SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường:thpt Hồng Lam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Hồng Lĩnh tháng 3 năm 2013
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI KHOA HỌC:
KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI
TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Bộ Môn : Toán THPT.

Mã đề tài:
Họ và tên: Nguyễn Tiến Minh.
Năm học : 2012- 2013
1
A. PHÂN MỞ ĐẦU.
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1.Những năm gần đây trong chương trình các môn học nói chung và môn toán nói riêng
nội dung kiến thức được đánh giá là quá tải với học sinh.
Hơn nữa những áp lực thi cử ,học thêm quá nhiều.
Học sinh thường học toán theo khẩu lệnh ,lắp ráp máy móc các kiến thức có sẵn mà thiếu
chủ động nghiên cứu tìm tòi toán rất hạn chế. Sự say mê tìm hiểu kiến thức cơ bản để
hiểu sâu và nhớ kỹ đặc biệt là sự vận dụng kiến thức trong thế chủ động tự giác còn hạn
chế.
2.Loại toán giải hệ phương trình luôn là một chủ đề được đề cập phổ biến qua các kỳ thi
Đại học Cao đẳng và kỳ thi học sinh giỏi ở bậc THPT. Nhưng loại toán này lại không
được trình bày một cách chính thống ở sách giáo khoa mà chỉ được trình bày ở các tài
liệu tham khảo và ở các đề thi
3.Khi trình bày đáp án giải không thể phân tích đầy đủ cơ sở của lời giải gây cho học

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 CHỨA 2
BIẾN.
I
1
. Phương trình bậc 2 đẳng cấp có 2 biến dạng:
)0(0
22
≠=++ ABYBXYAX
(*)
Đây là kiến thức cơ bản dùng kiến thức phương trình bậc 2 khá quen thuộc về cách giải.
Từ đó học sinh có thể:
I
2
. Giải hệ phương trình ( một vế là đa thức 2 biến đẳng cấp) có dang:
( I)



=++
=++
)2(
)1(
/2//2/
22
dycxybxa
dcybxyax
Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tiếp cận theo 2 mức độ sau:
a ) nếu d hoặc d
0
/

)3(0)()(
)1(
22/2//2/
22
cybxyaxdycxybxad
dcybxyax
Khi đó phương trình (3 ) lại có dạng (*) và giải được. Và chỉ cần thay x = ty vào (1) được
một phương trình bậc 2 với một biến. Tức là phép giải hệ ( I ) hoàn tất bằng phương pháp
thế.
II.NGHIÊN CỨU CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 ẨN HAI BIẾN BẬC 2
Xét hệ : ( II )



=+++++
=+++++
)2(0
)1(0
///2//2/
22
FyExDyCxyBxA
FEyDxCyBxyAx

Liệu có cách giải cho hệ này bằng cách đưa về các hệ cơ bản hay không? Chúng ta bắt
đầu với ví dụ sau.
II
1
MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG
Ví dụ 1: Giải hệ sau:


max
( với a và b là 2 ẩn mới ). Thay vào ta sẽ thu được hệ mới sau đây :



−−+−=−+−+−
−−+−=−+−+−
422)(2)1(22
322)1(2)1(2
22
2222
mmnnmnbnaabb
nmmnnbmaba
Hệ sẽ trở thành có dạng hệ
(I) nếu ta có hệ số của các ẩn có bậc nhất triệt tiêu . Tức là khi và chỉ khi :
(**)
101
01
==⇔





=
=−
=−
nm
nm
n








−=−
=



−=−
−=
⇔



=−+
−=−
⇔



−=−
−=−
3
5
3
4





+=
+=
3
5
1
3
4
1
y
x
hoặc







−=
−=
3
5
1
3
4
1

+=
nby
max
» ?
II
2
. Bài toán tổng quát : Với điều kiện nào thì sẽ tồn tại các số thực m và n để với phép
đổi biến



+=
+=
nby
max
thì hệ dạng (II) đưa được về hệ dạng ( I ) ?
Ta xét hê : ( II )



=+++++
=+++++
0
0
///2//2/
22
FyExDyCxyBxA
FEyDxCyBxyAx

4



=++
=++



=++
=++
)(
02
02
)(
02
02
///
///
β
α
EnBmC
DnCmA
EBnCm
DCnAm
( *** )
Đây là một hệ 4 phương trình để xác định m và n.
Ta gọi
)4(
2
1
ABC −−=∆

có nghiệm duy nhất :







∆
−
=
∆
−
=
1
1
2
2
AECD
n
BDCE
m
và hệ (
)
β
có
nghiệm duy nhất:




0
2
1
hệ (***) vô nghiệm. Do đó hệ ( III ) không đưa được về hệ dạng
( I ).
2) Nếu
⇔

















∆
−
≠
∆
−
∆













∆
−
=
∆
−
∆
−
=
∆
−
≠∆
≠∆
2
////
1
2
////
1




=−−
=−−−+
03
0
22
22
yx
yxxyyx
- Xét phương trình thứ 2 với
)4(
2
2
ABC −−=∆
= 0 tức là theo kết luận 1 hệ này không thể giải được theo kiểu đưa về
hệ ( II )
- Bây giờ ta để ý đến phép giải hệ trong ví dụ 1 ở đó sau khi đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn a
và b ở đó ta đã tính được:




+=
+−=
⇔




( A> 0 ) trở thành
một bình phương của nhị thức bậc nhất là:
ACB 4
2
−=∆
= 0.
Kết quả 3. Hệ :



=+
=
⇔



=
=
0);(.)(
0)(
0);(
0);(
yxgkxf
xf
yxg
yxf
( Với
)0≠∀k
.
6

=−−−++−+
=−
⇔
03)1()1()1(
3
22
22
kyykyxxk
yx

Để định ý ta sẽ chọn k > -1 Do phương trình thứ 2 là phương trình bậc 2 nên để hy vọng
tính được x qua y theo biểu thức dạng hửu tỷ dạng x =
y
βα
+
thì biệt thức Đen-ta cua x
phải có dạng bình phương một nhị thức bậc nhất.
Vậy ta cần chọn số k >-1 sao cho
11212)23(2)34(
222
+++++−=∆ kkykyk
x
là bình phương của một nhị thức bậc
nhất của y
⇔
[ ]
1
0)12)(1)(1(
2
3

>−
k
kkk
k
kkkk
k
k
y
Ta có lời giải tường minh như sau :
Lời giải : (cho ví dụ 2)



=−−
=−−−+
03
0
22
22
yx
yxxyyx

Cộng 2 phương trình ta có hệ
( )( )



=
=
⇔

2
03
032
).(
03
1
0321
03
03)1(2
03
22
22
22
2
22
y
x
yx
yx
nv
yx
x
yxx
yx
yyxx
yx
Đó là nghiệm duy nhất của hệ
- Đây là một lời giải đẹp dùng điều kiện triệt tiêu của biệt thức Đen-Ta về tam thúc bậc 2
cho ví dụ 2.
Như vậy phần nào chúng ta đã khắc phục cho hệ ở ví dụ 2 khi nó không đưa về được hệ





=−+−
=+−−
020910
01092
2
2
xyy
yxx
Trừ từng vế ta có hệ



=++−
=+−−
⇔
03011
01092
2
2
yxx
yxx
Xét phương trình thứ 2 của hệ :
03011
22
=+−+− yyxx
có :

Đặt



=−
=−
by
ax
5
1
hệ trỏ thành :



=+
=−
369
369
2
2
ab
ba
mặc dầu không phải là hệ đối xứng nhưng nếu trừ 2 vê thì
( )( )



−=
=
⇔

thõa mãn điều kiện :
dabmcbma ++=++
22
)
Nhận xét 4 : Như vậy để dùng phương pháp ‘’ Biệt thức đen-ta’’ nếu thực hiện được để
giải hệ trên thì Ta thực hiện theo lược đồ sau :
Xét hệ:



=+++++
=+++++
)2(0
)1(0
///2//2/
22
FyExDyCxyBxA
FEyDxCyBxyAx
Bước 1: +Thử phương trình (1) xem (1) có biệt thức
∆
của biến x ( hoặc biến y) có dạng
bình phương hay không
+ Thử phương trình (1) xem (2) có biệt thức
∆
của biến x ( hoặc biến y) có dạng
bình phương hay không
Nếu cả 2 phương trình không thõa mãn thì:
Bước 2: Tìm k sao cho biểu thức
∆
của biến x ( hoặc y) trong phương trình (2) của hệ

=+−−
03543
022
22
22
yxyxyx
yxyx
2.



=−−+
=−−
3342
1623
22
yxyx
yxxy
3
( )



−=−−+
=+−
613552
3
22
2
yxyxyx


+−−=−
=−
yxyxyx
yx
3241232
20
2233
44
3.



=+
−=−
9
24
33
22
yx
yyxx
V. KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI : Toán học rất phong phú và đa dạng. Hơn nữa không có
phương pháp chung nào để giải được cho tất cả mọi bài toán và dạy toán cũng chính vì
thế yêu cầu ngày càng rất cao .
Trên đây là những suy nghĩ cách dạy cho học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ năng giải một lớp
hệ phương trình bậc 2 chứa 2 biến trong một số trường hợp được khéo léo đưa về kiến
thúc cơ bản quen thuộc bởi những suy nghĩ mà tác giả cho là có lý và đã có hiệu quả
trong thực tế đã giảng dạy.Theo ý chủ quan tác giả cho rằng đề tài đã làm được những
điều sau khi giảng dạy :
-Huy động được kiến thức cơ bản

10