Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
H??NG D?N GI?I PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC C? B?N VÀ Đ?N GI?N
I. PH??NG TRÌNH B?C NH?T Đ?I V?I SINX VÀ COSX
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

d.

Gi?i
a. b.

. Đi?u ki?n :

Khi đó :
c.

d.

Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

Gi?i
a.
b.

Ta có :

Trang 1
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012

Cho nên (1) :
Và :

T? công th?c nhân ba :

cho nên ph??ng trình (c) vi?t l?i :d. II. PH??NG TRÌNH : B?C NH?T - B?C HAI
Đ?I V?I M?T HÀM S? L??NG GIÁC
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

d.

Gi?i
a.

. Đi?u ki?n :

(*)
Ph??ng trình (a) tr? thành :Cho nên (a)


- Do :

. Cho nên ph??ng trình

vô nghi?m .
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau
a.

b.

c.

d.

Gi?i
a.
b.

. Đi?u ki?n : cosx khác không .
Khi đó ph??ng trình tr? thành :

c.

. Đi?u ki?n : Các h? nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n .
b.

. Đi?u ki?n :

(*)
Khi đó : Nh?ng do đi?u ki?n (*) Ta ch? có nghi?m :

, th?a mãn .Đó c?ng là nghi?m
c.

d.

.

Do đó Ph??ng trình có nghi?m :

Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.



Khi đó :
. Nh?ng nghi?m :

vi ph?m đi?u ki?n .
V?y ph??ng trình có nghi?m :

d. Cho :

. Hãy gi?i ph??ng trình : f'(x)=0.
Ta có : - Tr??ng h?p : cosx=0

- Tr??ng h?p :

Bài 5. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.


. Khi đó ph??ng trình có d?ng :

Ch? x?y ra khi :

. N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho h? có nghi?
m chung . Có ngh?a là : d.

Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình tr? thành : Nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n (*)
Bài 6. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

Trang 4
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
c.

d.

Gi?i
a.


. Th?a mãn đi?u ki?n (*)
c.
- Tr??ng h?p :

- Tr??ng h?p : Đ?t :

Ch?ng t? f(t) đ?ng bi?n . Khi đó t?i f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên v?i m?i

V?y ph??ng trình vô nghi?m .
d.

. Đi?u ki?n :

Ph??ng trình tr? thành : Do

Ph??ng trình ch? có nghi?m :


. Đi?u ki?n :

Khi đó ph??ng trình tr? thành :
. Th?a mãn đi?u ki?n (*).
d.

. Đi?u ki?n :

(*)
Có 2 ph??ng pháp gi?i :
Cách 1.

Trang 5
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Cách 2. . ( Nh? k?t qu? trên )
Bài 8. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.



Bài 9. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

d. 3tan2x-4tan3x=

Gi?i
a.

. b.
c.
d. 3tan2x-4tan3x=

Đi?u ki?n :

Ph??ng trình tr? thành :


Do đó ph??ng trình đã cho tr? thành :
c.

. Đi?u ki?n :

.
Khi đó PTd/ tr? thành : . Ph??ng trình vô nghi?m .
d.
III. PH??NG TRÌNH Đ?I X?NG THEO SINX, COSX
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

d.

Gi?i
a.


.
Khi đó :

Tr??ng h?p :

Tr??ng h?p : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đ?t :

Cho nên ph??ng trình : Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

Trang 7
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
b.

c.

Gi?i
a.

. Đi?u ki?n : cosx khác 0 . Khi đó ph??ng trình tr? thành :
)
Bài 3 . Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c. Cho ph??ng trình :

.
Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m thu?c đo?n

Gi?i
a.

. Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình tr? thành : Còn tr??ng h?p :

Do đó :

b.

. Đi?u ki?n : sinx khác 0 . Khi đó ph??ng trình tr? thành :


b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m .
Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình khi m=

: Do đó :

b/

Xét hàm s? :

Do v?y đ? ph??ng trình có nghi?m thì :

Bài 5. Cho ph??ng trình :

.
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1/2
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m trên kho?ng

Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1/2. Khi đó ph??ng trình tr? thành :

Khi m=
..Do :

. Cho nên f(x) vi?t l?i thành :

- Khi m=-3 thì - Đ?t :

Trang 9
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Ta có b?ng bi?n thiên :
t-

0

1

g'(t)+0-0+0-g(t)m+3m+3m+3-

m+3-

m+3-2

T? b?ng bi?n thiên ta có
maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3-

Đ?t :

. Thay vào (1)

V?y :

d.

. Đi?u ki?n :

Ph??ng trình vi?t l?i :

Vì : . Cho nên ph??ng trình tr? thành : Bài 8. Cho ph??ng trình :

a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1
b. Tìm m sao cho ph??ng trình có đúng hai nghi?m thu?c đo?n

Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1
Đ?t :

Xét :

a/ N?u m=1. Ph??ng trình là :

a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2
Trang 10
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
b. Tìm m đ? ph??ng trình có ít nh?t m?t nghi?m thu?c đo?n

Gi?i
Ph??ng trình vi?t l?i :(*)
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2. Đ?t : .
V?y ph??ng trình có nghi?m duy nhât :

b/ T? (*) ta th?y : sinx+cosx=0 không có nghi?m x thu?c

, cho nên đ? ph??ng trình có ít
nh?t 1 nghi?m x thu?c

, thì ph??ng trình

có ít nh?t 1 nghi?m t thu?c

. Hay đ??ng th?ng
d : y=m c?t f(t)=

t?i ít nh?t 2 đi?m .


f'(t) 00 f(t)+-

Qua b?ng bi?n thiên ta th?y ph??ng trình có nghi?m khi

Bài 11. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . d.

Gi?i
a. b. c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 .
Đ?t :

Khi t=1

d.

. Đi?u ki?n :


b.

c. d.

. T? công th?c :

, cho nên ph??ng trình tr? thành : Bài 13. Cho ph??ng trình :

a. Gi?i ph??ng trình v?i m=4
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m .
Gi?i
Ph??ng trình :

(1)
Đ?t :

. Thay vào (1) ta có :

(2)
a/ V?i m=4 (2) tr? thành :

. V?i đi?u ki?n :

, ta chia 2 v? ph??ng trình cho

. Khi đó ph??ng trình tr? thanh:
Trang 12
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b.

c.

d.

Gi?i
a.
b.

. Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m cho nên cosx khác 0 .
Chia 2 v? ph??ng trình cho



. Có 2 cách gi?i
Cách 1.. Gi?i theo ph??ng trình :
a.sinx+bcosx=c , ta tìm đ??cnghi?m .
Cách 2.
Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m cho nên cosx khác 0 . Chia 2 v? ph??ng trình cho

,
ta có ph??ng trinh : c.

. Đi?u ki?n :

Khi đó :

. Th?a mãn đi?u ki?n .
d. sin3x +cos3x +2cosx=0 . Chia hai v? ph??ng trình cho

. Ta đ??c :

. Đi?u ki?n :

Ph??ng trình * Chú ý : Bài này ta còn có th? s? d?ng các công th?c sau :
-

- Sau đó đ?t t=tanx Bài 5. Cho ph??ng trình :

a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m duy nh?t thu?c đo?n

Gi?i
Ph??ng trình :

Nh?n xét : N?u cosx=0 thì sinx=

, ph??ng trình có d?ng :

. Xét cosx

, chia 2 v? cho


c.

d.

Gi?i
a. . Ph??ng trình vô nghi?m
b.
c.
d.

Đ?t

V?y :

Trang 14
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
V. PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC KHÔNG M?U M?C
A. T?NG CÁC H?NG T? KHÔNG ÂM
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

- Xét :

, thay vào (2).

Gi?i ta tìm đ??c :

ho?c

Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.

b. c.

d.

Gi?i
a.
b.
. N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho hai nghi?m :

ch?n : l=2n .
Khi đó ph??ng trình có nghi?m là : x=

b.

VT=

VP=

. ( Do

)
Do đó ph??ng trình ch? x?y ra khi :c.

Ta có

Ch? xáy ra khi :

d. VP=

b.

.
Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình tr? thành :

N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i m,l thu?c Z sao cho : . Ch?n l=2n , thì m=3n+1
Suy ra ph??ng trình có nghi?m :

. Nh?ng l?i vi ph?m đi?u ki?n do làm cho cos2x=0 . V?
y ph??ng trình đã cho vô nghi?m .
c. Trang 16
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012

Nghi?m c?a ph??ng trình là :

d.

b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x . Đi?u ki?n :

Ph??ng trình tr? thành :
- Tr??ng h?p :

là m?t h? nghi?m , th?a mãn đi?u ki?n (*)
- Tr??ng h?p : . ( Do thay (3) vào (1) th?a mãn ) V?y ph??ng trình có thêm nghi?m n?a là :

c. sin4xcos16x=1

.
N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :

Đ?t :

V?y ph??ng trình có nghi?m :

d.

. Đi?u ki?n : VP

. Suy ra ta có h? :

. Ph??ng trình vô nghi?m .
M?T S? PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC KHÁC
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

b)

c) Gi?i
a) Ph??ng trình có nghi?m khi t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :.
V?y ph??ng trình có nghi?m là :

b)

. Đi?u ki?n :


. Suy ra ph??ng trình tr? thành :

. Ta th?y :

. Ta chia 2 v? ph??ng trình cho V?i :

c)

Chia 2 v? ph??ng trình cho

, ta có : Ta có :

f(1;m)=2m-2
Nh? v?y ta có bi?n lu?n sau :
Trang 18
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
- N?u : 1<m<3 Ph??ng trình có 1 nghi?m : tanx=1

- N?u m=1 . Ph??ng trình có nghi?m kép : tanx=1


c) d) Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau
a)

b)

c)

d)

Gi?i
a) b)

. Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình tr? thành
. Đ?i chi?u v?i đi?u ki?n , thì các nghi?m th?a mãn .
c)
c)

. Đi?u ki?n :

. Suy ra :

Trang 19
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012 .
Do đi?u ki?n :

. Còn các nghi?m trên th?a mãn đi?u ki?n .
d) Bài 6. Gi?i các ph??ng trình sau
a)

b)

c)


d) V?y ph??ng trình có nghi?m là :

Bài 7. Gi?i các ph??ng trình sau
a)

b)

c)

Gi?i
a)

. Đi?u ki?n : Ki?m tra đi?u ki?n (*) .
- N?u k=2n thì x=

- N?u k=2n+1

, không xác đ?nh cho nên v?i k l? thì lo?i .
Tóm l?i ph??ng trình có nghi?m là :

b)

. Đi?u ki?n :

V?y ph??ng trình có nghi?m :

, th?a mãn đi?u ki?n (*)
c) Vì :

có :

.
d)
Suy ra :

. Đ? ph??ng trình có nghi?m thì ,t?n t?i k,l thu?c Z sao cho : . V?y ph??ng trình có nghi?m :

Bài 9. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

c) Cho ph??ng trình:

.

a)
Tr??ng h?p : cos2x=0

Tr??ng h?p :

. Đ?t : t=cos2x ,Nh?ng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 do đó f(t) luôn âm v?i m?i x thu?c [-1;1]. Ph??ng trình vô
nghi?m . V?y nghi?m duy nh?t c?a ph??ng trình là :

b)

Vì :

. Cho nên ph??ng trình tr? thành :
+/ N?u cosx>0 :

Hay :

. Nh?ng

.
Cho nên :

. Lo?i .
+/ N?u cosx<0 :


c)

d)

Gi?i
a)

. Đ?t

. Ph??ng trình tr? thành :Ta tìm đ??c các giá tr? sau :

và

Vì :

T??ng t? ta tìm đ??c:

b)

-

Cho nên suy ra :

-

Do đó ph??ng trình ch? có th? x?y ra khi :

. Nh? (1)
Bài 12. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

b)

c)

d)

Gi?i
a) Trang 22
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
- Tr??ng h?p :

Là m?t nghi?m c?a ph??ng trình
- Tr??ng h?p :

Ta có :

VP=sin2x thu?c [0;1]
N?u cosx=0 , thì ph??ng trình tr? thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=0 không là nghi?m
N?u cosx=1 , thì ph??ng trình tr? thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=1 không là nghi?m
N?u VT=

(1)
Bài 13. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

b)

c)

d)

Gi?i
a)
Còn : cosx+sinx+2=0 vô nghi?m vì

* Chú ý :
Đây là phw[ng trình đ?i x?ng đ?i v?i sinx,cosx .
Ta có th? đ?t :

. Bi?n đ?i ph??ng trình theo t .
b)

. Khi đó ph??ng trình :

.
Đ?t :

. Thay vào ph??ng trình ta đ??c :

. Đ?t : t=cosy , suy ra :Thay vào (**) ta đ??c :

.
Ki?m tra di?u ki?n (*)
- N?u k là ch?n : k=2n

.
Ph??ng trình đã cho vô nghi?m .
- N?u k là l? : k=2n+1

Các nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n (*) . V?y nghi?m ph??ng trình :

.
b)

. Đ?t

. Khi đó ph??ng trình :Bài 16. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

b)

c)

d)

Gi?i
a)

b)
c) d)

. Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình :
Trang 24


. Khi đó ph??ng trình tr? thànhNghi?m này th?a mãn di?u ki?n (*)
d) Nh?n xét :V?y ph??ng trình vô nghi?m .
Bài 18. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)

b)

c)

d)

Gi?i
a)

. ( Bài này đã gi?i r?i )
b)

. Đi?u ki?n :

. Khi đó ph??ng trình tr? thành :

Gi?i
a) V?y :

Trang 25
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218