Tuyển tập đề kiểm tra và đáp án Toán lớp 11 – học kì 2
Đề số 1
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n n
3
3 2
2 3 1
lim
2 1
+ +
+ +
b)
x
x
x
0
1 1
lim
→
+ −
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
x x
khi x
f x
x

c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
x x x
5 4 3
5 3 4 5 0− + − =
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số
y f x x x x
3 2
( ) 3 9 5= = − − +
.
a) Giải bất phương trình:
y 0
′
≥
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x x
3
19 30 0
− − =
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
y f x x x x
3 2
( ) 5= = + + −
.
a) Giải bất phương trình:

+ +
= =
+ +
+ +
0,50
I = 2 0,50
b)
( )
0 0
1 1
lim lim
1 1
x x
x x
x
x x
→ →
+ −
=
+ +
0,50
0
1 1
lim
2
1 1
x
x
→
= =

y x x y x
x
2 2
2
( 2)
( 2) 1 ' 1
1
−
= − + ⇒ = + +
+
0,50
2
2
2 2 1
'
1
x x
y
x
− +
=
+
0,50
4 a)
I
B
C
A
M
H

BH MB BI a a a
= + = + = ⇒ =
0,25
5a
Với PT:
x x x
5 4 3
5 3 4 5 0− + − =
, đặt
f x x x x
5 4 3
( ) 5 3 4 5= − + −

0,25
f(0) = –5, f(1) = 1  f(0).f(1) < 0 0,50
 Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) 0,25
6a a)
y f x x x x
3 2
( ) 3 9 5= = − − +

y x x
2
3 6 9
′
= − −
0,50
y x x x
2
' 0 3 6 9 0 ( ;1) (3; )≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

≠ − ≠ −
, PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực
0,25
6b a)
y f x x x x
3 2
( ) 5= = + + −

2
' 3 4 1y x x
= + +
0,25
2
' 6 3 2 1 6y x x≥ ⇔ + + ≥
0,25
2
3 2 5 0x x⇔ + − ≥
0,25
( )
5
; 1;
3
x
 
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
 ÷
 
0,25
b)
Gọi



0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
1 2 : 6 8
= ⇒ = − ⇒ = −
0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
5 230 175
: 6
3 27 27
= − ⇒ = − ⇒ = +
0,25
Đề số 2
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
2
3
3


≠ −
=

+

+ =

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x
2 2
( )(5 3 )= + −
b)
y x xsin 2= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c) Cho SA =
a 6
3
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x x x
5 2
2 1 0
− − − =

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d:
y x5
=
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 2
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 a)
x x
x x
x x
x x
2
3 3
3 3
lim lim
( 3)( 5)
2 15
→ →
− −
=
− +
+ −
0,50
3
1 1
lim

x
→
= =
+ +
0,50
2 f(1) = a +1 0,25
x x x
x x
f x x
x
1 1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim( 2) 1
1
→ → →
+ −
= = − = −
+
0,50
f(x) liên tục tại x = 1 
x
f x f a a
1
lim ( ) (1) 1 1 2
→
= ⇔ + = − ⇔ = −
0,25
3 a)
y x x x
2 2

b) BC  AB (ABCD là hình vuông) (3) 0,25
SA  (ABCD)  SA  BC (4) 0,25
Từ (3) và (4)  BC  (SAB) 0,25
 (SAB)  (SBC) 0,25
c) SA  (ABCD)  hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 0,25
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là
·
SCA
0,25
( )
·
a
SA
SC ABCD SCA
AC
a
6
3
3
tan ,( ) tan
3
2
⇒ = = = =
0,25

·
0
30SCA =
0,25
5a

x x x x
2 2
12 4 16 0 3 4 0
⇔ − + + > ⇔ − − <
0,25
4
1;
3
x
 
⇔ ∈ −
 ÷
 
0,50
b)

y x x x
3 2
2 5 7= − + + −

0
1x = − ⇒
0
9y
= −
0,25

y ( 1) 3
′
− = −

≠
 PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1)
0,25
6b a)
2 3 2 2
( 1) ' 3 2y x x y x x y x x= + ⇒ = + ⇒ = +
0,25
BPT
2
' 0 3 2 0y x x
≤ ⇔ + ≤
0,25
x
2
;0
3
 
⇔ ∈ −
 
 
0,50
b)
Vì tiếp tuyến song song với d:
y x5
=
nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5
0,25
Gọi
x y
0 0

1 2
= ⇒ =
 PTTT:
y x5 3
= −
0,25
Với
x y
0 0
5 50
3 27
= − ⇒ = −
 PTTT:
y x
175
5
27
= +
0,25
Đề số 3
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
n n
n
3 2
3


Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x x
2 5
(4 2 )(3 7 )= + −
b)
y x
2 3
(2 sin 2 )= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD.
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m x x x
3
( 1) ( 2) 2 3 0− + + + =
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
y x x
4 2
3 4= − −
có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
y 2
′
=

3
3
3
1 4
2
2 4
lim lim
2
2 3
3
n n
n
n
n
n
+ +
+ +
=
−
−
0,50
=
2
3
−
0,50
b)
Nhận xét được:
x
x

x
x
+
→
−
= −∞
−
0,25
2
x a khi x
f x
x x khi x
2
2 0
( )
1 0

+ <
=

+ + ≥

0,50

x
f x f
0
lim ( ) (0) 1
+
→

(2 sin 2 )= +
y x x x
2 2
' 3(2 sin 2 ) .4sin2 .cos2⇒ = +
0,50
y x x
2
' 6(2 sin 2 ).sin4
⇒ = +
0,50
4
0,25
a) ABCD là hình vuông  ACBD (1)
S.ABCD là chóp đều nên SO(ABCD) 
SO AC⊥
(2)
0,50
Từ (1) và (2)  AC
⊥
(SBD)
AC SD⇒ ⊥
0,25
b) Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC (3) 0,50
AC  (SBD) (4). Từ (3) và (4)  MN  (SBD) 0,50
c) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên SBC đều cạnh a. Gọi K là
trung điểm BC  OK  BC và SK  BC
0,25

( )
·

3
( ) ( 1) ( 2) 2 3= − + + +

f x( )
liên tục trên R
0,25
f(1) = 5, f(–2) = –1  f(–2).f(1) < 0 0,50
 PT
f x( ) 0
=
có ít nhất một nghiệm
c m R( 2;1),∈ − ∀ ∈
0,25
6a a)
y x x
4 2
3 4= − −

y x x
3
4 6
′
= −
0,25
y x x x x x
3 2
2 4 6 2 ( 1)(2 2 1) 0
′
= ⇔ − = ⇔ + − − =
0,25

liên tục trên R
0,25
f(0) = –2, f(1) =
2
2
1 3
1 0
2 4
m m m
 
+ + = + + >
 ÷
 

 f(0).f(1) < 0
0,50
Kết luận phương trình
f x( ) 0=
đã cho có ít
nhất một nghiệm
c m(0;1),
∈ ∀
0,25
6b a)
y f x x x
2
( ) ( 1)( 1)= = − +
f x x x x
3 2
( ) 1⇒ = + − −

k f
2
(1) 4
′
= =
 PTTT:
y x4 4
= −
0,25
Đề số 4
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
3
1
3 2 1
lim
1
→
− −
−
b)
x

≠


−
=


=


Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
2 3
2
−
=
−
b)
y x
2
(1 cot )= +
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với
nhau. Gọi H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh: CD ⊥ BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥
(BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).

2
2 1
1
+ +
=
−
có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
y 0
′
=
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
tung.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 4
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a)
x x
x x x x
x x x x
2
3 2
1 1
3 2 1 ( 1)(3 1)
lim lim
1 ( 1)( 1)
→ →

−
−
→
−
→

− =


→ ⇔ − <


+ = >


0,75
Kết luận được
x
x
x
3
3
lim
3
−
→
+
= −∞
−
0,25

x x
x x
f x
x
2
2 2
2 3 2
lim ( ) lim
2 4
→ →
− −
=
−
x
x x
x
2
( 2)(2 1)
lim
2( 2)
→
− +
=
−
x
x
2
2 1 5
lim
2 2

2
2
1
2(1 cot ) 2(1 cot )(1 cot )
sin
 
−
′
⇒ = + = − + +
 ÷
 
0,50
4 a) 0,25
a) AB  AC, AB  AD AB  (ACD)  AB  CD (1) 0,25
AH  CD (2). Từ (1) và (2)  CD  (AHB)  CD  BH 0,50
b) AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt) 0,50
 AK (BCD) 0,50
c)
Ta có AH  CD, BH  CD 
( )
·
BCD ACD AHB( ),( )
=
0,25
Khi AB = AC = AD = a thì AH =
2
2 2
CD a
=
0,25

 
 
 
0,25
f f f f(0) 1, (0). 0
2 2 2
π π π
   
= = − ⇒ <
 ÷  ÷
   
0,50
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
0;
2
π
 
 ÷
 
0,25
6a a)
y f x x x x
3 2
( ) 3 9 2011= = − − + +

f x x x
2
( ) 3 6 9
′
= − − +

Đặt f(x) =
2 2 3
( 1) 1m x x+ − −
 f(x) liên tục trên R nên liên tục trên
[ 1; 2]−
0,25
f m f f f m R
2
( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 0,
− = + = − ⇒ − < ∀ ∈
0,50
 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
( )
( 1;0) 1; 2− ⊂ −
(đpcm)
0,25
6b a)
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
, TXĐ : D = R\{1},
x x
y
x

= = − = = −
0,20
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y x2 1
= − −
0,50

Đề số 5
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
2
3
2
3 2
lim
2 4
→
− +
− −
b)
( )
x
x x x


Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
3
( 2)( 1)= + +
b)
y x x
2
3sin .sin3=
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA
vuông góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥
(SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m x m x
5 2 4
(9 5 ) ( 1) 1 0− + − − =
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
y f x x x
2 4
( ) 4= = −
có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
f x( ) 0
′

x x
x x x x
x x x x x
2
3 2
2 2
3 2 ( 1)( 2)
lim lim
2 4 ( 2)( 2 2)
→ →
− + − −
=
− − − + +
0,50
=
x
x
x x
2
2
1 1
lim
10
2 2
→
−
=
+ +
0,50
b)

x x
x x
f x
x
2
1 1
2 3 1
lim ( ) lim
2( 1)
→ →
− +
=
−
=
x x
x x x
x
1 1
( 1)(2 1) 2 1
lim lim
2( 1) 2
→ →
− − −
=
−
=
1
2
0,50
Kết luận hàm số liên tục tại x = 1 0,25

2 2
2
2 2
2 10
5 5
AB BC
BH BH
AB BC
= = ⇒ =
+
0,50
5a
Gọi
f x m x m x
5 2 4
( ) (9 5 ) ( 1) 1= − + − −

f x( )
liên tục trên R.
0,25
f f m
2
5 3
(0) 1, (1)
2 4
 
= − = − +
 ÷
 
f f(0). (1) 0

0,50
b)
x y k f
0 0
1 3, (1) 4
′
= ⇒ = = =
0,50
Phương trình tiếp tuyến là
y x y x3 4( 1) 4 1
− = − ⇔ = −
0,50
5b
Đặt
f(x)=ax bx c
2
+ +

f x( )
liên tục trên R.
0,25