Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài giảng tại lớp Tiết 49, 50, 51, 52
I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu hỏi 1> Cho dãy số ( u
n
) với

a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

Hãy tính các khoảng cách từ u
4
; u
10
; u
100
; u
2008
; …
đến 0

Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n
trở nên rất lớn ?
n
u
n
1


Ta ký hiệu: u
n
0

ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )

VÝ dô 1: Cho d·y sè (u
n
) víi

Chøng minh r»ng
( )
2
1
n
u
n
n
−
=
0lim
=
+∞→
n
n
u
ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)

Ví dụ 2: Cho dãy số ( u

a
n
n
n
k
nn
=
=
==
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
lim)
0lim)
0
1
lim;0
1
lim)
II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

ĐINH LÝ 1:
a
a
b
a
ba
ba
va
=

bavu
u
CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 3:

Tìm

Lgiải: Chia cả tử và
mẫu cho n
2
thì:
2
2
1
3
lim
n
nn
+
−
1
1
1
3
1
3
2
2
2



+






−
=
+
−
=






+=






n
n
n

2
2
1
4
1
lim
2
1
4
1
lim
2
2
−=
−
=
−
+
=






−
+
=
+
n

3
1
1
n
u
n
0
1
lim,1
.
1
1
2
2
==−=
=−=
n
u
n
u
n
n
nn
nn
limw v cãTa
wvµ vÆt §
(2) wv
nn nn
wu
≤≤−=

,
n
2
1
:sau sè cÊp vÒxÐt nhËn unª H·y
*/ Dãy số là một cấp số nhân. Vì sao?
*/ Công bội là q = 1/ 2, q < 1
*/ Dãy số là cấp số nhân vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn
có công bội q với / q / < 1
III/ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
,
3
1
, ,
27
1
,
9
1
,
1
−






−−

−
=














−
−
−
=








−
−

n
n
n
n
c Ta
q
u
uuu
n
−
=++++=
1

1
21
Tæng S2)
n
Các ví dụ:

Ví dụ 5: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn
(u
n
), sau:
n
3
1
=
n
u Víi 1/


= n

1/ Hãy kể một vài số hạng u
2008
?

2/ Cho u
n
là một số tự nhiên bất kỳ, có thể chỉ ra
được những số lớn hơn u
n
không?

3/ Hãy nêu nhận xét về dãy số vừa xét? Khoảng
cách giữa 0 và u
n
như thế nào khi n —> +∞ ?
Định nghĩa về giới hạn vô cực: ( SGK )
Kí hiệu: limu
n
= +∞ hay u
n
—>+∞ khi n—>+∞
Limu
n
=-∞ hay u
n
—>-∞ khi n—>+∞
Nhận xét: limu
n



+
( )
25 −+ n
2
n-lim TÝnh
Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng
vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.
3/ Định lý:
Định lý 2:
+∞=>=+∞=
+∞=
∀=>=
=+∞==
n
vac
ab
a
nnn
n
n
nn
n
n
nn
limu thi limv vµ limu NÕu
v
u
lim