì
(
)
2

=
( )
1 9
2,79
36 3
t s
⇒ = − + =

ỨNG DỤNG 5: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA VỊ TRÍ
M
X
CHO TRƯỚC TRONG KHOẢNG
THỜI GIAN “t”
Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
6cos 4
3
x t cm
π
π
 
= +
 
 
. Trong một giây ñầu tiên vật qua vị trí
cân bằng bao nhiêu lần:
Hướng dẫn:
Cách 1: Đếm trên ñường tròn lượng giác
Mỗi dao ñộng vật qua vị trí cân bằng 2 lần ( 1 lần theo chiều âm - 1 lần
theo chiều dương)


4 .
3 2
t k
π π
π π
⇒ + = +

4 .
6
t k
π
π π
⇒ = +

⇒
1
24 4
k
t
= +

Trong một giây ñầu tiên
(
)
(
)
0 1
t s
≤ ≤

++ Gồm một lò xo có ñộ cứng K
+Vật nặng khối lượng
2. THÍ NGHIỆM CON LẮC LÒ XO TRÊN MẶT PHẲNG NGANG.
- Thí nghiệm ñược thực hiện trong ñiều kiện chuẩn, không ma sát với môi trường.
- Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng A và thả không vận tốc ñầu, ta có:
Phương trình dao ñộng có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:

x
: Li ñộ, li ñộ là khoảng cách từ vật ñến vị trí cân bằng

A
: Biên ñộ ( li ñộ cực ñại)

ω
: vận tốc góc( rad/s)

t
ω ϕ
+
: Pha dao ñộng ( rad/s )


N m
; m là khối lượng của vật
(
)
kg

B. Chu kỳ -
(
)
T s
: Là thời gian ñể con lắc thực hiện một dao ñộng

( )
2
2
π
π
ω
= = =
m t
T s
K N

C. Tần số -
(
)
f Hz
: Là số dao ñộng con lắc thực hiện ñược trong 1s
⇒
⇒⇒

A
−

A

PD H
FTại vị trí cân bằng:
dh
P F
=

2
.
mg K
K g
m
K g
m
ω
ω
⇒ = ∆
⇒ = =
∆
⇒ = =

Bài 1: Lò xo K gắn vật nặng có khối lượng là
1
m
thì dao ñộng với chu kỳ
1
T
. Còn khi gắn vật khối lượng
2
m
thì dao
ñộng với chu kỳ
2
T
.
a. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
m m m
= +

b. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m

1 2
1 2
4 4 4
π π π
+
⇒ = = + = +
m m
m m
T T T
K K K

⇒
2 2
1 2
T T T
= +

b. Khi
1 2

n
m m m m
= + + +
1 2

2
n
m m m
T
K

T T T T
= + + +

c.Khi
1 2
. .
m a m b m
= +
1 2
2
am bm
T
K
π
+
⇒ =

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 2

. .
4 4 4 . .
π π π
+ + +
⇒ = = + = +
n


b. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m
= +

H
ướng dẫn:
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

10
Ta có:
1 2
1 2
1 1
. ; .
2 2
K K
f f
m m

m m f K f K K f f

⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f
=
+

b.Khi
1 2

n
m m m m
= + + +

2
2 2 2
1 2
1 2
1 2

1 1 1
. 2. 4 . 4 4
2
π π π π
π

   
 
n
n
T T T
f f f f

d. Khi
1 2
. .
m a m b m
= +

2
2 2
1 2 1 2
1 2
. .
1 1 1
. 2. 4 . 4
2 . .
π π π
π
 
+
⇒ = ⇒ = ⇒ = +
 
+
 
am bm a m b m

và ñộ dài
o
ℓ
, cắt lò xo làm n ñoạn.
Ta có công thức tổng quát sau:
1 1 2 2
. . . . .
o o n n
K K K K E S
= = = = =
ℓ ℓ ℓ ℓ+ Trường hợp cắt làm hai ñoạn:
1 1 2 2
. . .
o o
K K K= =
ℓ ℓ ℓ

1 2
2 1
K
K
⇒ =
ℓ
ℓ

Nhận xét: Lò xo có ñộ dài tăng bao nhiêu lần thì ñộ cứng giảm ñi bấy
nhiêu lần và ngược lại.


2. GHÉP LÒ XO
a. Trường hợp ghép nối tiếp:
K

1

K

2

m

K

1

K

2



Công thức xác ñịnh chu kỳ:
(
)
T s( )
( )
1 2
1 2
2 2
.
b
m K K
m
T s
K K K
π π
+
= =

Công thức xác ñịnh tần số:
(
)
f Hz

( )
( )
1 2


2 K

1

K

2
Công thức xác ñịnh ñộ cứng của bộ lò xo:
1 2

b n
K K K K
= + + +

Nếu có 2 lò xo ghép song song:
1 2
b

Bài toán 1: Một vật khối lượng m, nếu ñược gắn vào lò xo 1 có ñộ cứng
1
K
thì chu kỳ dao ñộng là
1
T
. Nếu ñược
gắn lò xo 2 có ñộ cứng là
2
K
thì chu kỳ dao ñộng là
2
T
.
a. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
b. Nếu 2 lò xo mắc song song, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
2 ; 2
m m
T T
K K
π π
= =

a. Khi hai lò xo mắc nối tiếp

( ) ( )

2
2
K K
m
T
K K T m
m
K K
π
π
π
+
= ⇒ = =
+
+

2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1 1 1 1 1
. .
4 4
K K
T m m T T T
π π
   
   
⇒ = + ⇒ = + ⇒

.
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

12
c. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
d. Nếu 2 lò xo mắc song song, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
1 1
;
2 2
K K
f f
m m
π π
= =

c. Khi hai lò xo m
ắc nối tiếp

( )
1 2

2 2
2
1 2
1 1 1
f f f
   
 
⇒ = +
   
 
 
   
⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f
=
+

d. Khi hai lò xo mắc song song

( )
1 2
1
2
K K
f

+

A

A
−
CB
0
ℓ
Trường hợp 1
A
< ∆
ℓ

∆
ℓ

Trường hợp 2
A
≥ ∆
ℓ

CB
0
ℓ
∆
ℓ

x
= + ∆ +
ℓ ℓ ℓ

BÀI 8: CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI -PHỤC HỒI
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

13
+ A là biên ñộ của con lắc khi dao ñộng.
max
min
o
o
A
A
= + ∆ +

⇒

= + ∆ −

ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓB.Lực ñàn hồi:
(
)

)
(
)
maxdh
F K A N
= ∆ +
ℓ(
)
(
)
( )
min
0
( )
dh
N Khi A
F
K A Khi A

∆ ≤

=

∆ − ∆ >


ℓ


Nhận xét: Trường hợp lò xo treo thẳng ñứng lực ñàn hồi và lực phục hồi khác nhau.

*** Đặc biệt khi
A
> ∆
ℓ
ta có:
+
(
)
(
)
é
n n
F K x N
= − ∆ℓ
Trong ñó:
x
> ∆
ℓ⇒

(
)
(
)
én axn m

n
t
ϕ
ω
=+
ãn én
ã én
2
d n
d n n
t T t
ϕ π ϕ
ω ω
−
= = = −A

∆
ℓ

N
ϕ

D
ϕ

4
2 2 3 2
3
n
n
d
H c A
A
π
ϕ
ϕ π
α α
π
ϕ

=

∆

= ⇒ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ∆


=


ℓ
ℓ

Nếu
én


ℓ
ℓ

2. XÉT CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG.

A. Về chiều dài

A
CB

A
−
K

m

+ +Vì
0
∆ =
ℓ

0
ax 0
min
m
o

⇒
=
 

Lò xo trên m
ặt phẳng nằm ngang (không ma sát) lực ñàn hồi là lực phục hồi:
(
)
.
dh ph
F F ma k x N
= = = −

Về ñộ lớn:
(
)
.
dh ph
F F ma k x N
= = = −

⇒
(
)
( )
max
min
.
0
dh

: Động năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .
2
d
m v J
=

W
t
: Thế năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .
2
t
K x J
=

Trong ñó: m là khối lượng
(
)
kg
;
v
là vận tốc
(


+
Mô hình CLLX
+)
( )
( )
( )( )
2
2 2 2 2
1 1 1
W . Asin . . sin
2 2 2
d
m v m t m A t J
ω ω ϕ ω ω ϕ
= = − + = +

( )
2 2 2
ax
1 1
W . . .
2 2
dm o
m A mV J
ω
⇒

=

⇒

W W W
d t
= +
=
( )( )
2 2 2
1
. . sin
2
m A t J
ω ω ϕ
+
+
( )( )
2 2
1
os
2
KA c t J
ω ϕ
+

( )
2 2 2
ax
1 1

1
.
2
K x2 2 2
ax
1 1
=W . . .
2 2
d m o
m A mV
ω
= =2
max
1
=W .
2
t
K A
=

W

+)
( )( )
2 2
1
W os
2
t
KA c t J
ω ϕ
= +
=
(
)
( )( )
2 2 2
1 os 2 2
1 1 1
. . . os 2 2
2 2 4 4
c t
K A K A K A c t J
ω ϕ
ω ϕ
 
+ +
= + +
 
 

( )( )

= + =
 
 
= − +

( )( )
W W
W os 2 2
2 2
d
c t J
ω ϕ π
= + + +

+) Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn cùng biên ñộ là
W
2
 
 
 
; cùng t
ần số góc
(
)
2
d t
ω ω ω
= =
, nhưng ngược
pha dao ñộng với nhau.

T
t
=

Một số chú ý trong giải nhanh bài toán năng lượng:
+) Vị trí có
W .W
1
d t
A
n x
n
=
⇒
= ±
+

+) Vị trí có
2
ax
2
.
W .W 1
.
m
d t
a A A
n n
a x x
ω

=

1
W W
3
d t
=

ax
W
dm

max
W
t

2
A
x
= ±

2
A
x = ±

3
2
A
x = ±


0
v
=HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

17
1. CẤU TẠO CON LẮC ĐƠN
Gồm sợi dây nhỏ, nhẹ, không dãn, ñầu trên ñược treo cố ñịnh ñầu dưới ñược gắn với vật nặng có khối lượng m.
2. THÍ NGHIỆM
Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α

o
rồi buông tay không vận tốc ñầu trong môi trường không có ma sát ( mọi lực
cản không ñáng kể) thì con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa với biên ñộ góc
(
)
0 0
10
o
α α
≤
;
o
S
là biên ñộ dài
( ; )
cm m

Hoặc ta có thể viết phương trình dao ñộng theo góc như sau:
(
)
(
)
0
os
c t rad
α α ω ϕ
= +

Trong ñó:
α
: là li ñộ góc
0
( ;0 )
rad
;
0
α
là biên ñộ góc
(
)

(
)
2
/
a cm s(
)
2 2 2
' . . os( ) . . os( ) /
o o
a v S c t S c t cm s
ω ω ϕ ω ω ϕ π
= = − + = + +

2 2
ax min
. ; .
m o o
a S a S
ω ω
⇒
= = −

5. CHU KỲ - TẦN SỐ.
A. Tần số góc:
(
)
/

f Hz
: là số dao ñộng vật thực hiện ñược trong 1
(
)
s
( )
1
2 2
g N
f Hz
t
ω
π π
= = =
ℓ6. CÔNG TH
ỨC ĐỘC LẬP THỜI GIAN.
Xây dựng tương tự như bài số 1( Đại cương về dao ñộng ) ta có:
BÀI 10: CON LẮC ĐƠN
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

18
( )
2
2 2
o

s v
III
S V
   
+ =
   
   

2 2
ax ax
1
m m
v a
v a
   
+ =
   
   Từ công thức (I) ta có thể suy ñược:
( )
2
2 2
0
2 2
.
v
V
α α
W
t
: Thế năng của con lắc
(
)
J

( )
2
1
W .
2
d
m v J
=

Trong ñó:
(
)
m kg
là khối lượng của vật

(
)
/
v m s
là vận tốc của vật
( )


(
)
m
ℓ
là chi
ều dài dây treo của con lắc

(
)
;0
o
rad
α
là li ñộ góc
(
)
max 0
W 1 os
t
mg c
α
⇒
= −
ℓMô hình CL
Đ


(
)
max 0
= W 1 os
t
mg c
α
= −
ℓ
= (const) WW
0
=
1
/
2

KA
2

W
0
/
2


=
2
f
.

Tần số góc ñộng năng
d
ω
= tần số góc của thế năng
t
ω
=
2
ω
.

BÀI 11: NĂNG LƯỢNG CON LẮC ĐƠN
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

19
Khoảng thời gian ñể ñộng và thế năng bằng nhau hai lần liên tiếp là
4
T
t
∆ =

2. VẬN TỐC - LỰC CĂNG DÂY
A. Vận tốc dao ñộng của vật

0
2 os os
v g c c
α α
⇔ = −
ℓ
⇒
(
)
0
2 os osv g c c
α α
= −ℓ
( )
( )
ax 0
min 0
2 1 os
2 1 os
m o
V V g c
V g c
α
α

= = −

⇒

= − −

T mg Bi n
α
α

= −

⇒

=



3. KHI CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
( Nếu con lắc ñơn dao ñộng với biên ñộ góc
0
10
o
α
≤
, ta coi con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa). Với
α
≪
(rad) ta có:
sin
α α
=

2
2
os 1 2sin 1

10 ;9 ;6 ;5
18 20 30 36
0,1 ;0,15 ;0,05
o
rad rad rad
π π π π
= = = =

(
)
(
)
W 1 os
t
mgz mg c J
α
= = −
ℓ(
)
(
)
ax
W 1 os
tm o
mg c J
α
= −

ℓ
ℓ

(
)
0
2 os osv g c c
α α
= −
ℓ

(
)
ax 0
2 1 os
m o
V V g c
α
= = −
ℓ

(
)
2 2
0
v gl
α α
= −

ax 0

)
0
3cos 2cos
T mg N
α α
= −(
)
(
)
max 0
3 2cos
T mg VTCB
α
= −
(
)
min 0
cos
T mg
α
=

2 2
0

 
 
( Biên)

Một số chú ý về con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa:
+ Khi
W .W
d t
n
= ⇒
1
o
n
α
α
= +
+

HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

20
+ Khi
W .W
d t
n
= ⇒
1
o

π
ω
= =
ℓ

⇒
Hai nguyên nhân dẫn ñến thay ñổi chu kỳ con lắc ñơn ñó là: thay ñổi
g
hoặc
ℓ
.
1. THAY ĐỔI CHIỀU DÀI DÂY
(
)
ℓ

Ban ñầu:
2T
g
π
=
ℓ

Sau khi thay ñổi chiều dài dây thành
'
ℓ
thì chu kỳ là
'
T
;


Trong ñó:
10
6,67.10
G
−
=
;
(
)
6400
R km
=
là bán kính trái ñất; h là ñộ cao (km)

B. Con lắc trong thang máy:
→

F

qt
→

v


TM
Lên nhanh dần
TM
Xuống chậm dầnKhi thang máy lên nhanh dần, xuống chậm dần:
hd
g g a
= +
2 2
hd
T
g g a
π π
⇒ = =
+
ℓ ℓTM

Xuống nhanh dần

→


F

qt
→

v →

a
Khi thang máy xuống nhanh dần, lên chậm dần:
hd
g g a
= −2 2
hd
T
g g a
π π
⇒ = =
−


→

a →

v

α Xe ô tô chuyển ñộng chậm dần với gia tốc a

→

F

→

P →

F

hd
T
g
g a
π π
⇒ = =
+
ℓ ℓ

tan
qt
F
a
P g
α
⇒ = =

D. Con lắc ñặt trong ñiện trường ñều:
(+) Vật mang ñiện dương - ñặt trong ñiện trường hướng từ trên xuống
hoặc (vật mang ñiện âm - ñiện trường ñặt từ dưới hướng lên): →

E

→

P


.
hd
q E
g g
m
= +
( )
2 2
hd
T s
q E
g
g
m
π π
⇒
= =
+
ℓ ℓ

(+) Vật mang ñiện dương - ñiện trường hướng từ dưới lên
hoặc vật mang ñiện âm - ñiện trường hướng từ trên xuống →

E

→


Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

22

.
hd
q E
g g
m
= −
( )
2 2
hd
T s
q E
g
g
m
π π
⇒
= =
−
ℓ ℓ

(+) Điện trường ñều theo phương nằm ngang:
→


→

P →

F

d
→

E α 2
2
hd
qE
g g

ℓ ℓ

E. Con lắc ñơn chịu tác dụng của lực ñẩy Ac-xi-met.

Lực ñẩy Ac-xi-met:
A
F gV
ρ
=

Trong ñó:
ρ
: là khối lượng riêng của môi trường
(
)
3
/
kg m
; V là thể tích chìm trong môi trường
(
)
3
/
m shd
gV
g g a g g gD
m

Cho hai dao ñộng ñiều hòa sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
. os ; os
x A c t cm x A c t cm
ω ϕ ω ϕ
= + = +

Gọi
ϕ
∆
là ñộ lệch pha của hai dao ñộng:
(
)
(
)
1 2 2 1
t t
ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ
⇒
+ − + = −

Nếu:

∆ = +
⇒ hai dao ñộng vuông pha ϕ

2
ϕ

1
∆
ϕ

A

1
A


x A c t cm
x A c t cm
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +
= +

Phương trình tổng hợp có dạng:
1 2 n
tong hop dao dong
x x x x
= + + +


Máy tính 570 MS

[
]
[
]
2
Mode →

[
]
[
]
(

[ ]
[ ]
( )
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
( )( )
n n
A SHIFT
A SHIFT
ϕ
ϕ
→ + → → → − → → →
 
 
→
→ + → → → − → → →
 
 

Để lấy biên ñộ A ta nhấn :
[
]
[
]
[

( )( )
( ) ( )
1
2 2 2
?
os

os
ω ϕ
ω ϕ
=
= +
= +
n n n
x
x A c t cm
x A c t cm

Hãy xác ñịnh phương trình thành phần
1
x
?
Phương trình thành phần
1
x
có dạng:
1 2 n
x x x x
= − − −


[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
ϕ
ϕ
 
→ − → → → − → → →
 
→
 
→ − → → → − → → →
 
2 2
( )

24
Tương tự máy tính 570 MS, nhưng khi lấy kết quả ta làm như sau:
[
]
[
]
[
]
[
]
2 3SHIFT
→ → → =

3. TỔNG HỢP 2 DAO ĐỘNG CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ.
Bài toán:Giả sử một vật thực hiện ñồng thời 2 dao ñộng
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
. os ; os
x A c t cm x A c t cm
ω ϕ ω ϕ
= + = +
. Xác

+
=
+

Trường hợp ñặc biệt:
.2
k
ϕ π
∆ =
(
)
π π
⇒ = +
ax 1 2
; 0;2 ;4
m
A A A

(
)
2 1 .
k
ϕ π
∆ = +
(
)
π π π
⇒ = −
min 1 2
; ;3 ;5

ϕ

1 A

X1 A

X2 A

X
A

Y2
A

Y1

dần theo thời gian, nguyên nhân của sự tắt dần là do ma
sát với môi trường.
+ Ma sát càng lớn thì tắt dần càng nhanh.
+ Môi trường càng nhớt tắt dần càng nhanh. ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG TẮT DẦN
t
A 5.Dao ñộng duy trì: là dao ñộng có biên ñộ không ñổi theo thời gian trong ñó sự cung cấp thêm năng lượng
ñể bù lại sự tiêu hao do ma sát mà không làm thay ñổi chu kỳ riêng của nó thì dao ñộng kéo dài mãi mãi và gọi là dao
ñộng duy trì.
6. Dao ñộng cưỡng bức: là dao ñộng chịu sự tác dụng của
ngoại lực biến ñổi ñiều hòa
(
)
(
)
0
os
F F c t N
ϕ
= Ω +

- Dao ñộng cưỡng bức là ñiều hòa có dạng hàm cos(t).
- Tần số của dao ñộng cưỡng bức bằng tần số góc Ω của ngoại lực
- Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức của ngoại lực tỉ lệ thuận với
+ Biên ñộ F

Cộng hưởng

(
)
1
A cm
(
)
2
A cm
Ma sát nhỏ
Ma sát lớn 7. Phân biệt dao ñộng duy trì và dao ñộng cưỡng bức:
Dao ñộng cưỡng bức Dao ñộng duy trì
Dao ñộng cưỡng bức là dao ñộng xảy ra dưới tác
dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc
Ω
bất
kỳ. sau giai ñoạn chuyển tiếp thì dao ñộng cưỡng
bức có tần số góc của ngoại lực.
Dao ñộng duy trì cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực,
nhưng ở ñây ngoại lực ñược ñiều khiển có tần số góc
ω

bằng tần số góc
0
ω
của dao ñộng tự do của hệ

T
là chu kỳ riêng của con lắc.
Bài toán: Viết phương trình dao ñộng cưỡng bức.
Một con lắc có khối lượng m chịu tác dụng của ngoại lực có phương trình
(
)
(
)
0
os
F F c t N
ω ϕ
= +
.
Phương trình dao ñộng sẽ có dạng:
(
)
(
)
0
os
x A c t m
ω ϕ
= +
Trong ñó:
2 2
0 ax
. . .
m
F m a m A