Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Phương pháp: Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
a a a a
 
   
   
   
   
 .
sin 3 cos 2sin 2cos
3 6
a a a a
 
   
   
   

       

2sin 2 0 2
3 3 6 2
k
x x k x
   

 
        
 
 
, k


.
Vậy nghiệm của phương trình là :
6 2
k
x
 
   , k


.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

4 4
4 sin os 3sin 2 4

     
  Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

2

3 1
4 os2 3 sin 2 4 3 sin 2 os2 1 2sin(2 ) 1
4 4 6
c x x x c x x

 
           
 
 

2 2
1
6 6
sin(2 ) , .
2
7





Vậy nghiệm của phương trình là :
2
3
x k
x k







 

, k


.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

2 2
2cos 2 3 os4 4cos 1
4
x c x x

 

6
x x k
x c x c x c x c x
x x k






  

 
     

 
 

   


12
36 3
x k
k
x


 



Ví dụ 4: Giải phương trình sau

2
2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3
1
3 sinx cos
c x x x x
x
  




4

Giải
Điều kiện:
3 sinx cos 0 sin 0
6
x x

 
    
 
 
.

Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học


2 2
3 6
x x k
c x x x x x
x x k
 

 
 
 

   

   
       

   
   

    



2
6
2
6 3
x k
k
x

2
6 3
k
x
 
  với
1 3
k n
 
, n


, k


.
Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
sin 3 sin 5 3sin 2 1 os3 cos5
x x x c x x
  
Đáp số:
x k


;
3

4.
3
2sin15 3 os5 os 5
2
x c x c x

 
  
 
 

Đáp số:

;
15 10 30 5
k k
x x
   
    

, k


.
5.


  
1 2sin cos
3

2 4
2sin sin sin 2 3cos cos os 1
3 3 3 3
x x x x x c x
   
       
     
       
       

HD:
sin 3 3 os3 2
x c x
  
. Đáp số:
2
18 3
k
x
 
  ,k


.
7.
2 2
2 3 sin( ) os( ) 2cos ( ) 3 4 sin os( )sin( )
8 8 8 3 6
x c x x x c x x
    

.
8.
2 3
2 os( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( )
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
c
   
      
Đáp số:
5
5
4
x k


  ,
5
5
12
x k


   ,
5
5
3
x k



.
Phương trình


2


2
cos 2sin 3 2 2cos 1 sin 2 1
x x x x
     
2
2cos 3 2 cos 2 0
x x
   

cos 2
2
cos
2
x
x









x k


  , k


.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau



2 os2 3 sin 2 3 sinx 3 cos
c x x x
   


1

Giải
Phương trình


1
1 3 1 3
2 2 os2 sin 2 6 sin os
2 2 2 2
c x x x c x
   
    
   

 
   

     
   

   
 
 

 
 


Với :
cos 0
6
x

 
 
 
 

2
6 2 3
x k x k
  
 
      , k

x x

 
  
 
 


3

Giải
Điều kiện:
os 0
4
c x

 
 
 
 
. Khi đó phương trình


3
2
2
1 tan 6tan 1
1 tan 1 tan
x x
x x

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là:
x k


, k


.

Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

6 Bài tập: Giải các phương trình sau
1.


3 sin 2 sinx os2 cos 2
x c x x
   

HD: Đưa phương trình về dạng:

   
2 2sin 1 4 sinx 1 os 2 sin 2
4 4
x c x x
 
   
      
   
   

HD: Đưa phương trình về dạng:


2
sin 2 1 sinx 2 0
x
   
. Đáp số:
2
2
x k


  , k


.
3.
2
17

x k


   , k


.
4.
os2 3 sin 2 3sinx cos 4 0
c x x x
    

HD:Đưa phương trình về dạng:
2
sin sin 3 0
6 6
x x
 
   
    
   
   
. Đáp số:
2
3
x k


  ,
k


.
6.


2
5sin 2 3 1 sinx tan
x x
  

Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

7

HD:Đưa phương trình về dạng:
2
2sin 3sin 2 0
x x
  
. Đáp số:
2
6
x k


. Đáp số:
2
4
x k


   , k


.
8.
2 2
2 1
sin sin 1 cos
3 3 2
x x x
 
   
    
   
   

HD:Đưa phương trình về dạng:
2
2 os os 1 0
c x c x
  
. Đáp số:
2
3

2
os 1 sina 1 sina
c a   
 
2
1 sin 2 sin cos
a a a
   ;
 
2
1 sin 2 sin cos
a a a
  




os2 cos sin cos sin
c a a a a a
  

;


1 os2 sin 2 2cos sin cos
c a a a a a
    .
Ví dụ 1: Giải phương trình sau

1 sinx os3 cos sin 2 os2

Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

8





sinx 2sin 1 2cos 1 2cos 0
x x x
 
    
 




sinx 1 2cos 2sin 1 0
x x
   
sinx 0
1
cos
2








  



  



 


, k


. Vậy nghiệm của phương trình là:
2
3
2
6
7
2
6
x k

9
os2 3sin 2 5 2sin 3
4
c x x x

 
   
 
 


2

Giải
Phương trình






2 os2 3 1 sin 2 5 sin cos 0
c x x x x
     

      
2
sinx cos cos sinx 3 sinx cos 5 sinx cos 0
x x x x
       

4sin 2cos 5 0
x x
  
vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là:
4
x k


   , k


.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

os2 3sin 2 6cos 9sin 8 0
c x x x x
    


3

Giải
Phương trình


3
2
1 2sin 6sin cos 6 cos 9sin 8 0
x x x x x

1 sinx 6cos 2sin 7 0
x x
   
1 sinx 0
sinx 1 2
6cos 2sin 7 0
2
x k
x x


 

     

  

, k


vì
2 2 2
6 2 7
 
nên
6cos 2sin 7 0
x x
  
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là:



  
,
4
x k


  , k


.
2.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c

 
  
 
 

HD: Đưa phương trình về dạng:




cos 1 sin cos 0

4
x x

 
  
 
 
. Đáp số:
4
x k


 
,
2
3
x k


   , k


.
4.
3 3
sin os sin 2 sinx cos
x c x x x
   

HD: Đưa phương trình về dạng:

10

HD: Đưa phương trình về dạng:




1 s inx sinx cos sin x cos 1 0
x x
    
. Đáp số:
2
x k


,
2
2
x k


  , k


.
6.
   
4 2
sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0
2 2


1 sinx sinx 2 sinx cos 2 0
x
    
. Đáp số:
2
2
x k


  ,
2
4
x k


   , k


.
8.
4 6
os os2 2sin 0
c x c x x
  

HD: Đưa phương trình về dạng:


4 2

  
  
.Đáp số:
,
x k


k


.
10.
2sin2 os2 7sin 2cos 4
x c x x x
   

HD: Đưa phương trình về dạng:




2sin 1 2cos sinx 3 0
x x
   
.Đáp số:
5
2
6
x k


3
1 sin os sin 2
2
x c x x
  


1

Giải
Phương trình


1
 
3
3
1 (sin os ) 3sin cos sinx cos sin 2
2
x c x x x x x
     
Đặt
sinx cos
t x
 
, với
2
t 

2

sinx cos 1 2 sin 1
2
5
4
2
2
4 4
x k
x k
x x
x k
x k
 




 
 


   


  
 

        

 

.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau

3
8 os ( ) os3
3
c x c x

 


2

Giải
Đặt
3 3 os3 os3
3 3
t x x t x t c x c t
 

           , khi đó phương trình


2



3 3 3 3 2
8cos os3 8cos 3cos 4 os 12cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0
t c t t t c t t t t t

 


 
 
 


 
      


 
  

  

 






, k


.
Vậy nghiệm của phương trình là:
6


2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6
x x x x x x
     


3

Giải
Điều kiện
sin x cos 0 sin 2 0
x x
  
.
Khi đó phương trình


3
3 3 2 2
(tan cot ) (tan cot ) (tan cot ) 6
x x x x x x
      

     
3 2
tanx+cotx 3tan cot tanx+cotx tanx+cotx 2 tan co
t (tan cot ) 6
x x x x x x
      



Vậy nghiệm của phương trình là:
4
x k


  ,
.
k



Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
3 3
sin os os2
x c x c x
 

HD: Đưa phương trình về dạng




sin cos sinx cos sin x cos 1 0
x x x x
    
,Đặt
sin cos

2
tan sin 2 3 5 3 0
1
t
t x x t t t
t
       

. Đáp số:
4
x k


 
, k


.
3.
3 2
os os 2sin 2 0
c x c x x
   

HD: Đưa phương trình về dạng




1 sinx sinx+cos sin x cos 1 0
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng-GV chuyên sư phạm-GV trung tâm luyện thi VIP.

13

HD: Đặt
sin 3 os2 sin
4
t x t c t t

    . Đáp số:
4
x k


 
,
4
x k


  
, k

4
x k


   ,
2
3
x k


   , k


.
6.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   

HD: Đặt
3
2sin sin 3
10 2
x



2 sinx cos tanx+cotx
x 
HD: Đưa phương trình về dạng:
 
2
2 sinx cos
sin 2
x
x
 
. Đáp số:
2
4
x k


 
, k


.
8.
2 2
3tan 4 tan 4cot cot 2 0
x x x x
    

HD: Đưa phương trình về dạng:

 

 
với


0,2
x

 .
Đáp số:
3
x


,
5
3
x

 .
2. (TSĐH khối B_2002)
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6
x c x x c x
   Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học


Đáp số:
2
x


,
3
2
x

 ,
5
2
x

 ,
7
2
x

 .
4. (TSĐH khối A_2003)
2
os2 1
cot 1 sin sin 2
1 t anx 2
c x
x x x
   


x x
x c

   
  
   
   
.
Đáp số:
2
x k
 
 
,
4
x k


  
,k


.

7. (TSĐH khối B_2004)


2
5sin 2 3 1 sinx tan
x x

x k


   ,

2 ,
3
x k


  

k


.
9. (TSĐH khối A_2005)
2 2
os 3 cos 2 os 0
c x x c x
 

Đáp số:
2
k
x

 , k



4 4 2
x c x c x x
 
   
     
   
   

Đáp số:
4
x k


  ,

k


.
12. (TSĐH khối A_2006)


6 6
2 sin os sin xcos
0
2 2sin
x c x x
x
 


  
 
 

Đáp số:
12
x k


  ,

5
,
12
x k


 

k


.
14. (TSĐH khối D_2006)
os3 os2 cos 1 0
c x c x x
   

Đáp số:


,
4
x k


   ,

2 ,
2
x k


 

k


.
16. (TSĐH khối B_2007)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx
x x  

Đáp số:
8 4
k
x
 
  ,
5 2

Đáp số:

,
2
x k


 
2
6
x k


   ,

k


.
18. (TSĐH khối A_2008)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


k


.
19. (TSĐH khối B_2008)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
  
Đáp số:
2
3
x k


  ,
4 2
k
x
 
  ,

k


.
20. (TSĐH khối D_2008)


2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos


 

Đáp số:
2
18 3
k
x
 
   ,

k


.
22. (TSĐH khối B_2009)


3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
   
Đáp số:
2
6
x k


   ,
2

 
  ,
6 2
k
x
 
   ,

k


.
24. (TSĐH khối A_2010)
 
1 sin cos 2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x

 
  
 
 



4 2
k
x
 
  ,

k


.
26. (TSĐH khối D_2010)

sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
    Đáp số:
2
6
x k


  ,

5
2
6
x k


x k


  ,

k


.
28. (TSĐH khối B_2011)

sin 2 cos sin xcos os2 sinx cos
x x x c x x
   Đáp số:
2
2
3
x k


  ,

2
3
k
x


x c x x
  Đáp số:
2
x k


,
2
x k


  ,

2
2
3
x k


  ,

k


.
31. (TSĐH khối B_2012)


   
Đáp số:
7
2
12
x k


  ,
2
12
x k


   ,

4 2
k
x
 
  ,

k


.