MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc luận văn 2
NỘI DUNG 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Ngôn ngữ toán học 4
1.2. Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học 11
1.3. Nội dung chương trình hình học 10 13
Chương 2. BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI
DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 17
2.1. Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học về
vectơ – tọa độ 17
2.2. Dạy học các nội dung vectơ và tọa độ cho học sinh lớp 10 theo hướng tiếp
cận ngôn ngữ toán học 20
KẾT LUẬN 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
PHỤ LỤC 31

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong dạy học môn Toán sử dụng đồng thời hai loại ngôn ngữ: ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Không có một ranh giới rõ ràng giữa ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học mà chúng có sự “hòa quyện” với nhau. Do đó

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn
ngữ toán học thông qua dạy học giải bai tập các nội dung vectơ và tọa độ, từ đó
góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp dạy học các chủ đề này ở hình
học THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học chủ đề vectơ và tọa độ ở hình học 10 nếu có tăng cường
hợp lí các hoạt động để phát triển ngôn ngữ toán học thì sẽ góp phần nâng cao
kết quả học tập của học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số nội dung sau.
- Ngôn ngữ toán học.
- Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
- Nội dung chương trình hình học 10.
- Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học
thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận.
- Điều tra – quan sát.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của đề
tài gồm có hai chương.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ
toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, mặc dù bản thân đã hết sức cố
gắng, tuy nhiên chắc khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các giáo viên, các bạn học sinh và sinh viên cũng như
các bạn đọc để đề tài này ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn.


- Ngôn ngữ có chức năng là công cụ của tư duy Chức năng tư duy của
ngôn ngữ biểu hiện ở cả hai khía cạnh: Ngôn ngữ là hiện thực trực tiếp của tư
tưởng. Không có từ nào, câu nào mà lại không biểu hiện khái niệm hay tư tưởng.
Ngược lại, không có ý nghĩ, tư tưởng nào lại không tồn tại dưới dạng ngôn ngữ.
Ngôn ngữ trực tiếp tham gia vào quá trình hình thành tư tưởng. Mọi ý
nghĩ, tư tưởng chỉ trở nên rõ ràng khi được biểu hiện bằng ngôn ngữ.
c. Thuật ngữ khoa học
Thuật ngữ khoa học bao gồm những từ và cụm từ cố định là tên gọi chính
xác của những khái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn
của con người.
Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau:
- Thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa.

5
Thuật ngữ toán học lệ thuộc chặt chẽ vào các khái niệm toán học nên có
tính xác định về nghĩa. Chẳng hạn khi nói đến từ “cạnh” trong thuật ngữ toán
học ta nghĩ ngay đến đoạn thẳng làm thành phần của một hình đa giác. Nội dung
của thuật ngữ chỉ thay đổi khi xuất hiện những quan niệm mới, chỉ thay đổi khi
các khái niệm mà thuật ngữ đó biểu thị được xác lập lại. Nội dung của thuật ngữ
là toàn bộ định nghĩa lôgic của khái niệm dành cho thuật ngữ đó.
- Thuật ngữ khoa học có tính hệ thống.
Chẳng hạn, từ “tích” trong toán học có nghĩa là “kết quả của phép nhân”
nhưng khi tách nó ra khỏi hệ thống thuật ngữ toán học và sử dụng như một từ
trong ngôn ngữ tự nhiên thì nó lại có nghĩa là “dồn, góp từng ít cho thành số
lượng đáng kể”. Một ví dụ khác, từ “thương” khi đặt vào trong hệ thống thuật
ngữ toán học thì có nghĩa là “kết quả của phép chia” nhưng khi đưa ra khỏi hệ
thống này và sử dụng trong ngôn ngữ tự nhiên thì lại có nghĩa “có tình cảm gắn
bó và thường tỏ ra quan tâm săn sóc một cách chu đáo”.
- Thuật ngữ khoa học có xu hướng một nghĩa.
Mỗi thuật ngữ có thể xuất hiện trong nhiều ngành khoa học khác nhau,

yếu ở dạng ngôn ngữ viết. Các kí hiệu này có tính chất quy ước để diễn đạt nội
dung toán học đảm bảo tính lôgic, chính xác và ngắn gọn. Hai quan điểm trên
đều cho rằng trong ngôn ngữ toán học có hệ thống các kí hiệu.
Bên cạnh hệ thống thuật ngữ, kí hiệu thì Toán học còn sử dụng các hình
ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … làm phương tiện để biểu thị nội dung toán học.
Khi đó, hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … được coi là các “phương tiện trực
quan tượng trưng”. Theo tác giả Hoàng Chúng (1997) thì “mỗi phương tiện trực
quan tượng trưng là một loại ngôn ngữ”.
Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống
các kí hiệu toán học. Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngôn ngữ
toán học theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ
thị…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác,
logic và ngắn gọn.
b. Chức năng của ngôn ngữ toán học.
Ngôn ngữ được sử dụng làm phương tiện để giao tiếp, truyền đạt những
suy nghĩ, ý tưởng của con người với nhau. Haliday (1985) cho rằng ngôn ngữ
giúp con người xây dựng hình ảnh tinh thần của thực tại, trao đổi kinh nghiệm
của những gì đang diễn ra xung quanh và bên trong mỗi chúng ta. Còn Mercer
(2000) nhận xét, ngôn ngữ là phương tiện để con người cùng nhau suy nghĩ,
cùng nhau tạo ra kiến thức và sự hiểu biết, làm cho mọi người trên thế giới hiểu
nhau hơn. Giao tiếp là một chức năng quan trọng trong học tập, giảng dạy và
nghiên cứu toán học. Ở lớp học toán có rất nhiều thông tin được trao đổi giữa
giáo viên với tập thể học sinh, giữa giáo viên với cá nhân học sinh, giữa cá nhân

7
học sinh với tập thể học sinh, giữa cá nhân học sinh với cá nhân học sinh. Các
hình thức giao tiếp diễn ra trong lớp học toán đều nhằm mục đích giải quyết các
vấn đề toán học đặt ra, giúp học sinh hiểu khái niệm toán học, nâng cao khả
năng hiểu, sử dụng ngôn ngữ toán học.
Sullivan, P.Clarke (1991) đã chứng tỏ rằng chất lượng học tập của học

giới có thể giao tiếp được với nhau mà không có sự trở ngại về mặt không gian,
thời gian và ngôn ngữ. Ngày nay, phạm vi giao tiếp của ngôn ngữ nói chung và
ngôn ngữ toán học nói riêng rất rộng, mang tính toàn cầu. Không chỉ mở rộng về
không gian mà hình thức giao tiếp cũng ngày càng phong phú, đa dạng hơn nhờ
sự phát triển của khoa học kĩ thuật. Con người không chỉ giao tiếp bằng miệng,
bằng chữ viết thông thường như trước đây mà còn có sự góp mặt của điện thoại,
email, Sky, voice chat, ….
Như vậy, chức năng giao tiếp của ngôn ngữ toán học đã giúp con người
có thêm hiểu biết về toán học, cùng nhau tạo ra và giải quyết các vấn đề toán
học mà không có sự trở ngại nào về ngôn ngữ, không gian, hình thức giao tiếp.
Giống như ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ toán học cũng có chức năng tư
duy. Trong ngôn ngữ toán học không có những kí hiệu, thuật ngữ toán học nào
mà lại không biểu hiện khái niệm hoặc tư tưởng toán học. Ngược lại, không có ý
nghĩ, tư tưởng nào lại không được thể hiện nhờ ngôn ngữ toán học. Chẳng hạn,
biểu thức 64 : 4 + 2 – 4 × 3 bao gồm các kí hiệu toán học liên kết lại với nhau
theo một quy tắc nhất định và chứa đựng một vấn đề toán học cần được giải
quyết. Để tính được giá trị biểu thức này thì người học phải tư duy, phải tuân
theo quy tắc tính giá trị biểu thức để thực hiện. Quá trình tư duy để tìm kết quả
của phép tính được thực hiện nhờ ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ toán học còn
là phương tiện để biểu đạt kết quả của tư duy. Do đó có thể khẳng định rằng tư
duy là cái được biểu hiện còn ngôn ngữ toán học là cái để biểu hiện kết quả của
tư duy.
Bên cạnh đó, ngôn ngữ toán học tham gia vào quá trình suy nghĩ giải
quyết một vấn đề toán học hay nói cách khác, ngôn ngữ toán học tham gia vào
quá trình hình thành tư tưởng toán học. Mọi ý nghĩ, tư tưởng toán học chỉ trở
nên rõ ràng, chính xác nhờ được biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học. Nếu một ý
tưởng toán học chưa biểu hiện ra được bằng ngôn ngữ toán học thì ý tưởng toán
học đó còn mù mờ, chưa sáng tỏ.
Khi tiến hành các hoạt động tư duy giải quyết một vấn đề toán học thì
người làm toán cần phải có một vốn tri thức, sự hiểu biết liên quan đến vấn đề

2
được viết là SQR(x),
x
viết là SQRT(x).
Sự phát triển của hệ thống kí hiệu làm phong phú ngôn ngữ toán học, giúp
các ngành toán học thông suốt với nhau. Chỉ sử dụng kí hiệu đại số và các phép
toán chuyển qua giới hạn có thể hiểu được nhiều khái niệm trong Giải tích toán

10

học. Mỗi một chuyên ngành toán học mới xuất hiện đều kèm theo hệ thống kí
hiệu riêng của lĩnh vực đó.
b. Một số kí hiệu toán học thường dùng.
* Kí hiệu các chữ số, chữ cái Latinh và Lamã.
Các chữ số 0, 1, 2,…, các chữ cái Latinh a, b, c,…, x, y, z, và các chữ cái
Lamã
, , ,
  
được sử dụng phổ biến và thống nhất trong toán học.
Bằng 10 chữ số 0,1,…,9 chúng ta có thể viết được bất kì số tự nhiên nào.
Các chữ cái a, b, c,…, x, y, z dùng để viết các biểu thức đại số, biểu thức chứa
biến, hàm số… Còn các chữ
, , ,
  
được dùng để gọi tên đường thẳng, mặt
phẳng, kí hiệu góc,…
* Kí hiệu cho các phép toán và quan hệ.
Bao gồm các kí hiệu phép toán cộng +, trừ – , nhân x hoặc . và chia :, tích
phân


1.2. Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
1.2.1. Vectơ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
Hiện nay trong chương trình toán học ở trường phổ thông của hầu hết các
nước đều có những kiến thức về vectơ với những lí do như sau:
- Vectơ có nhiều ứng dụng không những trong toán mà còn trong vật lý,
kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện tốt mối quan hệ liên môn ở
trường phổ phông.
- Vectơ cho phép diễn đạt những kiến thức toán học phổ thông một cách
gọn gàng, sáng sủa (chẳng hạn cách chứng minh định lý Talet, định lý Pytago,
định lý Côsin, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn….). Đồng thời
phương pháp vectơ còn là phương pháp giải toán nhanh chóng, tổng quát, đôi
khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tuy duy
trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp.
- Từ phương pháp vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp
toạn độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học
cung cấp công cụ giải toán hiệu quả cho phép đại số hóa hình học và hình học
hóa đại số.
-Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học
sinh chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán ở
trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự. Điều đó
dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu
trúc đại số, đặc biệt là nhóm không gian vectơ – khái niệm trong số những khái
niệm quan trọng của toán học hiện đại.
Trong chương trình hình học ở trường phổ thông nước ta, bắt đầu từ lớp
10 học sinh được học về vectơ, tọa độ, các phép toán về tọa độ và dùng vectơ
làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những
mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và

12


khảo sát, vẽ đồ thị hàm số trong tọa độ Descartes vuông góc để minh họa trực
quan thêm về chiều biến thiên, điểm uốn, tính đối xứng, tính chẵn lẻ của hàm số,
hay giải phương trình (hệ phương trình) bằng phương pháp đồ thị,…
Nhờ có phương pháp tọa độ, chúng ta có thể chuyển một sự kiện hình học
sang đại số theo những quy tắc nhất định. Chẳng hạn: trên mặt phẳng, mỗi điểm
được đặc trưng bởi một bộ hai số sắp thứ tự, còn trong không gian ba chiều mỗi
điểm được đặc trưng bởi một bộ ba chữ số sắp thứ tự. Ngược lại, mỗi bộ số sắp
thứ tự ấy xác định duy nhất một điểm trong mặt phẳng hay trong không gian.
Còn đường và mặt biến thành tập hợp các bố số thứ tự kết hợp với nhau bởi
những phương trình đại số mà mỗi đường hoặc mỗi mặt ứng với một phương
trình hoặc một hệ phương trình. Và chỉ có các điểm thuộc đường hoặc mặt đó
mới có tọa độ thỏa mãn phương trình hoặc hệ phương trình đã cho, đồng thời ta
có thể rút ra được những tính chất của đường và mặt bằng cách xử lý các
phương trình, hệ phương trình đó theo phương pháp đại số. Bằng cách này ta đã
“biến” không gian thành những “chữ số” (hằng hoặc biến) và đặc biệt là mối

13

tương quan giữa những “chữ số” ấy để xử lý chúng một cách gọn gàng, hợp lý
hơn.
Như vậy, ngoài cách tiếp cận hình học bằng phương pháp hình học tổng
hợp (tức học sinh xem xét các thực thể hình học chỉ dưới phương diện hình dạng
và độ đo, không quan tâm đến sự định hướng của nó trong không gian) và
phương pháp vectơ còn có một cách thứ ba là phương pháp tọa độ. Với phương
pháp này, các đối tượng và các mối liên hệ đại số, thông qua trung gian là một
hệ tọa độ. Nói cách khác, người ta dịch những tính chất hình học thành những
biểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số
và làm việc thuần túy trong lĩnh vực đại số.
Nhờ có những ứng dụng đó của tọa độ và phương pháp tọa độ, có thể nói
rằng tọa độ như là một ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.

1.3.2. Những kiến thức cơ bản về vectơ, tọa độ trong chương trình hình
học 10
a. Vectơ và các phép toán vectơ.
1. Vectơ và là một đoạn thẳng có hướng trong đó đã chỉ rõ điểm đầu và
điểm cuối.
Vectơ
AB

có điểm đầu là A, điểm cuối là B có hướng từ A đến B, có độ
dài là độ dài đoạn thẳng AB, được kí hiệu là
AB

, và có giá là đường thẳng AB.
Người ta còn kí hiệu vectơ bằng các chữ thường như
, , ,
a b x y
   

2. Hai vectơ
,
a b
 
được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoăc
ngược hướng. Hai vectơ
a

và
b


   
. Khi
đó vectơ
AC

được gọi là tổng của hai vectơ
a

và
b

. Phép toán tìm tổng của hai
vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.
5. Cho hai vectơ
a

và
b

. Ta gọi hiệu của hai vectơ
a

và
b

là vectơ
( )
a b
 
 

là một vectơ kí hiệu là
ka

cùng
hướng với
a

nếu
0
k

, ngược hướng với
a

nếu
0
k

và có độ dài bằng
.
k a

.
Ta qui ước
0. 0, 0 0
a k
 
  
.
7. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x

đều có thể phân tích được (hoặc biểu thị được) một cách duy nhất qua 2 vectơ
a

và
b

, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
x ha kb
 
  

8. Các quy tắc cần nhớ khi thực
hiện thực các phép toán về vectơ.
a) Quy tắc hình bình hành.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB AD AC
 
  

b) Qui tắc ba điểm
*
AC AB BC
 
  
(qui tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ)
*
AB CB CA

a b a b a b

     
.
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ
a

và
b

bằng vectơ
0

ta qui ước
. 0
a b

 
.
Nếu
a

và
b

đều khác vectơ
0

ta có . 0
a b a b


2. Công thức hình chiếu.
Cho hai vectơ
,
OA OB
 
.Giả sử B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng
OA. Ta gọi vectơ
'
OB

là hình chiếu của vectơ
OB

trên đường thẳng OA. Khi
đó, ta có công thức hình chiếu sau đây:
. . '
OAOB OAOB

   
.

c. Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trên mặt phẳng.
1. Tọa độ của vectơ và của điểm.
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ
a

tùy ý.
Nếu
a xi y j

N M N M
MN x x y y
  


2. Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
;
2 2
A B A B
I I
x x y y
x y
 
 
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
;
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
   
 
3. Khoảng cách giữa hai điểm
( , ), ( , ),
A A B B
A x y B x y
được tính theo công
thức:
   

 
 
 
 17

Chương 2. BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI
DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
2.1. Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ
toán học về vectơ – tọa độ
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, cả hai cách tiếp cận để nghiên
cứu ngôn ngữ toán học là theo phương diện ngữ nghĩa và phương diện cú pháp
đều quan trọng và có ý nghĩa riêng.
+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì học sinh không học được
những công cụ toán học hình thức và do đó không giải được bài toán bằng công
cụ toán học.
+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì học sinh sẽ không hiểu ý
nghĩa của biểu thức của ngôn ngữ toán học và không thể phiên dịch được bài
toán nảy sinh từ bên ngoài toán học thành bài toán trong toán học và do đó kiến
thức của học sinh sẽ hình thức và không có ích.
2.1.1. Những vấn đề còn mắc phải khi tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp
của ngôn ngữ toán học của học sinh.
- Học sinh khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong ngôn ngữ tự nhiên
hoặc khoa học khác sang ngôn ngữ toán học và ngược lại.
Ví dụ:
Cho hai lực
1

1
F


100N
2
F


Bài toán này nếu phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ chỉ đơn giản là: “Cho hai
vectơ có độ dài bằng nhau và bằng 100 (đơn vị độ dài), tạo với nhau một góc
120
0
(như hình vẽ). Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ đó.
O 100N
120
018

- Học sinh chưa nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp, phương diện
ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học
Ví dụ:
Khi biến đổi, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi

hoặc

19

học sinh tiếp cận khái niệm hay trình bày bài, giáo viên không được sử dụng
thuật ngữ, kí hiệu.
Ví dụ.
Khi mở đầu bài toán chứng minh
AB CD

ta có thể trình bày như sau:
“Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh
AB.CD 0

 
. Thật vậy…”
- Giáo viên cần sử dụng hợp lý hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
Ví dụ.
Khi dạy khái niệm vectơ cần phân biệt rõ cho học sinh kí hiệu “
AB

” và
kí hiệu “
x

” theo phương diện ngữ nghĩa va cú pháp.
Với phương diện cú pháp:
Ngay khi nhìn vào kí hiệu chúng ta đã thấy khác nhau.
Với phương diện ngữ nghĩa:
“
AB


: A

B (phép vị tự
1
o
V

biến A thành B)
đoạn 5. O là tâm hình bình hanh AMBN
AB 6. MO là đường trung bình của

ACB. M là trung điểm AC
Ngược lại từ đẳng thức
OA OB
 
 
có thể liên tưởng tới các nội dung: O
là trung điểm đoạn AB; hai vectơ
OA

và
OB

đối nhau; A là ảnh qua B qua
phép vị tự
1
o
V


dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh thì giáo viên nên tổ chức cho học sinh sử
dụng các hình thức ngôn ngữ khác nhau trong quá trình học tập.
- Ngoài ra việc lựa chọn và cung cấp các bài tập rèn luyện khả năng sử
dụng ngôn ngữ toán học cũng là một phương pháp giúp học sinh nắm vững hơn
về khái niệm vectơ – tọa độ.

21

Khi dạy học các khái niệm vectơ - tọa độ cho học sinh, nhằm giúp học
sinh hiểu đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ
toán học, có thể cho học sinh lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt
dưới những hình thức ngôn ngữ khác nhau.
Chẳng hạn:

Ngôn ngữ hình
học tổng hợp
Ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ tọa độ
Điểm M Điểm M


x;y

Đoạn thẳng AB,
A là điểm đầu, B
là điểm cuối
AB





 
A B A
A B A
x x x x t
y y y y t

  


  







A A B B
x ;y , x ;y
lần lượt là
tọa độ của A, B. Hoặc
ax by c 0
  

Trung điểm I của
đoạn thẳng AB
hoặc điểm I sao
cho
IA IB
IA IB AB





A A B B
x ;y , x ;y
lần lượt là
tọa độ của A, B.
Trọng tâm G của
tam giác ABC
hoặc điểm đông
quy của ba
đường trung
tuyến của tam
giác ABC
GA GB GC 0
  
   

Hoặc với O bất kì:


1
GO OA OB OC
3
  
   

A B C A B C
x x x y y y

diễn đạt độc lập ý nghĩ của các em.
Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lý là.
- Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý.
- Thay đổi hình thức phát biểu định lý.
b. Những lưu ý khi dạy học tính chất vectơ – tọa độ.
- Các tính chất của vectơ – tọa độ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa
và phép toán về vectơ – tọa độ. Muốn dạy tốt tính chất vectơ – tọa độ trước hết
phải dạy tốt các khái niệm, trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất.
- Giáo viên cần sử dụng hợp lý hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
- Các tính chất vectơ được sử dụng khi cần tính toán, biến đổi các biểu
thức vectơ đó là: tính chất cùa phép cộng vectơ, phép nhân vectơ, tích vô
hướng,…
- Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ
sau này, không nhằm xây dựng tường minh không gian vectơ. Do đó trong các
chứng minh không cần chính xác, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinh
dùng “trực giác” kiểm tra các tính chất. Quan trọng là phải cho học sinh củng
cố, luyện tập tính chất trong các bài tập.
- Các tính chất quan trọng, có vai trò như những chiếc chìa khóa để giải
toán và hơn nữa được sử dụng trong phương pháp tọa độ sau này: biểu thức
tọa độ của các phép toán vectơ, biểu thức tọa độ của tích vô hướng,… cần
được chú ý.

23

- Các hoạt động ngôn ngữ như “đọc” phương trình để tìm đặc điểm hình
học, “đọc” hình vẽ để thấy tính chất,… rất hay được sử dụng khi xây dựng và
củng cố tính chất, do đó giáo viên cần chú ý khai thác hợp lí các hoạt động này
trong dạy học.
2.2.3. Hình thành phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ trong giải

học và các hệ thức vectơ. Các “từ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ,
có cả điều kiện cần và đủ.
Ví dụ.
Khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng. Ta cho học sinh làm hai
bài toán sau.
1. Gọi O là trung điểm của đoạn AB, chứng minh rằng:
OA OB 0
 
  

2. Cho đoạn thẳng AB và điểm O thỏa mãn đẳng thức:
OA OB 0
 
  

Chứng minh rằng: O là trung điểm của đoạn AB.
Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm
đoạn AB là
OA OB 0
 
  
” nghĩa là “O là trung điểm cạnh AB” đã “dịch” thành
“
OA OB 0
 
  
” trong ngôn ngữ vectơ.
* Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ.
- Để có thể diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ cần rèn
luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ hình học tổng

 

Hai đường thẳng song song AB//CD
AB kCD

 

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ
số k,
k 0


MA kMB

 

Điểm M là trung điểm đoạn AB
MA MB 0
 
  

AM là trung tuyến của tam giác ABC
AB AC 2AM
 
  