SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số:………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC
TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP
Người thực hiện: Phạm Văn Tánh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 - 2014
MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN –
NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Tôi xin được bắt đầu bởi một tình huống trong thực tiễn dạy học. Năm học
2012 – 2013 khi dạy bài “Tích phân”, tôi cho học sinh làm một bài tập: “Tính tích
phân sau
2
2
1
dx
I
x
−
=
−

Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các
trường trung học phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh, tự kiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ
động. Trong tiết học thầy giáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ học sinh kiến tạo
kiến thức chính xác, vì đôi lúc kiến thức học sinh kiến tạo được chỉ đúng trong một
trường hợp. Học sinh cần phải kiến tạo cách hiểu riêng của mình đối với mọi khái
niệm Toán học.
Từ những nhận định trên tôi quyết định chọn đề tà nghiên cứu là :
“MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN –
NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP”.
1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
● Khảo sát học sinh với nội dung tích phân.
- 1 -
● Chỉ ra được những nguyên nhân chính dẫn đến những khó khăn của học
sinh khi học tích phân.
● Đưa ra những giải pháp giúp học sinh nhận ra và vượt qua những sai lầm,
khó khăn đó.
1.3. Phạm vi nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu: Giải tích 12 với nội dung tích phân.
Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Sông
Ray.
2. CƠ SỞ LÝ LUẬN
2.1. Cơ sở lí luận
Một số quan niệm về khó khăn và sai lầm trong hoạt động nhận thức của
học sinh
Trong sáng kiến kinh nghiệm của tác giả Trần Anh Dũng – Trường THPT
Lương Thế Vinh, Đồng Nai – tác giả đã chỉ ra một số các sai lầm mà học sinh hay
mắc phải như sau:
•
Loại 1 : Sai lầm do bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết.

học sinh có thể học thuộc lòng các định lý, công thức nhưng không biết áp dụng như
thế nào vào giải toán
Từ đó, tôi xác định cần phải tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến những khó khăn
đó và đưa ra những giải pháp phù hợp để giúp học sinh vượt qua.
2.2. Sơ lược về “Tích phân” trong chương trình và sách giáo khoa hiện hành
Sách giáo khoa hiện hành (cả chương trình chuẩn và nâng cao) dành một
chương riêng biệt để giới thiệu khái niệm tích phân. Chương này đề cập đến các chủ
đề: nguyên hàm, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, các phương pháp
tính tích phân, ứng dụng của tích phân. Các tác giả xem nguyên hàm chỉ là một
công cụ phục vụ cho việc định nghĩa tích phân của các hàm số liên tục theo công
thức Newton – Leibniz. Để dẫn đến khái niệm tích phân, các tác giả đã giới thiệu
hai bài toán: “Diện tích hình thang cong” và “Quãng đường đi được của một vật”.
Hai bài toán này đã ngầm ẩn giới thiệu ý nghĩa hình học và vật lý của tích phân.
Hơn thế nữa, mục đích chính là làm xuất hiện hiệu số F(b) – F(a). Tiếp theo, là định
nghĩa tích phân bằng công thức Newton – Leibniz và một số tính chất của tích phân.
Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu một số phương pháp tính tích phân và cuối cùng
là ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể.
3. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
3.1. Một khảo sát trên học sinh với nội dung tích phân
- 3 -
Để tìm hiểu cụ thể những khó khăn, sai lầm mà học sinh thường mắc phải
khi học tích phân tôi đã thực hiện một khảo sát nhỏ trên 123 học sinh của trường
THPT Sông ray thuộc ba lớp: 12C3; 12C6 và 12C14. Trong đó lớp 12C3 theo học
chương trình nâng cao, hai lớp còn lại theo học chương trình chuẩn.
Nội dung khảo sát như sau:
Câu 1. Hãy tính các tích phân sau:
1)
2
2
1

+
∫
Câu 2.
1) Chứng minh rằng hàm số
( ) sinx - cosF x x x=
là một nguyên hàm của hàm
số
( ) sinf x x x
=
.
2) Tính tích phân
2
0
sinI x xdx
π
=
∫
Câu 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: đồ thị của hàm số
2
3 2y x x= − +
; trục Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 3.
Phân tích lời giải của học sinh
1)
2
2
1
dx
I
x
−

ln | 1| ln3
1
d x
I x
x
−
−
−
= = − = −
−
∫
.
Học sinh đã không chú ý đến điều kiện khả tích của hàm số dưới dấu tích phân.
Lời giải đúng: Hàm số
1
( )
1
f x
x
=
−
không liên tục trên đoạn [-2;2] nên tích phân
này không tồn tại.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử sụng công thức
ln | |
dx
I x C
x
= = +
∫

16 16
1
4
4
0 0
xdx x dx=
∫ ∫
là không hợp lý.
Sách giáo khoa giảo tích 12 chương trình nâng cao trang 166 cho ví dụ khi giới
thiệu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x),
y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x= a; x = b như sau:
“Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x=
, trục hoành và
đường thẳng y = x – 2”. Và lời giải được đề nghị như sau:
“Ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số
y x=
và y = x – 2 bằng
cách giải phương trình
2x x= −
. Kết quả được x = 4. Diện tích S của hình H
bằng diện tích tam giác cong OCA trừ đi diện tích hình tam giác ABC.
Diện tích tam giác cong OCA là
4
4
3
2
0
0
2 16

0
(1 os )I c x dx
π
= +
∫
STT Lời giải của học sinh Số học sinh trả lời %
1 Bỏ trống 23/123 17
2
2
2 2
2
0
0
(1 os ) ( sin )I c x dx x x
π
π
= + = +
∫
1
2
π
= +
18/123 15
3
Biến đổi được một vài bước đúng, song
không ra được kết quả.
42/123 35
4 Làm đúng 40/123 33
Nhận xét: Qua bảng thống kê trên, ta thấy số học sinh làm đúng là 40 chiếm 33%.
Số còn lại làm sai hoặc đúng được một phần nhưng không ra được đáp số đúng

π
= ⇒ =
= ⇒ =
Học sinh không giải quyết được tiếp
4/123 3,1
3
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =
0 1
3 4
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Học sinh gặp khó khăn vì không giải quyết
được biểu thức
3
x
39/123 32
4
( )
3 3 3
0 0 0
1 1
x x
I x dx x dx dx
x x
   
= − = −


= +
 
⇒
 
=
=




rồi gặp bế tắc.
…….
12 9,7
6 Làm đúng 33 26,8
Nhận xét: Đây là bài toán ở mức độ vận dụng so với đối tượng học sinh vừa mới
học xong chương tích phân. Số học sinh làm đúng không nhiều (26,8%). Có khá
nhiều học sinh bỏ trống không làm câu này, bên cạnh có 39 học sinh (chiếm 32%)
- 7 -
đã biết cách đặt
2
1t x= +
nhưng lại lúng túng với biểu thức
3
x
- một tình huống
không quen thuộc. Một số em biết cách chia tử cho mẫu nhưng lại bất cẩn khi viết
kết quả của phép chia dẫn đến một kết quả sai.
Nguyên nhân sai lầm: Với câu này, nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm là do các
em thiếu kiến thức, yếu kĩ năng, khả năng suy luận hoặc do hạn chế về mặt phát

 
= = −
 
như đã được học. Các em không linh hoạt khi
vừa mới chứng minh xong
( ) sinx - xcosxF x =
là một nguyên hàm của hàm số
( ) sinxf x x=
.
Hình 5. Lời giải máy móc, rập khuân.
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: đồ thị hàm số
2
3 2y x x= − +
; trục Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 3.
Với câu này, đa số học sinh (82 học sinh) có lời giải:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
3
3
2 3 2
1
1
1 3 16
3 2 2
3 2 3
S x x dx x x x
−
−
 
= − + = − + =
 ÷

Một vài kết luận rút ra từ khảo sát
1) Học sinh mất thời gian và công sức tính một vài tích phân mà thực ra chúng
không tồn tại. Các em không quan tâm thỏa đáng đến tính hợp thức của công
thức sử dụng dẫn đến một kết quả sai mà không hề biết.
2) Kiến thức bị hổng, không chắc chắn làm các em lúng túng trong các phép
biến đổi gây khó khăn trong quá trình tính tích phân.
3) Để tính tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
, học sinh cho rằng cần phải đi tìm nguyên hàm
của hàm số f(x) bằng cách huy động các kiến thức đã học, các bài tập tương
tự đã giải, mặc dù nguyên hàm đó đôi khi đã hiện diện ở phía trước. Các em
giải quyết vấn đề một cách máy móc, không linh hoạt.
4) Việc sử dụng đồ thị khi tính diện tích của hình phẳng chưa thực sự hình
thành ở học sinh.
3.2. Một số giải pháp giúp học sinh vượt qua những khó khăn khi học tích
phân
Trong SKKN của thầy Trần Anh Dũng, tác giả đã xây dựng một tình huống dạy học
khái niệm “Tích phân” theo quan điểm của thuyết kiến tạo. Từ những phân tích ở
trên, trong khuôn khổ của sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số giải pháp sau đây
nhằm khắc phục những khó khăn của học sinh hay gặp phải:
• Giải pháp thứ nhất
- 10 -
Với đối tượng học sinh yếu, giáo viên sử dụng các tiết tăng để củng cố lại các công
thức, các phép biến đổi đại số có liên quan.
• Giải pháp thứ hai
Tăng cường các bài tập kiểm tra tính khả tích của hàm số dưới dấu tích phân

1x t= −
0 1; 3 4x t x t= ⇒ = = ⇒ =
Lúc đó
( )
4 4
4
1
1 1
1 ( 1) 1 1 1 3
ln ln 2
2 t 2 2 2
t dt
I t dt t t
t
−
 
= = − = − = −
 ÷
 
∫ ∫
Cách 2. Đặt
2
tan (1 tan ) ; 0;
2
x t dx t dt t
π
 
= ⇒ = + ∈
 ÷
 

 
∫ ∫
Cách 3
3
3 3 3 3
2 2
2 2 2
0 0 0 0
0
1 ( 1)
1 1 2 2 1
x x x d x
I x dx xdx dx
x x x
+
 
= − = − = −
 ÷
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫
( )
3
2
0
3 1 3
ln 1 ln 2
2 2 2
x= − + = −
……

 
∫
• Giải pháp thứ năm
Sử dụng đồ thị trong bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng
● Tiến hành thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành với lớp 12C7 của trường với sĩ số 42, giáo viên
dạy thực nghiệm là thầy Tạ Hữu Dũng. Thực nghiệm diễn ra khi học sinh đã học
xong chương “Tích phân”. Nội dung thực nghiệm là năm giải pháp đã đưa ra ở trên,
các tiết được sử dụng để tiến hành thực nghiệm là các tiết bài tập và các tiết tăng.
4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Tất cả các học sinh tham gia tiết học một cách tích cực, các hoạt động diễn ra
sôi nổi. Các em được tự khẳng định mình, biết đánh giá chính mình và đánh giá
người khác mang tính xây dựng. Hầu hết các em hiểu được nghĩa của khái niệm,
biết cách giải quyết tình huống khi gặp khó khăn. Sau khi học xong chúng tôi cho
các em làm bài kiểm tra 45 phút theo định kì.
Kết quả của bài kiểm tra
Lớp điểm Số lượng %
[0 ; 2) 0 0
[2 ; 3,5) 2 5
[3,5 ; 5) 3 7
[5 ; 6,5) 9 21
[6,5 ; 8) 20 48
[8 ; 10] 8 19
- 12 -
Qua bảng điểm trên, ta thấy số lượng các em đạt điểm trên trung bình khá cao 37
em chiếm 88%. Đặc biệt có tói 28 em (chiếm 67%) đạt điểm khá giỏi. Điều này một
lần nữa khẳng định tính hiệu quả của các giải pháp mà đề tài mang lại.
5. KẾT LUẬN
Nghiên cứu của đề tài qua các mục đã cho phép tôi trả lời các câu hỏi nghiên
cứu được đặt ra ở phần mở đầu. Về mặt lí luận, tôi đã làm rõ, phân loại được các sai

2
1
dx
I
x
−
=
−
∫
2)
16
4
0
I xdx
=
∫
+
∫15
Câu 2.
1) Chứng minh rằng hàm số
( ) sinx cosF x x x
= +
là một nguyên hàm của
hàm số
( ) sinf x x x
=
.

16
6.2. Bảng điểm kiểm tra học sinh sau khi thực hiện các giải pháp của đề tài
STT Họ và tên Lớp Điểm
1 Nguyễn Văn An 12C7 7
2 Phan Trần Ngọc Ánh 12C7 8
3 Lộc Thị Bé 12C7 3
4 Nguyễn Văn Chinh 12C7 9
5 Đặng Hoàng Cường 12C7 5.5
6 Nguyễn Quốc Cường 12C7 7,8
7 Nguyễn Xuân Dũng 12C7 7,5
8 Phí Hoàng Dương 12C7 7,8
9 Nguyễn Thành Đạt 12C7 6,3
10 Nguyễn Hải Giang Điền 12C7 4,8
11 Trần Thị Hương Giang 12C7 7,5
12 Võ Thị Mỹ Hạnh 12C7 5,8
13 Vũ Thị Hiền 12C7 8,5
14 Nguyễn Thế Hoàn 12C7 9,3
15 Võ Phùng Hiếu 12C7 7,5
16 Trần Thị Lài 12C7 7
17 Phạm Thị Cẩm Linh 12C7 6,3
18 Võ Thành Long 12C7 6,5
19 Phan Trường Lộc 12C7 7,3
20 Dương Thị Ý Luận 12C7 4
21 Lý Tài Múi 12C7 5,8
22 Lê Thảo Nguyên 12C7 9,8
23 Võ Thị Thảo Nguyên 12C7 10
24 Đinh Thị Tố Như 12C7 7,5
25 Hoàng Phúc 12C7 2,5