SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
“ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH ”
Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Hồng
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình toán học lớp 12 và cụ thể là các đề thi Đại học
– Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp bài toán tích phân là một trong
những bài toán khó mà học sinh của chúng ta hay mắc phải sai lầm, vì nó
cần đến sự áp dụng linh hoạt của Định nghĩa, các tính chất, các phương
pháp tính tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách
máy móc: Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích
phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm
được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay
không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa
không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá
trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời
giải sai.
Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác
trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều
các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống
nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi.
Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;

sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó
mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt
cho học sinh trong học tập và nghiên cứu.
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo
viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể về tích phân và chỉ ra những sai
lầm của học sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận
dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
- Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ
bản về Nguyên hàm và tích phân;
- Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính
Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản;
- Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi.
3
- Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính
Tích phân bất kì.
- Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố.
- Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy.
4
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC.
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái
sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy
học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và
những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách
nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ
lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai
lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người.

bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu.
II. NỘI DUNG CỤ THỂ.
1-Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
4
0
4x dx+
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
4
0
4x dx+
∫
=
4
0
4 ( 4)x d x+ +
∫
=
4
0
1
2 4x +
=
1 1
4
4 2
−

=
2 16
(16 2 8) (2 1 1)
3 3
− = −
Ví dụ 2 : Tính tích phân : I =
2
5
1
(3x 5) dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
2
5
1
(3 5)x dx−
∫
=
2
6
1
1
(3 6)
6
x −
=
6

6
1 31
(1 2 )
18 18
− = −

* Nguyên nhân sai lầm :
- Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về
đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này.
6
- Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm hàm hợp, đã dùng
n 1
n
x
x dx c
n 1
+
= +
+
∫
(với n ≠ –1) thay vì
n 1
n
(ax b)
(ax b) dx c
(n 1)a
+
+
+ = +
+

−
+
−
−
∫
∫
∫
∫
2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
Cách giải sai của học sinh
I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫

1
/12
F = cos( 4x)dx
6
/6
7
1
G dx
x 3
3
−
π
π
−
π
=
−
∫
∫
∫
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x = -1
[ ]
2;2
−∈

2
)1(
1
t
t
+
+
⇒
∫
+ x
dx
sin1
=
∫
+
2
)1(
2
t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t

+tg
do tg
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
Cách giải đúng
I=
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
∫∫






−=






−


cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=






−
−
ππ
tg
.
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1

−
5
0
4
)4(x
dx
. B=
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −
∫
−
.
C=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
D=
dx
x

0
 
 ÷
 ÷
 
∫
.
1
x
e dx
0
 
−
 ÷
 ÷
 
∫
=
1 1
2
0 0
.
2
x
x
e
−
   
 ÷  ÷
−

0
0
− −
= − +
∫
1
1
x
e
e
0
2 e 2
1 .
e 2
−
= − −
−
= − + =
* Nguyên nhân sai lầm :
- Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm của một tích, nên đã dùng
b
u(x).v(x).dx
a
∫
=
b
u(x)dx
0
 
 ÷

0
0
B= x ln(x 2)dx ,
1
2
C= x log xdx
2
1
+
=
+
−
∫
∫
∫
4. Sai lầm khi đổi biến số:
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
2
2
0
1 x dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt x= sint suy ra dx=costdt
1 1 1
1
2 2 2

D (x e )sin xdx ,
0
/2
2
E = (x x)cos xdx ,
0
x
F = sin x.e dx
0
π
= +
π
−
π
−
∫
∫
∫
6 6
2 2
0 0
6
0
1 sin .cos . cos .
1 cos 2 3
.
2 12 8
I t t dt t dt
t
dt


= ⇒ =

3
4
5
1
3
20
.
1
4 81
dt t
I
t
−
= = − =
∫
Cách giải đúng
Đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =

dx
2
A 4 x dx, B = ,
2
1 x
0 0
/2 e
dx
5
C = sin xdx , D = ,
x ln x
0 e
/2 3
1
cos x 3
E = sin x.e dx, F (ln x) dx ,
x
0 1
/2 2
2
cos xdx 2x x 1
G = , I = dx
1 sin x x 1
0 0
= −
+
π
π
=
π

x 2x 2
1
dx
(x 1) 1
arctan(x 1) arctan0 arctan( 1)
4
−
−
−
=
+ +
=
+ +
π
= + = − − =
∫
∫
Cách giải đúng
0 0
2 2
1 1
1 1
I dx dx
x 2x 2 (x 1) 1
− −
= =
+ + + +
∫ ∫
Đặt x + 1 = tant
2

⇒ = + = = =
+
∫ ∫
* Nguyên nhân sai lầm :
12
- Học sinh đã sử dụng công thức SGK hiện hành không có:
2
1
dx arctan x c
1 x
= +
+
∫
( thường có trong các sách tham khảo).
* Cách khắc phục:
- Giúp các em nhớ công thức và cách chứng minh một số công thức
nguyên hàm mở rộng. Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân dạng này
thì không được áp dụng thẳng mà phải chứng minh trước rồi mới sử
dụng. Ví dụ: khi gặp tích phân dạng
b
2 2
a
1
I dx
c x
=
+
∫
, thì ta tính tích phân bằng
cách đặt x = ctant (hoặc x = c.cott). Chú ý công thức

+
∫
2
2
0
2 x .dx

E=
 
 ÷
+
 
∫
2
2
0
1
dx
x 2
F=
 
 ÷
−
 
∫
1
2
0
1
dx

2 x 2 2
0
2
I xe e dx
2e e 2e e 1
e 1
⇒ = −
= − = − +
= +
∫
Cách giải đúng
13
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
( )
( )
2
2
x x
0
0
2

 
.
* Cách khắc phục: Giải thích cho học sinh hiểu cặn kẽ vai trò và ý nghĩa
của từng công thức, từng kí hiệu.
Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau
1.
/ 4
2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
2.
∫
−
2
0
2
dxxx
3.
∫
−+
2
1

+
∫
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những
dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích
phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo
viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình
suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến
lời giải đúng.
14
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một
số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài
trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên
nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình
bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013.
Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12C1(34 học sinh) áp dụng sáng kiến
và 12C5(42 học sinh) không áp dụng sáng kiến như sau:
Xếp loại
Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12C1 45% 45% 10% 0%
12C5 0% 3 % 47% 50%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng
thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận
trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách
máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ

không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT
Nguyễn Ngọc Hồng
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh –
Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố
HCM - 2002)
2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn
Cam – NXB Trẻ )
3. Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí
Trung – NXB Giáo Dục)
4. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD –
2000)
5. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc –
NXB Hà Nội – 2005)
6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và
Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)

17
MỤC LỤC
Trang
PHẦN I : MỞ ĐẦU 1
I. Đặt vấn đề 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Phương pháp nghiên cứu 2
PHẦN II : NỘI DUNG 4
I. Cơ sở khoa học 4
II. Nội dung cụ thể 5
III. Hiệu quả của sáng kiến 13