TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang Ôn tập Tốt nghiệp

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An








x x
y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2
( 0)

y ax bx cx d a= + + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′
=

0a > 0a <
0y
′
= có 2 nghiệm
phân biệt


=

0a >

0a <

0y
′
=
có 3 nghiệm
phân biệt 0y
′
=
có 1 nghiệm duy
nhất

Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0

0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với
y ax b= +
có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với

( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)


VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0x x x m− + + =

Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x
′
= − +


 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)
x
−∞
1 3
+∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–
∞
1
m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y

 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị
( )C
và
đường thẳng
: 1d y m= −
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔
 
− < >
 
 

Bài 2
: Cho hàm số
2 3
3 2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của

x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
−∞
0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+∞ 1
0 –
∞
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O

Cho
1 1
2 2

( ; )I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0y x x= ⇔ − =
3
2
0x
x

=

⇔

=



Giao điểm của
( )C
với trục hoành là:
(0;0)O
và
3
2
( ;0)B

 Tại
(0;0)O
:

( )C

và đường thẳng
3
2
:d y a= −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây:
a
3
2
a−

Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3
a < −

3
2
1a− >

1 1
2
3
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )C
với đường thẳng
3
2
2y x= +

y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Bảng biến thiên:

1
2
3 3 0 1y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )I − −

 Bảng giá trị:
x

3
−

2−

3
0
2
( )k f x
′
= =

2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ =
3
2
2
0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x

=

⇔ + = ⇔


+ 0 +
y
+∞

–∞

1
2
−

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
 Với
0
2x = −
thì
0
( 2) 1y y= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = +
(song song với
∆
)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2y x= +






7
2
1x y= ⇒ =
và
2 1x y= − ⇒ = −

 Vậy,
( )C
và
3
2
: 2d y x= +

cắt nhau tại 2 điểm:

(
)
7
2
1;A
và
( 2; 1)B
− −

Bài 4
: a) Khảo sát và vẽ đồ thị


3
4 4y x x
′
= −
 Cho
3
0 4 4 0 0; 1y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–∞ –1 0 1 +∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
− +∞

 Đáp số:
4 2 11y x= −
và
4 2 11y x= − −
(học sinh tự giải)
Câu c:Ta có,
4 2 4 2
2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − −
(*)
 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )C
và
: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
 
 
− − ≤ − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
 
 
− − > − <
 
 
 

của
phương
trình (*)
m > 4 m – 3 > 1 0 0
m = 4 m – 3 = 1 2 2
0 < m < 4

– 3 < m – 3 < 1

4 4
m = 0 m – 3 = – 3 3 3
m < 0 m – 3 < – 3 2 2

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3
– 3 1
y x x= +
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm thuộc
( )C


Bài 8 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x
= + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến song song với
: 12 1d y x= −

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0x x m+ + =

Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + −
có đồ thị là
( )C


( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của
( )C
song song với đường thẳng
8 3y x= −

d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:
3 2
3 log 0x x a
− − =www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(*)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của

tại ba
điểm phân biệt.
Bài 13
: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x= − + −
có đồ thị ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm A(0; –2)
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
9 4 4 0x y− − =

d) Biện luận theo m số giao điểm của
( )
C
và
: 2d y mx= −

Bài 14 : Cho hàm số


Bài 15
: Cho hàm số
3 2
2 6 6 2y x x x= − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox ,
1, 2x x= =

Bài 16
: Cho hàm số
2 2
(2 )y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
2−

c) Viết pttt với

( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.
c) Tìm
m
để phương trình sau có 4 nghiệm:
4 2
6 log 0
x x m− + =

Bài 19
: Cho hàm số
2 2
(1 ) 6
y x= − −
có đồ thị ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2
x x m
− =

c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1

1
4
y =
4 2
2x x−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
song song với
1
: 15 2012d y x= +
.
c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
2
:d
8
45
2012y x= − +

d) Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22
: Cho hàm số

cx d
+
=
+

1 Tập xác định:
{ }
\
d
c
D = −ℝ

2 Tính
2
( )
ad cb
y
cx d
−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương hay âm,
d
c
x∀ ≠ −


 Tính
( )
lim
d
c
x
y
−
→ −
và
( )
lim
d
c
x
y
+
→ −
, suy ra
d
x
c
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.

( 0, 0)


0
x
và
0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x
′

3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=
(*)
2 Thay
0
( )y x
′

( )C
và d:
( )f x ax b= +
(*)
2 Lập luận: số giao điểm của
( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung
độ bằng
5

+
, do đó hàm số đồng biến
trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
,
( 1; )− +∞
và không đạt cực trị.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 14 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 2 ; lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = ⇒
y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1x = −
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:

0
y
3 4  0 1
 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
( 1;2)I −
như hình vẽ
Câu b: Với
5
2
y =
thì
2 1 5
2(2 1) 5( 1) 3
1 2
x
x x x
x
+
= ⇔ + = + ⇔ = −
+

 Ta có
2
1 1
4
( 2)
( 3)f
−
′

 Biệt thức của phương trình (*):
2 2
4 12 ( 2) 8 0,m m m m∆ = − + = − + > ∀ ∈ ℝ

 Do
0∆ > nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó
( )C
và d
luôn có 2 điểm chung phân biệt.
Bài 24
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−

b) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
:d y x= −

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị

( ;2)−∞
,
(2; )+∞
và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 1 ; lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒
1y = −
là tiệm cận ngang.

2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
2x =
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞
2
+∞

y
′

(2; 1)I −
như hình vẽ

Câu b:  Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x= −
nên có hệ số
góc
0
( ) 1k f x
′
= = −

2
0
1
1
(2 )x
−
⇔ = −
−
2
0
(2 ) 1x⇔ − =
0 0
0 0
2 1 1
2 1 3
x x
x x
 

trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0 2 3 0m m⇔ ∆ > ⇔ − − >

( ; 1) (3; )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 1) (3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì đồ thị
( )C
và đường thẳng
:d y x m= − +
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−


b) Lập phương trình tiếp tuyến của
( )H
biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Viết pttt với
( )H
tại điểm trên
( )H
có hoành độ bằng
3−
.
d) Tìm m để đường thẳng
1y mx= +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27
: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C

( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng
:d y m x= −
cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt
Bài 29
: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
tại các giao điểm
của
( )C
với đường thẳng
: 2 1d y x= −

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
d) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
1 3
2 2
y x= − +

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+

.
c) Viết pttt của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2
2012y x= +

d) Tìm m để đường thẳng d:
2y mx= +
cắt cả hai nhánh của
( )C
.
Bài 33
: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C

với
: 2 4d y x= − −

d) Tìm a để đường thẳng
: 3y ax∆ = +
đồ thị
( )C
không giao nhau
e) Tìm tất cả các điểm trên
( )C
có toạ độ đều là các số nguyên.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 18 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]
1 Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [a;b].
2 Tính
( )y f x
′ ′
=
.
3 Cho
0y
′
=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i

0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

<



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực đại tại
0
x

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x

y ax bx c= + +
có cực đại, cực tiểu
. 0a b⇔ <

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
đồng biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a
′


∆ ≤

′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔


>




ax b
y
cx d
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có dấu “=”)
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 19 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a)
3 2

2
0 3 16 16 0y x x
′
= ⇔ − + =
loaïi
nhaän
4
3
4 [1; 3] ( )
[1; 3] ( )
x
x

= ∉

⇔

= ∈



 Trên đoạn [1;3] ta có:
(
)
; ;
4 13
3 27
(1) 0 (3) 6f f f= = = −

 Do

1 1
x x
y x
x x
− + +
′
= + =
− −

 Cho
(nhaän)
(loaïi)
2
1 [ 3; 0]
0 2 2 4 0
2 [ 3;0]
x
y x x
x

= − ∈ −

′
= ⇔ − + + = ⇔

= ∉ −



 Trên đoạn [–2;0]:

2 ln 3 ln 2y x x= − −
liên tục trên đoạn
2
[1; ]e

 Đặt
lnt x=
thì
2
[1; ] [0;2]x e t∈ ⇔ ∈
, hàm số trở thành
3 2
( ) 2 3 2y g t t t= = − −
có
2
0 [0;2]
( ) 6 6 0
1 [0;2]
t
g t t t
t

= ∈

′
= − = ⇔

= ∈



[0;2]
min (1)y f e= = −
và
2
[0;2]
max (2)y f e= =

Bài 36 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
4 3y x mx x= + + +

a) Đồng biến trên
ℝ
b) Có cực đại và cực tiểu
Bài giải
Câu a:
3 2
4 3y x mx x= + + +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 2 4y x mx
′
= + +
có
2
12
y
m

⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
′
 
∆ ≤
− ≤
 





 Vậy, với
2 3 ;2 3m
 
∈ −
 
 
thì hàm số (*) đồng biến trên
ℝ

Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0y
′
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt
2
0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y


( ) 6 6y f x x m
′′ ′′
= = −


Hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =
khi và chỉ khi
2
(2) 0 {1;11}
12 11 0
11
(2) 0 2
12 6 0
f m
m m
m
f m
m

 

′
 
= ∈
− + =

 

thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =

Bài giải
Hàm số
sin
.sin
x
x
x
y e x
e
−
= =
có tập xác định
D = ℝ


( ) .sin .(sin ) (cos sin )
x x x
y e x e x e x x
− − −
′ ′ ′
= + = −


( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x

( ) 2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn
[ 2;0]−

b)
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn [–1;2]
c)

4 3 2
( ) 2 1
f x x x x
= − + −

trên đoạn [–1;1]
d)
5 3
( ) 5 10 1f x x x x= − + −
trên đoạn [–2;4]
e)
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [–3;4]
f)
2
( ) 2 5f x x x= + −
trên tập xác định.
g)
4

x x
f x e e
−
= +
trên đoạn
[ 1;2]
−

b)
2
( ) ( 1)
x
f x x e
−
= −
trên đoạn [0;2]
c)
2
( ) ( 1)
x
f x x x e
−
= − −
trên đoạn
[ 1;1]
−

d)
2
( ) 2 2

2
( ) ln( 1)
f x x x
= − + trên đoạn [0;2]
i)
( ) ln 2 2f x x x x= − + trên đoạn
2
[1; ]e
j)
2 2
( ) 2 ln 3f x x x x= − trên đoạn [1;2 ]e
k)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
[ ]
3
1;e
l)
ln
( )
x
f x
x
=

− +

Bài 43
: Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a)
3 2 2
2( 1) ( 3 2) 2y x m x m m x= + − + − + +

b)
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+

c)
4 2
( 1) 2 3y m x mx= − − −

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a)
3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1y x m x m x m= + + + − − +
đạt cực đại tại
0
0x =


đạt cực tiểu bằng
2−
tại

0
1
x
=

Bài 45 : Chứng minh rằng
a) Nếu
(cos 2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
2 5 0y y y
′′ ′
− + =

b) Nếu
4
2
x x
y e e
−
= +
thì
13 12y y y


 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ (đơn giản)
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với
0, 0a b> >
và
,m n ∈ ℝ
ta có
( )
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
n
m n m
n
n
n n
n n

n n
a b
b a
ab a b
−
=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với
0a >
và
1a ≠
, ta có

x
a b=
vô nghiệm nếu
0b ≤


log
x
a
a b x b= ⇔ =
nếu
0b >

a
m a n p+ + =

1 Đặt
( )f x
t a=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: gặp dạng
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p
−
+ + =
, ta dùng biến đổi
( )
( )
1
f x
f x
a
a

www.VNMATH.com