TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
 !"#
$!%&!'()!*(+,-
!*./0#1*'!+23-,4-56789:
;<(4=>?=@AB=6#
@&B=A!C6(!CD
-*B-AE*'!+2#
:,>*?&(+&!D&!'F=
=*'==G2-HGTÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN
TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. /GI-JF=+BH
EIE*'!+2=*'==KG'
-GD2#
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
0!+EHB='KD:H-G/+*.L=
!C!FD,-=MN#$OEHPEQ
.K;=B=*'AEAI#
PhầnIIRTuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
0!+MND,-/0C!FD
*.L==.K;#SOK=T ,,Q,
,I@AKTU**K&
!!#
Phần III:Một số đề tự luyện:
0VNWDABC!FD*.L=F=5-)
D#
$LE><!CG-XGI(!(Y;-!C
B*?-A=Z6H,GI*?I
'[


b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
\
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A đợc
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0
b. Hằng đẳng thức
\
A A=
- Với mọi A ta có
\
A A=
- Nh vậy: +
\
A A=
nếu A


không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ
nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B

0, ta có
\
A B A B=
, tức là
+ Nếu A

0 và B

0 thì
\
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B

0 thì
\
A B A B=
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A

\
A B
, ta có

\
] ^C C A B
A B
A B

=


- Với các biểu thức A, B, C mà
N NA B
và
A B
, ta có

] ^C A B
C
A B
A B

=


A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3

Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
_
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
\k
a
và
\k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.

\ M
#
k
A
+
xác định với
A
\
#
k
A
xác định với

=
với

A, B
\
\ \
# #
k
k k
A B A B=
với

A, B mà
# NA B

\ M \ M
\ M
# #
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với

A, B
\ \
\
# #

k
k
A
A
B
B
=
với

A, B mà B

0,
# NA B

m
n mn
A A=
với

A, mà
NA

m
m
n
n
A A=
với

A, mà

- + + -

\] _ _^ \] _ _^
_ M b _ M b
- +
= +
- + + -

\ \
\] _ _^ \] _ _^
_ 2
- + +
=
-

\b \
b \
c
= =-
-
#7a`a
aaa_
#1aW#`#`aW#`#`
a``a_
Bài 2: Cho biểu thức A =
( )
\
M
M
R

( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
A
x
x x
x
+ + −
= =
−
−
^#:,da
_
M
+
1 1 3 9
3 2 4
x
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ =
]Y<D(I^
SB
9

x x
x
= ⇔ =
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
W
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
SB!iC6,)
5P
=
(
1
9
x =
Bi 3: 1) Cho biu thc
h b
d
h \
+
=
+
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36
2) Rỳt gn biu thc
h b h Mc
7 R
h b h b h \

+
= +
ữ

(x 16)( x 2) x 2
(x 16)(x 16) x 16
+ + +
=
+
_^R
2 4 2 2 2
( 1) . 1 .
16 16 16
2 2
x x x
B A
x x x
x x

+ + +
= = =
ữ
ữ

+ +

#
:,
( 1)B A
h+
16x
*6\l]\^a
}
{

+
=
MMM^^M^]]
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :;
NjMjNjN
+
yxyyx
.
( )
( ) ( ) ( )
]M ^ ]M ^
M M
x x y y xy x y
P
x y x y
+ +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
] ^
M M
x y x x y y xy x y
x y x y
+ + +
=
+ +

M M M
M
x y y y y
y
+
=

#x xy y= +
Vậy P =
#yxyx
+
b) :op:R
NjMjNjN
+
yxyyx
P = 2

#yxyx
+
= 2

( ) ( )
( )( )
MMM
MMM
=+
=++
yx
yyx
Ta có: 1 +

b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x

Z để M

Z.
HNG DN GII:
M =
x
x
x
x
xx
x

+
+

+
+
+

\
_
_
M\
cW
2\
a.ĐK
2jbjN

=

+
x
x
M
xx
xx
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
m
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh

( )
Mcb
b
Mc
bMc
MWWM
_WM
W
_
M
W$##
===
=
=+
=+
=


x
x
x
Do M
z

nên
_x
là ớc của 4


_x
nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta đợc:
{ }
b2j\WjMcjbjM

x
vì

bx
{ }
b2j\WjMcjM

x
Bi 6: Cho biu thc P = ( - )
2
. ( - ) Vi a > 0 v a 1
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0

=


= =
SB0a
1 a
a

SPkNqM
^ +,0rN
SkNqMkN
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
n
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
 0arNMerNkM]$:o^
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
^ sFR
tae]M`^R
ae#
aea
aa
^ oa_Rtaaa
Bài 8: Cho biểu thức

__
__


a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nh} nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
:(hRhkNkN
^
__
__
R
MM\
#
MM
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++








++
+


+
=
R
\
#

( )
( )
( )
yxxy
yxyx
xy
yx
xy
+
++








+
+=
R
\

( )

#\ xyyx
≥+⇔
9
M
Mc
Mc\
\
==≥
+
=
xy
xy
xy
yx
A
]+haMc^
SBdaM(
b#
Mc
x y
x y
xy

=

⇔ = =

=



xx
P
\
\
\
\
\M
_
M
M
a) Tìm điều kiện để P có ngh~a.
b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với
\\_
−=
x
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
#7,)0u(4(R







≠−−
≠−
≥−
>
N\M

M
_
\
M
N
x
x
x
x
x
x
x
^:(hR
_j\jM
≠≠≥
xxx









−
+
−
−


( )
( )( ) ( )






−
+
−
−






+−−−
+−−
−
−+−−
−+
=
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx

−
−−
−+
=
\
\\
#
\M
\M_
M
M
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MN
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh

( )
( ) ( )
( )
xx
x
x
xx
xx
xx
−
−−




−−
=
−
−−−−+=
\M#\M
#\MM
^
( )
\
M\\\_
−=−=
x
,)
x
x
P
−
=
\
R

( )
( )
M\
M\\
M\
M\\
M\
M\\
\

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
] _^ Mm x P x
− > +
HƯỚNG DẪN GIẢI:
^ R
\ ] \^x x x x
− = −
• :op:R
N
N N
b N b
\ N
x
x x
x x
x
≥


≠ >


⇔
 
− ≠ ≠




− − −
− −
=
− + −
− − − − +
=
− + −
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MM
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh

b n _
R
] \^] \^ ] \^
x x x
x x x x
− − − +
=
− + −
]:(Rh
≠
2^
ShkNh
b 2x
≠ ≠
+0a
b
_
x

⇒ = −
](K<:op:kN^
\
_
b
y =
]K<:op:kN^
S
_
b
y x
= =
+ha
2
Mc
]K<(h^
Vậy với x =
2
Mc
thì P = - 1
^
] _^ Mm x P x
− > +
](RhkNj
b 2x x
≠ ≠
^
b
] _^ M
_

]_ ^] \^
b
_
x x x x
x x x
x x x
x x
x
x
− + −
=
− + −
− −
=
− −
=
−
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
M M
2x
⇔ <
]/=T-GE*'>5-G=T-Gw-G'+Y'^
M M
b _c
M M M M
b b b _c
M M W
b b Mn
x

Kết luận:S
W
 2
Mn
m x
≥ >
+
] _^ Mm x P x
− > +
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho bi,u th)c :
\
\
\
M
\
M
#^
M
M
M
M
] x
x
xx
A −−
−
+
+
−

xxx
xx
A
^ sF,)#
^ P!i6
A
(
_\b
+=
x
C©u3 Cho bi,u th)c :
xxxxxx
x
A
−++
+
=
\
M
R
M
a) sF,)d#
b) 1d-G6;hJV sG A .
C©u4 Cho bi,u th)c :
M M M M M
da R
Me h M M M Mx x x x
   
+ − +
 ÷  ÷

0 M R M
h M
h M h h h h M

= +
ữ ữ
+
+

^T+:op:!F0
b) +!i6h,
0 h

B!i#
Câu 7 Cho

0 M M j N M
M M

+
= +
ữ ữ
+ +

a) Rút gn P.
b) Tìm a bi;t P >
\

.
c) Tìm a bi;t P =

+
=
Câu 9 Cho bi,u th)c
h M h M n h h h _ M
7 R
h M h M
h M h M h M

+
=
ữ ữ

+

a) RF gn B.
b) TP!i c6a B khi
h _ \ \
= +
.
c) Ch)ng minh rxng
7 M

vi mi gP tri c6a x thY<
h Nj h M

.
Câu 10 Cho
\
M M
$ M R M

















+
+
+
=
aa
a
aa
a
aa
A
.
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mb
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9

.
1. sF,)!#
\#+!i6h,gaM#
C©u 13 Cho bi,u th)c:
MNj
M
M
\
M\
\
≠>
+
⋅








−
−
−
++
+
= xx
x
x
x


−
+
−
−
+








−
−=
xxx
x
x
x
x
xx
A
.
M#sFd#
\#+h,daN#
C©u 15sF,)R
Mj
MM
M

+
−
++
+
+
−
+
=
xx
x
x
xx
x
xx
x
T
.
1#sF,)#
\#1)!xhkNhqMrMz_#
C©u 17 Cho bi,u th)c:
( )
#MjNj
M
M
M
M
_
≠≥
++
−

( ) ( )
 _  \   M M
0 R
 M
 M  M
 \  M
 
+ + +
 
 
= − +
 ÷
 
−
+ −
+ −
 
 
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
MW
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm a
M M
M
0 n
+

Bi 20: 1,)

N >
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
M \

h j h
\ \
+
= =
*) Nếu
N
=
phơng trình có nghiệm kép :
M \

h h
\

= =
*) Nếu
N <
phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai
\
h h N] N^+ + =
và
\{
=
\
{ { =

là hai nghiệm của phơng trình
\
h h N] N^+ + =
thì :
M \
M \

h h


h h


+ =




=


2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
\
h gh 0 N + =
(Điều kiện để có u và v là
\
g b0 N
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
\

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
\
z \h n N =
\
z _h Wh N =
_ \
z h _h \h c N+ =
\
z \h _h W N + + =
b \
E z h _h b N+ =
h \ c
} z _
h W \ h
+
+ =

Giải
\ \ \
z \h n N \h n h b h \ = = = =
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mm
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Vậy phơng trình có nghiệm

M \
W W
h Mjh
\ \
= = =

b \
E z h _h b N+ =
Đặt
\
h ] N^=
. Ta có phơng trình :
\
_ b N+ =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phơng trình có nghiệm :
M
M N= >
(thỏa mãn);
\
b
b N
M
= = <
(loại)
SR
\
M h M h M= = =
Vậy phơng trình có nghiệm
h M=

Phơng trình :
h \ c
_
h W \ h
+
+ =

\ \
\
\
]h \^]\ h^ _]h W^]\ h^ c]h W^
]h W^]\ h^ ]h W^]\ h^ ]h W^]\ h^
]h \^]\ h^ _]h W^]\ h^ c]h W^
b h ch _h _N MWh ch _N
bh MWh b N
MW b#] b^#b \\W cb \n2 Nj Mm
+
+ =

+ + =
+ + =
+ + =
= = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
M
MW Mm M
h
\#] b^ b
+
= =

\ \
M \
h h 2+ =
.
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
Mn
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
\
\
h \h M N
]h M^ N
h M N

_ _ _ _ _ \
M \ M \ M \ M \
h h ]h h ^ _h h ]h h ^ ] ^ _] _^] ^ _ 2+ = + + = + = + +
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
M \
h j h N
Khi đó
\ \ \
M \
h h \ c+ =
Do đó
\ \ \ \
M \
h h 2 \ c 2 \ MW N+ = = =
\
]^ ]^
{ ] M^ M#] MW^ M MW Mc Nj b = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
M \
M b M b
Wj _
M M
+
= = = =
Thử lại : +) Với
W m N
= = <
=> loại.
+) Với
_ 2 N= = >

M \ M \ \ M \
h h _h _h _ h _ W h _ W
\h _h W \h _h W h h h \ W
+ = + = = =



+ = + = = = +

Thay
M
\
h _ W
h \ W
=


= +

vào (b) ta có phơng trình :
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
M2
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
\
\
\
\
]^
] _ W^]\ W^ _

= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với
m
\j
_
= =
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
\
M
h _ ] _^ #] _^ _ N \ M\ N c= + + + = + = =
Khi đó :
M \ \ M \ \
h h h h h c ] _^ h _+ = = = =
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
N M#] _^ N _ N _ < + < + < <

^3_aN
Bài 3:
Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
\
_
(là nghiệm)
+ Nếu m q 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm

= 3m-2 0 m
_
\
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
_
\
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
\
_

_
với m =
_
\
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
b
_
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
b
_
-1=
b
M

q 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
cM\
b
M
_

2
của phơng trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2


10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2

HNG DN GII:
a) Ta có:

= (m-1)
2
( 3 m ) =
b
MW
\
M

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\M
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0

_
_
M
N^_]
N^M]\
<



<
<


2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0





















N
\
_
\
_
N
\
_
N
N_\
N
N_\
N
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m
\

+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 x
1

M
\
x
)
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn
\
MM
M
x
xy +=
;
M
\\
M
x
xy +=
với x


=





=

m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có

= 1
2
(m-1) = 2 m
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\\
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2



=+
=+
m
W
\
W
M\_
b\\
M\_
\
\
M
\M
M
\M
\M
\M
\M
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm

MM
\M
\M
\M
\M
\M\M
(mq1)

M
\
M
M
M\
M
^
M
^]
M
]
\
\M
\M
M
\
\
M\M

=+

+=++=++=

+ 2my + m
2
= 0
C. MT S BI TP T LUYN
Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\_
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
M= x
* m
M
: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0
M
M
= x
;
M
\
M
M
M
\

+=


n
m
Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là
\
M
:
mx
2
+ (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
( )







=+++
=

N
\
M
#M
b
N
N
nmn
m

+ (m - 2)x +
b
m
= 0 (1)
và 4x
2
- 4(m - 3)x + 2m
2
- 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
^b^]M]
M
= mm
;
^b^]M]Mc
\
= mm
N^b]^M]Mc#
\\
\M
= mm


có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ 2x + m = 0
x

Toỏn PhanAnh Trao Tri Thc Gi Nim Tin
\b
TI LIU THAM KHO ễN TP V LUYN THI TON 9
Toỏn THCS THPT: PhanAnh
Bài 8 : Gọi
M
x
và
\
x
là những nghiệm của phơng trình : 3x
2
- (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn :
cW_
\M
= xx
HDẫn : *
_
b
N^b_]
\
+= kk
*




=
=

b
\
m
m
loại m =
_
b
Bài 10: Cho phơng trình
( )
NM\\
\
=+++ mxmx
. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để
( ) ( )
\
M\\M
\M\M mxxxx =+
HDẫn : *
{

=
N
b
_
\

Bài 11: Cho phơng trình
( )
Nm\_\
\
=+ mxmx
(1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. hãy tìm m để
m
xx
=
+
+
+ M
M
M
M
\M
HDẫn : *

=
( )
Nb
\
m
*
m

= m , x
2
= m + 1

x
1
< x
2
Do đó:
_\
_
\
b
\
\
M
<<



<
>




<
>
m
m







x
x
x
x
HDẫn : *
{

= a
2
- 4

0






\
\
a
a

*

+








x
x
x
x
x
x
x
x
( )
W
\
\
\M
\M
\
\M