http://NgocHung.name.vn

(Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
__________________________
Câu I: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 4
2 2
x y xy
x y xy

+ + =


− + =



Câu II: Tìm tất cả các nghiệm x
∈
(2009; 2011) của phương trình :

cos sinx x−
os2 1 sin 2 0c x x− + =
Câu III:
Cho dãy số (
n
u

∑
Tính
lim
n
S
.
Câu IV:
1. Cho elip(E):
2 2
1
25 9
x y
+ =
và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua M
và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.
2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các
đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần
lượt tai M, N, P .
Chứng minh rằng:
OM ON OP
AB AC AD
+ +
không đổi.
Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( ).a b c abc a b c b c a c a b+ + + ≥ + + + + +


0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà
số đó chia hết cho 3.
Câu 3: (2,5 điểm)
1. Cho dãy số (
n
u
) được xác định như sau:

2
1 1 1
2011, ( ), *, 2.
n n n
u u n u u n N n
− −
= = − ∀ ∈ ≥
Chứng minh rằng dãy số (
n
u
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:

3
2
1
2 1 3 2 2
.

π
+
 
= −
 ÷
−
 
2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y
≠
k
π
,k
∈¢
.
Chứng minh rằng:
1
tan tan
2 2 3
x y
+ =
.
Câu 2: (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết:

3 3
sin . sin . .
2 2 2 2
A B B A
cos cos=
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

0 1 2
2
2
3 2 1
0, 1, 0
( 1)( 1) 1
( 1)
n n n n
u u u
n n n n
u u n n u u
n n
+ + +
= = =



+ + + +
= + + + −


,
0n
∀ ≥
.
Chứng minh rằng (u
n
)là số chính phương với mọi n
*
∈


+ = −


2. Cho x, y, z
R
+
∈
. Chứng minh rằng :

2 2 2
1 1 1
.
x y y z z x
xy z yz x zx y x y z
+ + +
+ + ≤ + +
+ + +

3. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x:

2
3sin 2sin . os2 3x x cosx c x a+ + + ≤
.
Câu 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, độ dài ba đường phân giác trong tương
ứng với các góc A, B, C lần lượt là l
a
, l
b

Câu 2: Giải phương trình:

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16.( )x x x x x x+ + + = + + + − ∈¡
Câu 3: Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x

+ = − +


+ = − +


Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh
AD và DC sao cho AM = x, CN = y với
0 , 1x y< <
và góc MBN bằng 45
o
.
a. Chứng minh rằng :
1x y xy+ = −
.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
∆

− − +
=
− + + +
trong đó a là tham số thực và
5
1 .
4
a− ≤ ≤
Hết
http://NgocHung.name.vn

(Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2 điểm) Cho dãy (
n
x
) lập theo quy tắc:

0
2
1
0
5 24 1.
n n n
x
x x x

2
2
2cos sin 2
16
sin . os2
x x
x c x
+
>

Câu 3: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − +
2. Giải hệ phương trình:
2 3 3 2
2
6 6 5 ( 4)( 2 6)
2 2
1
x x x x x x
x
x x

− + = + + −


+ ≥ +


Hết

(Đề 7) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
1. Giải phương trình:
2
( 2) 3x x − =
.
2. Giải bất phương trình:
3
1 2 4 3 2.x x x+ + + < −
3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số
cộng:
3 2
3 ax 0.x x b− + + =
Câu 2: (2 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng
với những giá trị tìm được của m:

4 2
3
sinx. os2 2 2
.
cos . os2 1
c y m m
x c y m

3 3 3
3 3 3 3 3 3
1.
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +
http://NgocHung.name.vn

Hết (Đề 8) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau:

7 3
2sin (1 sin ).sin .sinx a x a x
π
= + +
(1)

2 6 2 3
( 1)(1 ) 2sin 2sin 2( 1)a cos x x x a− + + = + −
(2)
a. Giải các phương trình trên với a = 2.
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Câu 2: (2 điểm)

 ÷
+ + + − + +
 
2. Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8.x x x+ = − + +
Câu 4: (2 điểm)
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với
hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các
điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện
tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
http://NgocHung.name.vn
Tìm tất cả các số nguyên dương
a b c
≥ ≥
sao cho
1 1 1
1 1 1 2.
a b c
   
+ + + =
 ÷ ÷ ÷
    Hết

(Đề 9) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN

2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y

+ + + + + + + + + =


+ + + − + + + + − =


.
Câu 3: (2 điểm)
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
2
1
n
u n a n= + +
với
1,2,3 n =
; a là tham số có giá trị thực.
a. Với
( 1)a = −
hãy tìm giới hạn của dãy số khi
n → +∞

d
,
D
d
và
A
d
tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N.
a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O.
http://NgocHung.name.vn
b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON.

Hết
(Đề 10) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:

5 3 5(2 1)(1 )
1 .
( )( 3 1)
a a a
x a x a x a
− + −
+ =
− − − +
Câu 2: (3 điểm)
1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:


.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
1 1 1
x y z
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Câu 5: (1 điểm)
http://NgocHung.name.vn
Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ :
1 4 9
3
.
12
a b c
a b c

+ + =



+ + ≤


Hết

(Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN

n
a a
+
+
∈


∀ ∈

− =


¢
a. Chứng minh rằng:
1 1
.
2 2
n
a
n
> −
b. Chứng minh rằng dãy số (
n
a
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 4: (3 điểm)
http://NgocHung.name.vn
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi
qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm
di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM.

sin sin sin .P A B C= + +
Câu 2: (3 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 30
( ) 16
x y z
y z x
z x y

+ − =

+ − =


+ − =

.
2. Cho tam giác ABC có phương trình hai đường cao lần lượt là
: 4 1 0AH x y− − =
và
:BK
3 0x y− + =
, trọng tâm tam giác G(1; 2). Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Câu 3: (2 điểm)
Giả sử
1 2 3

∞
=
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
http://NgocHung.name.vn
Câu 4: (3 điểm)
Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M
và N (M
≠
C, N
≠
D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ
diện ABCD lần lượt tại P và Q (P
≠
C, Q
≠
D). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng
dạng với tam giác OQP.
Hết (Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( 3) (4 )(12 ).x x x+ − +
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2

A
x
− + −
=
−
Câu 3: (2 điểm)
http://NgocHung.name.vn
Cho dãy số (
n
a
) xác định bởi:
1
2
1
1
1 1
.
n
n
n
a
a
a
a
+
=



+ −

+ + +
.

Hết ( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12)
(Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi
x
∈
¡
ta luôn có
sin cos 1x x+ ≥
.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

( )
sin cos 1 sin 2 sin cos 2m x x x x x+ + = + + +
.
Câu 2: (2 điểm)
Biết rằng tam giác ABC có độ dài các cạnh và đường trung tuyến theo kí hiệu thông
thường thoả mãn:
;
a b
a b m a m b≠ + = +
.

2
3 1n n+ +
,
*n N∈
. Kí hiệu S(n) là tổng các chữ
số của số
2
3 1n n+ +
.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n).
b. Chứng minh rằng tồn tại n để
( ) 1999S n =
.
Hết

(Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y

− = −


+ = + +

2 2 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1 3( )a b c
a b b c c a
   
+ + + ≥ + +
 ÷ ÷ ÷
+ + +
   
.
http://NgocHung.name.vn
Câu 3: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2,
chiều cao bằng h. Gọi
1
( ; )C O r
là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi
2
C
(K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).
a. Chứng minh rằng:
2
1 1
.
h
r
h
+ −
=