CHƯƠNG II:
THU THẬP VÀ TRÌNH BÀY DỮ LIỆU THỐNG KÊ
Bài 2.1: Phân tổ công nhân theo bậc thợ:
1. Ta có:
1
3
1
3
(2* ) (2*84) 6n k= = =
Khoảng cách tổ:
ax min
( 1)
7 1 (6 1) 1
6 6
m
X X n
d
n
− − −
− − −
= = =
Kết quả phân tổ công nhân theo bậc thợ:
Bậc thợ
i
x
Số CN
i
f
Tần suất
/
i i

∑
i
i
g
d
1-5 7 17.5 1.75
6-10 9 22.5 2.25
11-15 10 25 2.5
16-20 8 20 2
21-25 6 15 1.5
Tổng 40 100
Bài 2.3: Khoảng cách tổ:
ax min
25,3 19
0,9
7
m
X X
d
n
−
−
= = =
Kết quả phân tổ:
Thời gian Số CN Tần suất
Tần số tích
luỹ
19 -19.9 5 0.1 5
19.9 - 20.8 6 0.12 11
20.8 - 21.7 9 0.18 20

kc
t x
= =
=> Chỉ tiêu về vốn đầu tư xâu dựng của bộ phận xâu lắp chiếm 64% tổng vốn dầu
tư xây dựng.
8195,9
100% 227,4%
3603,5
kg
t = × =
=> Chỉ tiêu về vốn đầu tư xây dựng của bộ phận xây lắp so với chỉ tiêu của bộ
phận thiết bị là 227.4%
Bài 3.2: Tính các số tương đối thích hợp nhằm đánh giá kế hoạch doanh thu
của từng cửa hàng và cả công ty.
Các số tương đối có thể tính được: t
đt ,
t
nv ,
t
ht

Theo yêu cầu của bài toán, chúng ta chỉ tính: t
nv
, t
ht
Tên cửa
hàng
Thực tế
quý I
Kế hoạch

ht
KH
y
t
y
= = =
Như vậy, thực tế quý 2 đã không hoàn thành kế hoạch đặt ra là 2,5%
Bài 3.3:
1 Tính số tương đối giảm giá thành:
Ta có:
0
0,95
KH
nv
y
t
y
= =
1
dt
0
0,93
y
t
y
= =
Ta có:
.
0,93
0,98

=
=
⇒ = = =
Vậy, chỉ tiêu về thời gian lao động hao phí của kỳ nghiên cứu không hoàn thành so
với kế hoạch đặt ra.
3
1,08
1,12
1,12
1.03
1,08
nv
dt
dt
ht
nv
t
t
t
t
t
=
=
= = =
Vậy trong kỳ nghiên cứu xí nghiệp đã không hoàn thành kế hoạch đặt ra về chỉ tiêu
số lượng là 3%.
Bài 3.4:
Tên
Hợp tác xã
Vụ hè thu Vụ đông xuân

i i
i
x f
x
f
× + × + ×
= = =
∑
∑
Năng suất lúa bình quân vụ đông xuân.
2. Tính năng suất lúa bình quân mỗi vụ trong năm của toàn xã?
35,4 400 37,9 400
36,65
800
i i
i
x f
x
f
× + ×
= = =
∑
∑
Bài 3.5: Tình hình thu hoạch lúa trong năm của 3 hợp tác xã thuộc một xã
như sau:
Hợp tác xã
Năng suất
(tạ/ha)
Tỷ trọng diện tích thu
hoạch( %)

(1000đ)
Số 1 120 180 36 74
Số 2 180 160 35 76
Số 3 250 200 40 70
1. Lượng phân hoá học bình quân cho một ha:
1
180 120 160 180 200 250
182,5( )
550
i i
i
x f
x kg
f
× + × + ×
= = =
∑
∑
Vậy, lượng phân hoá học bình quân cho 1 ha lúa là: 182,5 (kg)
2. Năng suất thu hoạch lúa bình quân:
2
36 120 35 180 40 250
37,5
550
i i
i
x f
x
f
× + × + ×

45-50 25
50-55 5
1. Có thể tính năng suất thu hoạch lúa bình quân của toàn huyện hay không?
Trả lời: không thể tính năng suất thu hoạch lúa bình quân của toàn huyện.
2. Điều kiện để tính được năng suất bình quân: trước tiên cần phải tính trị số
giữa của mỗi tổ.
Năng suất lúa bình quân:
32,5 10 37,5 20 42,5 40 47,5 25 52,5 5
42,25
100
X
× + × + × + × + ×
= =
Vậy, năng suất bình quân lúa của các hợp tác xã năm báo cáo là: 42,25 (tạ/ha)
Bài 3.9:
1. Tốc độ bình quân của xe trong tất cả lượt đi và về, biết rằng quảng đường từ
nhà ga đến nông trường là 120 km
4 120
43, 26
120 120 120 120
40 35 45 60
i
i
i
M
x
M
x
×
= = =

quý trong năm
(%)
Giá thành
đơn vị sản
phẩm
(1000đ)
Tỷ trọng sản
lượng của từng
quý trong năm
(%)
I 19,5 16 20,0 18
II 20,2 35 21,4 36
III 20,4 30 19,2 29
IV 19,8 19 18,5 17
1. Giá thành bình quân đơn vị sản phẩm của xí nghiệp X:
19,5 16 20,2 35 20,4 30 19,8 19
17,307
100
i i
i
x d
x
d
× + × + × + ×
= = =
∑
∑
Vậy, giá thành bình quân đơn vị sản phẩm của xí nghiệp X là: 17,307 nghìn đồng
2. Giá thành bình quân đơn vị sản phẩm của xí nghiệp Y:
100

B 360 92 350 94
1. Tỷ trọng vải loại I bình quân mỗi quý của từng xí nghiệp trong 6 tháng:
90 240 92 250
245,05
182
i i
A
i
x f
x
f
× + ×
= = =
∑
∑
360 92 350 94
354,9
186
i i
B
i
x f
x
f
× + ×
= = =
∑
∑
2. Tỷ trọng vải loại I bình quân chung cho cả 2 xí nghiệp trong quý III, IV, và
trong 6 tháng cuối năm:

300,54
368
i i
i
x f
x
f
× + ×
= = =
∑
∑
Bài 3.12: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân 3 tổ trong một xí nghiệp cơ
khí như sau:
Tổ I 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12
Tổ II 3 5 8 10 12 15 16
Tổ III 2 3 4 4 4 5 5 7 7 8
Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?
* Tổ I:
- Tuổi nghề bình quân:
1
2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12
7,81
11
i
x
x
n
+ + + + + + + + + +
= = =
∑

n
+ + + + + + + + +
= = =
∑
- Số mốt : Mode = 4
- Số trung vị: 10 = 2 x 5 => Me = (4 + 5) / 2 = 4,5
Bài 3.13:
Ta có cột trị số giữa như sau:
Phân tổ CN theo
năng suất lao
động ngày (kg)
Trị số giữa Số CN
i
i
i
f
R
d
=
400 – 450 425 10 0,2
450 – 500 475 15 0,3
500 – 600 550 15 0,15
600 – 800 700 30 0,15
800 – 1200 1000 5 0,125
Tổng 75
1. Năng suất lao động bành quân:
425 10 475 15 550 15 700 30 1000 5
608,3
75
i i

M M
M M M M
R R
M x i
R R R R
−
− −
−
−
= + × = + × =
− + − − + −
(Ta thấy: 450 < 470 <500 =>đúng)
3. Số trung vị về năng suất lao động ngày của công nhân:
Tổ có số Me là tổ 3
 Trị số gần đúng của Me:
( 1)
(min)
75
(10 15)
2 2
500 100 583,3
15
i
Me
Me Me
Me
f
S
Me x h
f

i
x x
n
−
∂ =
∑
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2 7) (2 7) (5 7) (7 7) (9 7) (9 7) (10 7) (11 7) (12 7)
9
− + − + − + − + − + − + − + − + −
=
=12,4
4
2
12,44 3,52∂ = ∂ = ≈
=>
1
1
3,52
100% 100% 50,28%
7
V
x
∂
= × = × =
Về tiền lương:
2
800,3x =
2
940 633 307R = − =

2
2
95,5
100% 100% 11,9%
800,3
V
x
∂
= × = × =
=> Ta thấy,
1 2
R R
>
à độ biến thiên về tuổi nghề nhỏ hơn độ biến thiên về tiền
lương à tính chất đại biểu của số bình quân về tuổi nghề cao hơn tính chất đại
biểu của số bình quân về tiền lương.
Bài 3.15:
Năng suất lao động Trị số giữa Số CN
30 – 40 35 10
40 – 50 45 30
50 – 75 62,5 40
75 – 100 87,5 15
100 – 125 112,5 5
a. Năng suất lao động ngày bình quân:
35 10 45 30 62,5 40 87,5 15 112,5 5
60,75
10 30 40 15 5
i i
i
x f

i
x x f
f
−
− + − + + −
∂ = = =
∑
∑
2
10,5⇒ ∂ = ∂ =
d. Hệ số biến thiên về năng suất lao động ngày của công nhân:
10,5
100% 100% 32,09%
60,75
V
x
∂
= × = × =
Bài 3.16: Có tài liệu về tiền lương của các công nhân trong một doanh nghiệp
như sau:
Loại công nhân Số công nhân
(người)
Mức lương tháng mỗi công
nhân (10.000đ)
Thợ rèn 2 170; 180
Thợ nguội 3 160; 180; 200
Thợ tiện 5 170; 190; 200; 210; 230
1. Tiền lương bình quân của công nhân mỗi loại và toàn thể công nhân:
- Tiền lương bình quân của công nhân mỗi loại:
Ký hiệu: Thợ rèn:

∑
lương bình quân của thợ nguội là 1,8 triệu đồng.
3
170 190 200 210 230
200
5
i
x
x
n
+ + + +
= = =
∑
lương bình quân của thợ tiện là 2 triệu
đồng.
- Tiền lương bình quân của toàn thể CN:
175 2 180 3 200 5
189
10
i i
i
x f
x
f
× + × + ×
= = =
∑
∑
2. Phương sai chung và các phương sai tổ về tiền lương:
- Phương sai chung:

2
2 2 2
2
2
( )
(160 180) (180 180) (200 180)
266,66
3
i
x x
n
−
− + − + −
∂ = = =
∑
2
2 2 2 2
2
3
( )
(170 200) (190 200) (210 200) (230 200)
400
5
i
x x
n
−
− + − + − + −
∂ = = =
∑

∑
∑
5. Dùng quy tắc cộng phương sai để kiểm tra lại kết quả tính toán:
2 2 2
i
∂ =∂ +∂
=>
409 285 124
= +
=> Đúng
Bài 3.17: Trong tổng số 10000 bóng đèn của Xí nghiệp bóng đèn-phích phích
nước sản xuất ra, người ta điều tra thấy có 200 phế phẩm. Tính phương sai của tiêu
thức phẩm chất bóng đèn sản xuất?
Ta có: Tỷ lệ bóng đèn phế phẩm (xác suất)
200
0,02
10000
p
= =
à Tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn:
1 1 0,02 0,98q p
= − = − =
Vậy tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 98%
 Phương sai của tiêu thức phẩm chất bóng đèn là:
2
0,02 0,98 0,0196p q∂ = × = × =
Chương 4: DÃY SỐ THỜI GIAN
Bài 4.1
a. Đây là dãy số thời kỳ vì ta thấy số liệu nói về chỉ tiêu kết quả, có thể cộng
dồn.

4
+ + +
=
Bài 4.2
a. Đây là dãy số thời điểm.
b. Giá trị hàng hoá tồn kho bình quân trong mỗi tháng:( Đơn vị tính: triệu
đồng)
Tháng 1:
1
Y
=
122 120
121
2
+
=
Tháng 7:
7
Y
=147
Tháng 2:
2
Y
=124 Tháng 8:
8
Y
= 146
Tháng 3:
3
Y

120 / 2 122 126 128/ 2
124
3
+ + +
=
Quý 2:
II
Y
=
128/ 2 134 140 146/ 2
137
3
+ + +
=
Quý 3:
III
Y
=
146 / 2 148 144 140/ 2
3
+ + +
= 145
Quý 4:
IV
Y
=
140 / 2 145 134 126/ 2
3
+ + +
= 137.33

( đơn vị tính: người)
Ngày 1.1 14.1 28.2 16.4 17.8 21.10 31.12
Số CN 146 149 156 161 159 162 162
Đây là dãy số thời điểm.
b. Số công nhân bình quân trong danh sách của xí nghiệp:
Y
=
146*13 149*15 156*48 161*123 159*65 162*72
366
+ + + + +
= 158.17 (người)
( Trong năm có các tháng có 31 ngày là: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12 và tháng 2 có 29 ngày
vì năm đó là năm nhuần).
Bài 4.5
a. Giá trị sản xuất thực tế bình quân mỗi tháng (triệu đồng):
Y
=
316 336 338
3
+ +
= 330
b. Số công nhân bình quân mổi tháng:
Tháng 1:
1
Y
=
300 304
2
+
= 302

304
+ +
= 3.25
d. Tỉ lệ % hoàn thành kế hoạch bình quân trong quý 1
Theo công thức:
ht
t
=
1
kh
y
y
và
x
=
i
i
i
x
µ
µ
∑
∑
Nên ta có:
y
=
316 336 338
316 336 338
102 105 104
+ +

2704 2442 262y y
σ
= − = − =
( giá trị sản xuất năm 2005 cao hơn năm 2004 là 262
triệu đồng).
5 5 4
3040 2704 336y y
σ
= − = − =
( giá trị sản xuất năm 2006 cao hơn năm 2005 là 336
triệu đồng).
• Lượng tăng tuyệt đối định gốc:
1 1 0
0y y∆ = − =
( vì năm 2002 lấy làm gốc).
2 2 0
200y y∆ = − =
( giá trị sản xuất năm 2003 cao hơn so với 2002 là 200 triệu
đồng).
3 3 0
442y y∆ = − =
(giá trị sản xuất năm 2004 cao hơn so với 2002 là 442 triệu đồng).
4 4 0
704y y∆ = − =
(giá trị sản xuất năm 2005 cao hơn so với 2002 là 704 triệu đồng).
5 5 0
1040y y∆ = − =
(giá trị sản xuất năm 2006 cao hơn so với 2002 là 1040 triệu
đồng).
b. Tốc độ phát triển qua các năm:

5
5
4
1.124
y
t
y
= =
(tốc độ phát triển của năm 2006 so với năm 2005 là 12.4%).
• Giá trị định gốc:
1
1T =
(vì lấy năm 2002 làm gốc)
2
2
1
1.1
y
T
y
= =
3
3
1
1.221
y
T
y
= =
( tốc độ phát triển năm 2004 so với năm gốc tăng 22.1%)

c. Tốc độ tăng qua các năm:
*Giá trị liên hoàn:
2 2
1 1.1 1 0.1a t= − = − =
( năm 2003 so với năm 2002).
3 3
1 1.11 1 0.11a t= − = − =
(năm 2004 so với năm 2003).
4 4
1 1.108 1 0.108a t= − = − =
(năm 2005 so với năm 2004).
5 5
1 1.124 1 0.124a t= − = − =
( năm 2006 so với năm 2005).
*Giá trị định gốc:
1 1
1 0b T= − =
( lấy năm 2002 làm gốc).
2 2
1 0.11b T= − =
3 3
1 0.221b T= − =
4 4
1 0.352b T= − =
5 5
1 0.52b T= − =
Tốc độ tăng bình quân:
1 1.109 1 0.109a t= − = − =
như vậy tốc độ tăng bình quân qua các năm là 10.9%.
d. Giá trị tuyệt đối của 1% tăng qua các năm( 1% tăng ứng với sự tăng lên một

y
c = = =
Bài 4.7
a. Chỉ tiêu lượng tuyệt đối là lượng tăng tuyệt đối liên hoàn( sản lượng qua các
năm đều tăng).
b. Bảng tình hình sản xuất của một xí nghiệp:
Căn cứ lập bảng
97 96
97 97 96 97 96
96
. 0,16 78 78 90,48
G G
a G G a G
G
−
= ⇒ = + = × + =
98 98 97 98 97 98
90,48 13 103,48G G G G
δ δ
= − ⇒ = + = + =
99
00 99
1,13 113
100
G
c G= = ⇒ =
00 99 00
00 00
99
.

i i
i
i
i
G G
G
t
G
a t
c
a
δ
δ
−
−
= −
=
= −
=
Chỉ tiêu 96 97 98 99 00 01 02
1.Giá trị sản xuất( G-triệu
đồng)
78 90,48
103,4
8
113 119,78
128,7
8
135,22
2.Lượng tuyệt đối tăng(

= = = =
∏
Như vậy, từ năm 1996 đến năm 2002 tốc độ phát triển bình quân của xí nghiệp là
9.59%/năm.
Bài 4.8
Tốc độ phát triển định gốc của chỉ tiêu lợi nhuận của xí nghiệp: (2001 = 100 % )
Năm 2001 2002 2003 2004
Tốc độ phát triển định gốc(%) 100 112 134 146
b. Tốc độ phát triển liên hoàn qua các năm:
2 2 1
2 2 1 2
1 1 1
112
112 112 112
y y y
T y y t
y y y
= = ⇒ = ⇒ = = =
( năm 2002 so với năm 2001).
3 3 2 3
134
. 134 119.6%
112
T t t t= = ⇒ = =
(năm 2003 so với năm 2002).
4 4 3 2 3
146
. . 146 108.9%
112*119.6
T t t t t= = ⇒ = =

4 191 200.6 18 230 223
5 196 201.2 19 234 232.2
6 210 203 20 233 233.4
7 205 207.8 21 236 235
8 213 210.6 22 234 236
9 215 210.2 23 238 238.4
10 210 213 24 239 239.6
11 208 214.4 25 245 242
12 219 216 26 242 244.6
13 220 213.2 27 246 -
14 223 209.6 28 250 -
Bài 4.10
Năm
Doanh thu
(tỷ đồng)
Thứ tự năm ( t )
1997 346 1
1998 369 2
1999 441 3
2000 354 4
2001 506 5
2002 516 6
2003 467 7
2004 521 8
2005 566 9
2006 648 10
a. Xây dựng đường hồi quy tuyến tính:
Phương trình tuyến tính:
ˆ
i i

⇒

28460 55 385a b
= +

⇒

29.3696b
=
Như vậy phương trình tuyến tính là:
ˆ
311.886 29.3696
i i
Y t= +
b. Dự báo doanh thu của doanh nghiêp năm 2010:
Vào năm 2010 thì
i
t
=14, ta có doanh thu là:
311.866 29.2696*14 723.04DT = + =
( tỷ đồng).
Chương 5 : CHỈ SỐ
Bài 5.1
Sản
phẩm
Giá bán
( 1000đ)
Lượng hàng bán
(chiếc)
1 1

= = =

1 0
320 300 20
p
p p∆ = − = − =
Giá của sản phẩm A vào kỳ báo cáo tăng 6.6% so với kỳ gốc, tương ứng một sự
tăng về lượng là 20000đồng.
• Sản phẩm B:
1
0
180
1.028
175
p
p
i
p
= = =
1 0
180 175 5
p
p p∆ = − = − =
Giá của sản phẩm B vào kỳ báo cáo tăng 2.8% so với kỳ gốc, tương ứng một sự
tăng về lượng là 5000đồng.
• Sản phẩm C:
1
0
150
1.071

∑ ∑
Như vậy, ở kỳ báo cáo giá chung cho tất cả các sản phẩm tăng 5.5% tương ứng với
lượng tăng về giá là 101700000đồng.
b. Chỉ số phản ánh tình hình biến động về lượng bán riêng cho từng loại sản
phẩm:
* Sản phẩm A:
1 0
4200 4000 200
q
q q∆ = − = − =
Lượng bán của sản phẩm A vào kỳ báo cáo tăng 5% so với kỳ gốc, tương ứng một
sự tăng về lượng là 200 chiếc.
• Sản phẩm B:
1
0
3120
1.006
3100
q
q
i
q
= = =
1 0
3120 3100 20
q
q q∆ = − = − =
Lượng bán của sản phẩm B vào kỳ báo cáo tăng 0.6% so với kỳ gốc, tương ứng
một sự tăng về lượng là 20 chiếc.
• Sản phẩm C: