ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
• • •
Ứ N G D Ụ N G P H Ư Ơ N G P H Á P Đ Ạ I S Ó T Ỏ H Ợ P
• • •
Đ Ẻ T Í N H Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC, ĐẠI HỌC QUỔC GIA HÀ NỘI
Hà Nội - 2009
DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THựC HIỆN ĐÈ TÀI
1. PGS.TS. N guyễn Nhụy, Trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà N ội - Chủ
nhiệm đề tài
2. ThS. N guyễn Đức Can, Trường Đ H Giáo dục, ĐHQG HN - Thư ký đề tài
3. TS. V ũ Thị H ồn g T hanh, K hoa T oán, Đ ạ i h ọc V inh - Thành viên
4. TS. L ê X uân S ơn , K hố i ch u yên T oán, Đ ại học V inh - Thành viên
5. ThS. N gu y ễ n N g ọ c Q uỳnh , H V iện Y h ọc cổ truyền H N -Thành viên.
3
Trang
Muc luc 3
• •
Mtf đầu 4
Chưong 1. Độ đo xác suất rời rạc. Dãy số Fibonacci và Tỷ số vàng 7
1.1. Sự ra đời của dãy Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên 7
1.2. Khái niệm dãy Fibonacci 10
1.3. Tỷ số vàng 14
1.4. Hệ thức truy hồi tìm số Fibonacci 22
1.5. Mở rộng dãy số Fibonacci 25
1.6. Độ đo xác suất rời rạc 28
Chương 2. ứ n g dụng dãy số Fibonacci và T ỷ số vàng để tìm độ đo 29
xác suất trong Bài toán (0,1,4)
2.1. Một số khái niệm cơ bản 3 0

rạc, một vấn đề Toán học mang tính thời sự hấp dẫn, được nhiều nhà Toán
học trên thế giới quan tâm.
2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
Các tập Fractal bắt đầu được để ý từ cuối thế kỷ X IX và những thập
niên đầu của thế kỷ XX , nhưng nó được đặc biệt quan tâm vào cuối những
năm 70 của thế kỷ trước, khi xuất hiện một loạt công trình nghiên cửu hết sức
có ý nghĩa của B enoit Mandelbrot và đặc biệt là tác phẩm nổi tiếng của ông:
“T h e F r a c ta l G e o m e tr y o f N a t u r e Chủ đề này đã trở thành một khoa học
thực thụ vào cuối những năm 80 của thể kỷ XX.
Sự ra đời của Hình học Fractal đó giúp chúng ta giải thích được những
đặc thù và cấu trúc phức tạp, tinh tế trong tự nhiên cũng như trong xã hội. Có
5
thể nói, Hình học Fractal đó cung cấp cho các nhà khoa học một cụng cụ khảo
cứu hết sức mạnh mẽ và lý thú đối với hầu hết các lĩnh vực, từ Toán học, Vật
lý học, Thiên văn học, H óa học, Sinh học, N gôn ngữ học cho đến Nghệ thuật,
Âm nhạc, Kinh tế , v à đặc biệt là Công nghệ thông tin và truyền thông.
Chính vì thế, môn Hình học Fractal đó được giới thiệu trong sách Hình học
lớp 11 phổ thông trung học.
Công cụ để khảo sát các đối tượng Fractal phổ biến nhất đó chính là
chiều. Ban đầu người ta có một công cụ khá hữu hiệu để mô tả các tập Fractal
là chiều Hausdorff. Tuy nhiên, chiều H ausdorff đo các đối tượng ở mức độ
tương đối “thô” và chỉ để mô tả các tập Fractal ở khía cạnh tổng thể, còn khi
muốn tìm kiếm cấu trúc tinh tế của Fractal, ta phải tìm hiểu tính chất “địa
phương” của các đối tượng Fractal đó.
Người ta thấy rằng, tại một h-lân cận đủ nhỏ của một điểm s, nếu ký
hiệu f! l à độ đo fractal và g ọ i a(s) là chiều địa phương c ủ a độ đo Fractal ấy
tại điểm s thì ta có thể xấp xỉ
|i ( [ s - h ,s + h ] ) ~ h a ^s\
Như vậy, nếu xác định được chiều địa phương của một độ đo Fractal, ta có
thể biết gần đúng khối lượng của tạp Fractal tại lân cận của điểm đó.

mới. Neu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào
bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
V à đó là tiề n thâ n của d ã y số F ibo n ac ci đ ư ợc xác đ ịnh b ằn g cách liệt kê các
ph ần tử nh ư sau:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
T ron g đó: các p h ầ n tử n ằm tro n g dãy số nà y luôn luô n b ằn g tổ n g của 2 số liền
trướ c nó. N ế u lấy tổ n g h a y h iệu c ủa các số liên tiếp ta sẽ đ ượ c m ột d ãy số
tươ n g tự. D ãy số F ib o n a c c i đ ư ợc cô n g bố n ă m 1202 v à đượ c “ tiến h ó a” hầu
n h ư vô tận. C h ín h đ iều đó, đã thu hú t đ ư ợ c rất n h iều sự q uan tâm cũ ng nh ư
làm c hú n g ta say m ê n g h iê n cứu, k h ám p h á các tính ch ất của nó.
D ãy F ib o n ac c i x u ấ t h iện ở khắ p nơ i tro ng tự nh iên . N h ữ n g ch iếc lá trên
m ộ t n h àn h cây m ọ c các h nh au n h ữ n g k h o ả n g tư ơ ng ứ n g v ới dãy số F ibonacci.
C ác số F ib o n a cci x u ấ t h iện tro n g n h ữ n g b ô n g hoa. H ầu h ết các bông h oa có
số cán h h o a là m ộ t tro n g các số: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,3 4, 55 ho ặc 89 , H o a
L oa k èn có 1 cánh, h o a T ai bư ớ m có 2 cán h , h o a Đ ịa lan có 3 cánh, ho a M ao
lươ ng v àn g có 5 c ánh , h o a Phi y ế n thư ờ n g có 8 cánh , hoa V ạn cúc th ọ có 13
cán h, h o a C úc tây có 21 cán h, h oa C úc th ư ờ n g có 34, h o ặc 55 hoặc 89 cánh,
C ác số F ibo n a cci c ũ n g x u ấ t h iện tro n g các b ôn g h o a H ư ớ ng d uơng. N hữ n g nụ
n h ỏ sẽ k ết th à n h h ạ t ở đ ầ u bôn g hoa H ư ớ n g dư ơng đ ư ợ c xế p th àn h hai tập các
8
đườ ng xo ắn ốc: m ộ t tập cuộn th e o ch iều k im đ ồn g hồ, còn tập kia cuộ n ngược
theo chiều kim đ ồ ng h ồ . s ố các đ ư ờ ng x o ắ n ốc h ư ớ ng thu ận ch iều kim đ ồn g
hồ thư ờ ng là 34 cò n n gư ợ c chiều kim đồn g h ồ là 55. Đ ô i k hi, các số n ày là 55
và 89, và th ậm ch í là 89 v à 144.
M ột số h ìn h ản h sau ch o ch ú n g ta thấy đ iều nói trên:
Hoa Ly 1 cánh
Hoa Tai bướm 2 cánh
Hoa 3 cánh Hoa 5 cánh
H o a 34 cán h
Sô nhánh tại môi giai đoạn phát triên

C họn A n = 8, do đ ó 8 X 13 = 3 X 34 + 2. T iếp theo chọ n An = 34, ta có 34 X 55
= 13 X 1 4 4 - 2 . C ũ n g tươ n g tự n h ư trê n ta tro n g trư ờ n g họ p A n= 8 thì n =6
(chẵn) nên cộ n g 2, cò n A n = 34 thì n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2.
N h ữ n g đẳn g thứ c cò n lại có thể k iểm c h ứ n g dễ d àn g th eo cách tươ ng tự. C h ú
ý rằn g, trong n h ữ n g số trên, n h ữ ng con số m à c h úng ta thêm h ay b ớ t theo th ứ
tự là:
±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104
H iệu số g iữ a nh ữ n g số này sẽ là: 1 4 9 25 64 H ay : l 2 2 2 32 52 82
Đ ây lại là m ột đ iều th ú vị nữa, bởi từ k ết q u ả trên ta th ấy hiệu của n h ữ n g con
số đư ợ c thêm và o (h a y b ớ t đ i) ở các đ ẳn g th ứ c trên k hô n g gì k hác h ơn là b ình
p h ư ơ ng củ a các số h ạn g củ a dãy F ibo nacci.
b) Tỉnh chất bất ngờ thứ hai
C h ú n g ta tiếp tục x ét v à thử lại các đ ẳn g thứ c sau:
An-1 X An+1 = (A n)2± l 2 (A i2)
A „.2 X A n+2 = (A n)2± l 2 (A 22)
A n.3 X A n+3 = (A n)2± 2 2 (A 32)
An.4 X A n+4 = (A n)2± 3 2 (A 42)
A n_5 X A n+5 = (A n)2± 52 (A 52)
c) Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác
N ế u đem n h ân đ ôi m ộ t số h ạ n g b ất k ỳ rồi trừ đi số h ạng kế tiếp n ó thì
k ế t q u ả sẽ b ằn g số h ạn g đ ứ ng trư ớ c nó 2 v ị trí:
2 .A n A n+1 — A n.2.
C h ẳn g hạn, A 5 = 5, ta có 2 X 5 - 8 = 2 = A 3.
d) Tính chất thú vị có tên bình phương
T ừ dãy F ib o n acci ta tạo m ột dãy m ớ i bằn g cách đem bình ph ư ơ n g các
số h ạn g có trong d ã y đó . V ớ i dãy F ibo n acci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
T a có dãy số m ớ i là:
12
1, 1 ,4 , 9 ,2 5 ,6 4 , 1 6 9 ,4 4 1 , 1 1 5 6 ,3 0 2 5 ,7 9 2 1 ,2 0 7 3 6 , 54289, (*)

Jekuthiel Ginsburg.
C húng ta th ử kiểm ch ứ n g lại k ết q u ả này . V í dụ, ta ch ọ n dãy 4 số liên tiếp là
5, 8, 13, 21. Ở đ ây n = 5. T a có: (2 .8 .2 3 )2 + (5 .2 1 )2=5 428 9 = 2 3 3 2. R õ ràng,
số 233 chính là số ở vị trí 2.5 + 3 = 13 tro n g d ãy (F).
Ta có thể kiểm ch ứ n g kế t quả này bằ n g 1 d ãy 4 số liên tiếp bất kỳ tro n g dãy
(F).
Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông với độ dài các cạnh được tạo nên
từ các sô có mặt trong dãy (F).
g) Một tính chất thú vị khác được khảm phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg
TS Jek u thiel G in sb u rg k hi n g h iê n c ứ u v ề dãy (F) ông đã tìm ra m ộ t
điều h ết sứ c đặc biệt. Số 89 ở vị trí th ứ 11 củ a d ãy (F ) là 1 con số vô cù ng
quan trọ ng. B ởi lẽ, số n g h ịch đảo của nó bằn g tổn g tấ t cả các số tro n g dãy
(F). Đ iều này k hô n g thể giải thích nổi v à nó đ ư ợ c v iết ra nh ư sau:
0,0112358
13
1
89 _<
21
34
55
89
144
233
0,011235955040678
h) Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg
Ô ng cho biết:
Trong 3 số liên tiếp của dãy (F) Am An+I, A n +2 thì tổng lập phương của
2 số lớn trừ đi lập phương của sổ nhỏ nhất luôn luôn là 1 sổ trong dãy (F).
T a th ử kiểm c h ứ ng vớ i 3 số liên tiếp b ấ t kỳ. G iả sử: 5, 8, 13
133 + 83 - 53 = 21.97 + 512 - 125 = 2584

thu ộc vào n ó để d u y trỡ sự cõ n bằn g m à thị trư ờ n g tài chính có vẻ n h ư cũng
vận động th eo m ộ t quy luật tươ n g tự. C hú n g ta sẽ xem q u a m ộ t vài c ông cụ
ph ân tích kỹ th u ậ t đư ợ c p h á t triển dự a trên các n g h iên cứ u trên cái m à n gư ờ i
ta gọi là “T ỷ số v à n g ” này.
Các n h à to án h ọc, k ho a học, v à tự n h iên h ọ c đã biết đ ến “T ỷ số v àn g ”
này trong n h iều nă m . N ó đư ợ c rú t ra từ dãy F ib o n acci. Đ iều đặc b iệt nh ất
tron g dãy n à y là b ấ t kỳ m ột số n ào cũ n g đạt g iá trị xấ p xỉ 1.618 lần số đứ n g
trướ c và 0.618 lầ n số đ ứ ng sau nó (0.618 là n g h ịc h đảo củ a 1.618). T ỷ lệ này
đư ợ c biết đ ến với rấ t nhiều tên gọi: T ỷ lệ v àn g , T ỷ lệ th ần thánh, PH I V ậy
thì, tại sao tỷ lệ n à y lại q u a n trọ n g đến v ậy ? V ạn v ật d ư ờ n g như có th u ộc tính
16
gắn kết vớ i tỷ lệ 1.618, có lẽ vì thế m à nó đư ợ c coi là m ộ t tro n g n h ữ ng nhân
tố cơ bản c ấu th à n h n ên các th ự c thể tro n g tự nh iên . N e u ch ia tổn g số on g cái
chơ tổ n g số o ng đ ự c tro ng m ộ t tổ ong b ấ t kỳ sẽ có g iá trị là 1.618. N ếu lấy
kh o ản g c ách từ vai đ ế n m ó n g tay ch ia cho k h o ả n g cách g iữ a cùi chỏ v à m óng
tay thì cũng có đ ư ợ c g iá trị 1.618.
T ỷ số vàng n ày có đượ c từ m ột h ình c h ữ nh ật có tính chất đặc biệt với
độ thẩm m ỹ rấ t th ú vị:
“H ìn h chữ n h ậ t vớ i ch iều rộ n g là 1, ch iều dài là X. K hi lấy đi m ột hình
vu ô ng có cạn h b ằ n g 1 thì hình ch ữ nh ậ t còn lại sẽ có các cạnh tỷ lệ nh ư tỷ lệ
các cạnh củ a hìn h c h ữ nhật ban đ ầu ” .
V ì hìn h c h ữ n h ậ t m ới có ch iều rộ n g là X - 1 và chiều dài là 1 nên ta có:
— = —ỉ—. T a có p h ư ơ n g trìn h bâc hai x 2-x - 1 =0.
1 X - 1
B ây giờ, lại có thể ch ia h ìn h c h ữ n h ật bé th àn h m ộ t hình vu ô n g v à m ột
hình ch ữ n hậ t, m à tỷ lệ giữa hai cạn h củ a h ìn h chữ nhật cũn g là tỷ b an đầu,
và cứ tiếp tục n h ư v ậy . N ối các đỉnh k ế tiếp n h au củ a dãy h ìn h ch ữ n h ật với
nh au ta n h ậ n đư ợ c m ộ t đư ờ n g xo ắn g iố n g c o n ốc, hệt nh ư sự xếp đặt các nụ
nhỏ tro n g b ô n g h o a H ư ớ ng dư ơ ng n h ư đã m ô tả ở trên v à sự p h â n bố nh ữn g
ch iếc lá trê n m ộ t n h à n h cây. H ìn h ch ữ n hậ t n ê u trên có các tỷ lệ th ậ t đ án g chú

= 987 + 0.0007331
13 X 1.618033989. = 21.03444185 =
987 X 1.618033989 = 1596.999547
21 +0.03444185
= 1 5 9 7 - 0 . 0 0 0 4 5 3 1 2
21 X 1.618033989. = 33.97871376 =
987 X 1.618033989 = 1596.999547
3 4 -0.0 2 1 2 8 6 2 3 6
= 15 9 7 -0.00045312
34 X 1.618033989.
= 55.01315562 =
1597 X 1 .6 1 8 0 3 3 9 8 9 = 2 5 8 4 .00 0 2 8
55 + 0.01315562
= 2584 + 0.00028
55 X 1.618033989.
1
ị
= 88.99186938 =
89-0.008130619
T ính xác thực của các v í dụ trên có th ể cho ch ú ng ta từ từ k iểm ch ứ ng như n g
ch ú n g ta hãy c ù n g x em “T ỷ số v àn g ” có ứ ng d ụ n g gì tro n g tài chính.
1.3.2. Tỷ số vàng trong phân tích tài chính
K hi sử dụng p h â n tíc h kỹ th uậ t, “tỷ lệ v àn g” th ư ờ n g đượ c diễn giải theo 3
g iá trị ph ần trăm : 3 8 .2% , 50% , v à 61.8% . N h iều tỷ lệ k hác có thể đư ợc sử
dụ n g khi cần th iế t, n h ư 2 3.6% , 161.8% , 423%
C ó 4 p h ư ơ n g p h áp c hính trong việc áp d ụ ng d ãy F ibona cci tro n g tài chính:
Retracements, Arcs, Fans, và Time Zones.
F ib o n a c c i A r c s (F A ) đư ợ c th iết lập đầu tiê n b ằn g cá ch vẽ đ ư ờ n g thẳ n g k ết
nối 2 điểm có m ứ c g iá cao nh ất v à th ấp nh ấ t củ a giai đoạn phân tích. B a
đư ờ n g cong sau đ ó đư ợ c vẽ với tâm n ằ m trên đ iểm có m ức giá cao n h ất v à có

thấp n h ất (m ộ t số đ ư ờ n g có thể k h ô n g đư ợ c vẽ ra khi nằm n goài quy m ô ph ân
tích củ a đồ thị).
Sau m ỗ i g ia i đ o ạn b iến độn g giá ch ính (có thể lên h oặc x uốn g ), giá
thư ờn g có x u h ư ớ n g đ ảo ng ư ợ c x u h ư ớng (to àn bộ h oặc m ộ t phần). K hi giá
đường F R (x em đ ồ th ị - ngư ỡn g hỗ trợ và kh á n g cự xu ất h iện tại đ ường
F ibo n acci 2 3 .6% v à 38.2% ).
20
F ib o n a c c i T im e Z o n es b ao gồm m ộ t loạt các đư ờ ng thẳn g đứ ng, s ắ p
xếp theo trậ t tự c ủ a dãy F ib o n acci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, C ũng n h ư các
đư ờn g k h ác, diễn b iến thay đổi củ a giá thư ờ ng có m ức hỗ trợ /k h án g cự nằm
gần h oặc trê n các đ ư ờng th ẳ n g đ ứ n g này.
'
w
72 1731/4
OOWI nOUSTRIALS
V
175 176 |?7
ựit
miỊ \i
r 1600
1550
ịm
r ÌỊỘO
1350
h 1300
1200
1150
r 1100
r ịọsg
10G0

n à y . N h ư là ch u ẩn m ự c củ a cái Đ ẹp, T ỷ số v àn g h iệ n diện ở nh iều nơi, chẳn g
h ạn như m ộ t vài ví dụ sau:
- Đ iện P arth en o n củ a thà n h A thens có tỷ số g iữ a chiều cao và chiều dài của
Đ iệ n P arthen o n chính là T ỷ số vàng!
- K im tự th á p v ĩ đại ở G iza đ ược x ây d ự ng từ n h iề u trăm năm trư ớ c Đ iện
P arth en o n củ a H y L ạ p cũ n g có tỷ số g iữ a ch iều cao củ a m ột m ặt với m ột nử a
c ạ n h đ áy là Tỷ số vàng .
- M ộ t b ản v iết trê n giấy cỏ R h ind củ a ngư ời A i C ập có nh ắc tới "T ỷ số thần
th á n h ". C ác p ho tư ợ n g cổ cũ n g nh ư các bứ c tra n h th ời k ỳ P hục H ư ng đ ều biểu
h iệ n các tỷ lệ b ằ n g T ỷ số v àng , m ộ t tỷ số th ầ n thánh .
- T ỷ số v à n g đã đ ư ợ c tìm kiế m n hư là “b iể u tư ợ n g của vẻ đẹp” v ư ợ t x a các
Hoài h o a ha y các c ô n g trình kiến trúc. T ro n g m ộ t b ứ c th ư gửi H ội F ibo nacci
v à i năm trư ớ c đâ y , m ộ t thàn h viên đã m iêu tả m ột n g ư ờ i tro ng k hi tìm k iếm
'Tỷ số vàn g đ ã h ỏi vài cặp v ợ chồng để làm m ộ t cu ộc thí ngh iệm . Ô ng ta yêu
'Cầu n gười ch ồ ng đo ch iều cao đ ến rố n củ a v ợ rồi ch ia ch o ch iều cao củ a vợ.
K ế t q u ả là, đối v ớ i tẩt cả các cặp v ợ ch ồng , tỷ số đó đều xấp xỉ bằn g 0 ,618 -
T ỷ số vàng. Nhà T oán học người Italia L eo n a rd o D a V in ci là ng ư ời đ ầu tiên
đưa ra k h ẳ ng đ ịn h m ối q u a n hệ củ a cấu trú c c ơ th ể con n gư ờ i liên qu an tới tỉ
số vàn g. Đ ể k há m ph á ra b í m ật này L e o n a rd o D a V in ci k h ô n g chỉ n ghiên cứu
22
trên cơ thể m ình , b ạ n bè, n gườ i thân m à ông cò n b í m ật k hai q uật hàng trăm
ngôi m ộ để n g h iên cứ u tỉ lệ cấu trúc x ư ơ ng củ a cơ th ể con người.
- T heo các nhà S inh học thì n h iệt độ "tối thích " cho cơ thể chún g ta ph át triển
là 22.87 độ . Đ em số 37 (n hiệt độ c ủa c ơ thể con ng ư ờ i) chia cho 22.87 thì
được co n số đ ún g b ằn g T ỷ số vàng!
- Đ o chiều cao củ a b ạn từ rốn lên đến đ ỉnh đ ầu gọ i là X , sau đó đo ch iều cao
của b ạn từ rốn x u ốn g đến ch ân gọi là y. D ang 2 tay ra là đo ch iều dài đó gọi là
a. N ếu y /x = T ỷ số vàn g v à (x + y )/a cũ n g b ằn g T ỷ số v àng, đó là bạ n đ ã có
m ột thân hìn h củ a cá c siêu m ẫu. Đ iều nà y h o àn to à n là sự th ật vì các hãng
thời trang đều tu ân thủ n ghiêm n g ặt quy địn h n ày k hi tuy ển ngư ờ i m ẫu.

P h ư ơ n g p h áp cơ b ản để giải h ệ thứ c tru y h ồi tu y ế n tính thu ần n hất là tìm
ng h iệm dướ i d ạ n g an = rn, tro n g đó r là hằ n g số. C h ú ý rằn g an = rn là ngh iệm
của hệ thứ c truy h ồ i an = Cian.i + c2an.2 + + ckan_k nếu v à chỉ nếu
T ừ đó ta có: r k -Ci rk'' - c2 rk'2 - - Ck-1 r - c k = 0.
P h ư ơ n g trìn h này đ ư ợc gọi là phương trình đặc trung v à ng hiệm của nó gọi là
nghiệm đặc trưng c ủ a hệ thứ c tru y hồi.
Mệnh đề. Cho Cj, c2, ck là các số thực. Giả sử rằng phương trình đặc
trưng
r k - C ] r '1 - c 2 r k'2 - - C k r i r - c k = 0
có k nghiệm phân biệt rỊt r2, rk . Khi đó, dãy ịan} là nghiệm của hệ thức
truy hồi
ũn — C]ũn-I + C2ữn-2 ••• ^k^n-k
nếu và chỉ nếu
an = a,rp + a2r2n + + akrkn,
với n = 1, 2, trong đó aI, a2, ak là các hằng sổ.
C ô n g th ứ c F ib o n a c c i c h o b ở i hệ th ứ c tr u y hồi
D ãy các số F ib o n ac c i th ỏ a m ã n hệ thứ c fn = fn-i + fn-2 và các điều kiện đầu
24
f0 = 0 v à f] = 1 .
T a có p h ư ơng trìn h đặc trư n g là: X 2 - X - 1 = 0.
C ác ng h iệm đặc trư n g là ri = - +- ^ v à r2 = — .
D o đó các sổ F ib o n ac ci đư ợ c cho bởi cô ng th ứ c fn = ai (ri)n + a2(r2)n.
C ác đ iều k iện b an đ ầu ta có
f0 = 0 = ai + a2;
fi = 1 = ai ri + a2r2.
T ừ hai ph ư ơ ng trìn h này cho ta ai = — , a2 = - — .
D o đó các số F ibo n a c ci đư ợ c cho b ởi c ông th ứ c tổ n g q u át sau:
A
Ị ỉ + yíì)
" V5

+ (1 -
tp)"-1)
= aípn
+ 6(1 —
Ip)n
+ ay?n_1 + 6(1 —
= + F a>ố( n - 1 )
B ây giờ c h ọ n ữ — l / 1^ v à k ~ VTiếp tuc:
= ụ g - Ụ ẽ = 0
và
„ , , , V ụ - v ) - 1 +2ự > _ - 1 + (1 + V S ) _ ,
”M ; v / s v /5 v /5 v ”5
nh ữ n g c h ứ n g m in h ờ trên ch ứ ng tỏ rằn g vớ i m ọ i n
¥ ■ " - ( ! - g ) "
V 5
C hú ý rằng , với h a i g iá trị khởi đ ầu b ấ t kỳ c ủ a a,b, h àm Fa b(n) là công thức
tườ ng m inh cho m ộ t lo ạt các hệ thứ c tru y hồ i.
1.5. Mở rộng dãy số Fibonancci
1.5.1. Mở rộng cho các số ăm
D ùng Fn.2 = Fn - Fn.\, có thể m ở rộ n g các số F ib ona cci cho các chỉ số ngu y ên
âm . K hi đó ta có: -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, v à F .„ = -(-1)"F„.
1.5.2. Không gian vectơ
T hu ậ t n g ữ dãy Fibonacci cũ ng đư ợ c dù n g cho các hàm g từ tập các số
ng uyên tới m ộ t trư ờ n g F th o ả m ã n g{n+2) = g(n) + g(n+\). C ác hàm n ày có
thể b iểu diễn dư ớ i dạn g
g(n) = F(n) g( 1 ) + F(n-1) g{ 0),
do vậy các dãy F ib o n ac c i h ình th à n h m ộ t không gian vectơ vớ i hàm F(n) và
F(n-1) là m ộ t cơ sở.