đại học quốc gia hà nội Viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ Viện cơ học

Lờ Th H
PHN TCH NG X NG HC CA DM
NM TRấN NN N HI DI TC DNG
CA LC DI NG Luận văn thạc sĩ

Ngnh : C hc
Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn

Mã số: 60 44 21

Luận văn thạc sĩ

Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyn ỡnh Kiờn

Hà nội 2010
MỤC LỤC

Mở đầu…………… 1
1. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 1
2. Nội dung chính luận văn 2
3. Bố cục của luận văn… 3
Chương 1 4
1.1Tổng quan về bài toán di động 5
1.2 Bài toán tải di động cơ bản 7
Chương 2 11
Mở đầu 11
1

MỞ ĐẦU

1. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Kết cấu chịu tải trọng di động là bài toán có ý nghĩa khoa học, được ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật dân dụng. Trong thực tiễn có nhiều kết
cấu chịu tác dụng của tải trọng di động, điển hình trong số đó là các các kết cấu
trong lĩnh vực giao thông vận tải như đường ray xe lửa, cầu, đường băng sân
bay Trong lĩnh vực thiết kế, chế tạo cơ khí nhiều chi tiết máy cũng chịu tác
động của tải trọng di động và việc xác định chuyển dịch, ứng suất, biến dạng
động đóng vai trò quan trọng tới độ chính xác trong hoạt động của máy móc
cũng như độ bền của chi tiết.
So với các bài toán động lực học kết cấu thông thường, bài toán kết cấu
chịu tải trọng di động có các đặc trưng riêng. Vị trí của tải trọng trong các bài
toán này thay đổi theo thời gian và vì thế việc phân tích các bài toán loại này cần
các kỹ thuật riêng. Cần lưu ý rằng, sự thay đổi vị trí của tải trọng là nguồn động
học duy nhất gây ra dao động của kết cấu.
Phương pháp giải tích, chủ yếu dựa trên phép biến đổi Fourier và biến đổi
Laplace cho phép thu được nghiệm của một số bài toán cơ bản. Nội dung của
phương pháp giải tích và các kết quả chính được Fryba trình bày chi tiết trong
tài liệu chuyên khảo [1]. Bên cạnh phương pháp dựa trên biến đổi Fourier và
biến đổi Laplace, phương pháp chồng chất mode (mode superposition method)
cũng được Timoshenk và các đồng nghiệp sử dụng để xây dựng biểu thức độ
võng động học cho dầm chịu tác động tải trọng di động [2].
Trong những năm gần đây, các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp
phần tử hữu hạn được sử dụng như là giải pháp thay thế để giải quyết các bài
toán khoa học kỹ thuật mà phương pháp giải tích truyền thống bị hạn chế. Đề

của dầm có các điều kiện biên khác nhau. Thêm vào đó, luận văn cũng sẽ cố
gắng mở rộng cho trường hợp nhiều tải trọng.
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp phần tử
hữu hạn Galerkin. Trong phương pháp này, công thức phần tử hữu hạn được xây
dựng từ phương trình chuyển động của bài toán. Tác giả nhận thấy rằng sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin, mối liên hệ giữa phương pháp giải tích
truyền thống và phương pháp số trở lên gần gũi hơn vì cả hai phương pháp đều
xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ kết cấu. Mặc dù luận văn liên
quan tới dầm Bernoulli nhưng phương pháp trình bày trong luận văn hoàn toàn
có thể phát triển cho trường hợp dầm Timoshenko, trong đó độ võng và góc
quay là các biến độc lập.

3. Bố cục của luận văn
Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản của bài toán tải trọng di động, tổng
quan của đề tài.
3

Chương 2: Xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho bài toán trên cơ sở
phương pháp Galerkin. Xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ dầm
trên nền đàn hồi có tính tới ảnh hưởng của lực dọc trục, phương trình phần tử
hữu hạn được xây dựng trên cơ sở các hàm xấp xỉ của độ võng.
Chương 3: Trình bày thuật toán giải phương trình chuyển động theo ngôn
ngữ phần tử hữu hạn. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở
thuật toán gia tốc trung bình, sử dụng trong luận án, được mô tả chi tiết. Các
chương trình tính toán cụ thể cũng được liệt kê trong chương 3.
Chương 4: Trình bày các kết quả số, trong đó ảnh hưởng của các tham số
lực ngoài, độ cứng nền và lực dọc trục tới ứng xử động học của dầm được khảo
sát chi tiết. Cuối cùng, một số vấn đề chính rút ra từ luận văn được trình bày
trong phần kết luận.


thống biểu thức độ võng và mô men động cho một loạt bài toán cơ bản của dầm
chịu các loại tải trọng di dộng khác nhau. Sử dụng phép biến đổi Fourier, trong
thời gian gần đây nhiều tác giả đã mở rộng việc phân tích sang các bài toán dầm
nằm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động [3,4]. Ảnh hưởng của lực dọc trục
tới ứng xử động học và ổn định của dầm nằm trên nền đàn hồi cũng được Kim
và cộng sự nghiên cứu bằng phép biến đổi Fourier [5-7]. Cũng theo hướng này,
Chonan xây dựng biểu thức độ võng và mô men động của dầm Timoshenko tựa
giản đơn nằm trên nền đàn hồi Pasternak dưới tác động của lực di động có vận
tốc không đổi [8]. Ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc của tải di động tới ứng xử
của dầm dưới tác động của lực tập trung và lực di động điều hòa lần đầu tiên
được Abu-Hilal và các cộng sự quan tâm nghiên cứu [9,10].
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích bài toán tải trọng di
động của kết cấu nói chung và của dầm nói riêng được bắt đầu quan tâm nghiên
cứu từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hino và các cộng sự sử dụng phương
pháp Galerkin, một dạng của phương pháp gia trọng dư (weight residual
method) để phân tích ứng xử động học của cầu và dầm dưới tác động của lực di
động có tính tới yếu tố chuyển vị lớn [11, 12]. Phương trình chuyển động trong
[11, 12] được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở
tuyến tính hóa tại mỗi bước thời gian. Sử dụng phần tử Bernoulli 2 nút truyền
thống, Lin và Trethewey nghiên cứu bài toán dầm Bernouli dưới tác động của hệ
lò xo-tải trọng di động trên dầm với vận tốc không đổi. Độ võng động học của
dầm được Lin và Trethewey thu nhận bằng phương pháp Runge-Kutta. Cũng
trên cơ sở phần tử dầm Bernoulli 2 nút, Thambiratnam và Zhuge tính toán sự
phụ thuộc của độ võng và ứng suất cực đại trong dầm thay vào các tham số lực
ngoài và độ cứng nền của dầm nằm trên nền Winkler chịu tác động của tải trọng
5

di động [14]. Kết quả số nhận được trong [14] cho thấy sự phụ thuộc phức tạp
của độ võng và ứng suất động học vào độ cứng nền và sự phụ thuộc này bị chi
phối đáng kể bởi vận tốc tải trọng. Thambiratnam và Zhuge mở rộng phương

yếu tố ảnh hưởng tới các đặc trưng động học của dầm khi chịu tải di động, mục
này xem xét bài toán tải trọng di dộng cơ bản. Bài toán liên quan tới dầm tựa
giản đơn có chiều dài
L
, độ cứng chống uốn
EI
chịu tải trọng di động tập trung
f như minh họa trên Hình 1.1, trong đó

,A tương ứng là diện tích thiết diện
ngang và mật độ khối lượng của vật liệu dầm .
Phương trình chuyển động cho dầm dễ dàng thiết lập bằng cách xét cân
bằng cho một phân tố dầm [20] và có dạng:
)(
),(),(
2
2
4
4
vtxf
t
txw
m
x
txw
EI 





(1.2)
0),(

txw và
0


t
w
với
0

t
(1.3)
Phương trình (1.2) yêu cầu chuyển vị và mô men tại hai đầu dầm luôn phải
bằng không, trong khi phương trình (1.3) yêu cầu chuyển vị và vận tốc của dầm
tại thời điểm ban đầu bằng 0. Tất nhiên, chuyển vị và vận tốc ban đầu có thể
khác 0, nhưng thuật toán và phương pháp giải có thể dễ dàng mở rộng cho
trường hợp này và vì thế luận văn giả định điều kiện ban đầu được cho bởi
phương trình (1.3).
Cần lưu ý rằng bài toán cơ bản mô tả bởi các phương trình (1.1)-(1.3) được
xây dựng trên một loạt các giả thiết: dầm ban đầu thẳng lý tưởng với diện tích
thiết diện ngang
A
không đổi, vật liệu dầm là đàn hồi tuyến tính, chuyển vị của
dầm là nhỏ, bỏ qua ảnh hưởng của nhớt. Ảnh hưởng của biến dạng trượt và
quán tính quay được bỏ qua trong phương trình (1.1), điều này có nghĩa rằng tỷ
số giữa chiều cao thiết diện ngang của dầm và chiều dài dầm nhỏ. Thêm vào đó,
ảnh hưởng tương tác giữa tải trọng và biến dạng của dầm cũng được bỏ qua
trong bài toán cho bởi các phương trình (1.1)-(1.3).

)sin(
2
)(
)(
2
2
2
t
AL
f
tz
t
tz
nn






(1.5)
với


2,1n ,
vLt /0


và
2






với 1
n

(1.7a)
)cos(sin)(
2
ttt
AL
f
tz
nnn



với 1
n

(1.7b)
trong đó
n

là tỷ số của các tần số,
n
n
n

nT
tn
nn
wtxw
n




sinsinsin
)(
196
),(
2
222
1
0
4
,
n


(1.8a)









L
x
T
t
T
t
T
t
w
L
xn
T
tn
nT
tn
nn
wtxw
n
n







sincossin
2
196

là tổng thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài dầm;

là tham số không
thứ nguyên đặc trưng cho vận tốc của tải di động, định nghĩa bởi
T
T
L
v
n
n


2
1
1



(1.9)
với
1

là tần số dao động cơ bản và
1
T
là chu kỳ mode dao động thấp nhất của
dầm.
8

Từ các phương trình (1.8a), (1.8b) ta thấy rằng độ võng động học trực

cr
v
km/h, [1, 21]. Với giá trị này của vận tốc tới hạn, chỉ với các giá trị
10



là
có ý nghĩa thực tế, và vì thế các đặc trưng động học của kết cấu chỉ được khảo
sát trong miền
10



. Với (1.9) và (1.10), tham số vận tốc

được định nghĩa
là tỷ số của vận tốc tải di động và vận tốc tới hạn,
cr
vv/

.
Để hiểu rõ ảnh hưởng của tải trọng di động tới ứng xử động học của dầm
người ta đưa vào khái niệm "hệ số động học". Hệ số động học cho độ võng
D
f

được định nghĩa bởi [1]
0
),2/(

chính là đường ảnh hưởng
của dầm trong trường hợp tĩnh.
9 Hình 1.2: Hệ số
D
f
của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của


Từ Hình 1.2 ta có thể rút ra một số nhận xét quan trọng liên quan tới ứng
xử động học của dầm:
Với
1


,
0

D
f
với
1

T
t
. Nói cách khác, độ võng tại giữa dầm bằng 0
tại thời điểm tải trọng ra khỏi dầm.
Với

hình 1.2, tương ứng với các giá trị này của

, mode dao động thấp nhất có đủ
thời gian để thực hiện 4 và 2 chu trình dao động.
Giá trị cực đại cho hệ số động học
D
f
tương ứng với các giá trị của tham số
vận tốc ;125,0


0,25; 0,5; 1 là 1,1209; 1,2575; 1,7054 và 1,5487. Như vậy,
với một hệ kết cấu tồn tại một giá trị vận tốc của tải trọng ngoài với nó đáp ứng
động học là cực đại. Để đánh giá ứng xử động học và độ an toàn của kết cấu cần
xác định giá trị vận tốc này cho mỗi kết cấu.
Một số nhận xét tương tự trên cơ sở xây dựng các đường cong cho hệ số
động học mô-men, định nghĩa bởi phương trình (1.12). Sự phụ thuộc của hệ số
động học
M
f
vào các tham số tải trọng không phải khi nào cũng đồng nhất như
10

D
f
[1, 21]. Thêm vào đó, như Olsson nhấn mạnh trong [21], các code thiết kế
cầu dựa trên cơ sở mô-men cực đại và vì thế việc đánh giá mô-men động là cần
thiết, không thể bỏ qua trong việc phân tích bài toán tải trọng di động. Từ các
phân tích và kết quả về ứng xử động học của bài toán tải trọng di động trình bày
trên ta có thể rút ra một số nhận xét để định hướng trong việc nghiên cứu bài

11

Chương 2
CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN

Mở đầu
Như đã trình bày trong chương 1, luận văn này nhằm nghiên cứu ứng xử
động học của dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng
di động. Lý thuyết dầm sử dụng trong luận văn là lý thuyết dầm Bernoulli, tức
là thỏa mãn các giả thiết Kirchhoff. Như vậy, độ võng và góc quay của dầm là
các hàm phụ thuộc lẫn nhau. Dự ứng lực trong dầm được tạo ta bởi lực dọc trục,
trong quá trình chế tạo dầm nhằm làm tăng khả năng sử dụng hữu hiệu vật liệu.
Trong lĩnh vực cơ học kết cấu, có nhiều mô hình khác nhau có thể sử dụng
để mô phỏng ảnh hưởng của nền đất tới kết cấu dầm. Chi tiết của các mô hình
cùng với các ưu, nhược điểm được Dutta và Roy trình bày kỹ lưỡng trong [22].

2
1
2
1
)( t
T
vv
vatvts
LR
LL



(2.1)
trong đó
RL
vv ,
tương ứng là vận tốc của lực )(tf tại đầu trái và đầu phải của
dầm;
a
là gia tốc của lực di động, được giả thiết là không đổi;
T

là tổng thời
gian cần thiết để lực
)(tf
đi hết chiều dài dầm;
t
là thời gian hiện tại, tính từ khi
tải bắt đầu vào dầm.

mô-men của dầm khi chịu tải trọng di động cũng thay đổi theo. Mục đích chính
của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tải trọng, lực dọc trục và
độ cứng nền tới các đặc trưng động học của dầm.
2.2 Mô hình dầm Bernoulli
Dầm xem xét trong luận án được giả định tuân theo lý thuyết dầm
Bernoulli, tức là thỏa mãn các giả thiết cơ bản Kirchhoff [23]:
 Thiết diện ngang của dầm không biến dạng
 Chuyển dịch ngang trên thiết diện ngang đồng nhất, và để đơn giản các
chuyển dịch này được giới hạn trong mặt phẳng (oxz)
 Một thiết diện trước biến dạng thẳng và vuông góc với đường trung hoà thì
sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với đường trung hoà của dầm.
13 Hình 2.2: Giả thiết Kirchhoff và lý thuyết dầm Bernoulli
Từ các giả thiết Kirchhoff và với lý thuyết chuyển vị nhỏ từ Hình 2.2 ta có
thể xác định các thành phần chuyển vị tại một điểm nằm cách trục trung hòa một
khoảng
z
như sau:
x
w
zzzxu




),(
;
0

x







2
2
(2.4)
Trong đó
2
2
x
w




là độ cong của dầm. Với giả thiết ứng xử đàn hồi tuyến tính,
năng lượng biến dạng sinh ra do uốn dầm Bernoulli được tính bởi
 








là mô-men quán tính bậc hai của
thiết diện ngang dầm.
2.3 Mô hình nền Pasternak
Như đã trình bày trên, mô hình nền Pasternak được đặc trưng bởi hai tham
số là
1
k
và
2
k
. Tham số
1
k
là độ cứng của mô hình nền Winkler, trong đó nền
được lý tưởng hóa bằng các lò xo tuyến tính, độc lập với nhau. Hình 2.3 minh
14

họa mô hình vật lý của nền Winkler trong đó biến dạng của nền dưới tác động
của tải ngoài chỉ giới hạn trong miền đặt lực. Mối liên hệ giữa áp lực
p
và
chuyển vị nền
w
tại điểm bất kỳ cho bởi:
wkp
1

(2.6)
trong đó,
1

trượt
x
w
k


2
tạo ra năng lượng đàn hồi trong quá trình nền biến dạng cho bởi [24]










L
dx
x
w
kU
0
2
22
2
1
(2.8)














x
w
dxds
(2.9)
Như vậy, biến dạng màng được tính bởi
2
2
1















L
N
dx
x
w
NU
0
2
2
1
(2.11)
trong đó
N
nhận giá trị dương khi nó là lực kéo và nhận giá trị âm khi nén.

2.5 Động năng
Động năng T của dầm được tính theo công thức:
dV
t
w
t
v
t
u
T
V







222
2
1

(1.12)
Trong đó V là thể tích của dầm.
Từ phương trình (2.2) và (2.12) ta có:
=
∫ ∫







+















0
22
2
1



(2.14)
16

Trong phương trình (2.14) số hạng thứ nhất mô tả động năng quay của thiết
diện ngang của dầm, số hạng thứ hai là động năng cho chuyển vị theo phương z.
Trong lý thuyết dầm Bernoulli ảnh hưởng của quán tính quay thường được bỏ
qua [17,20] tức là bỏ qua số hạng thứ nhất trong vế phải của phương trình (2.14).
Vì vậy, biểu thức động năng cho dầm Bernoulli đưa về dạng giản đơn:
dx
t
w
AT
L
2
0
2

2
) = 0 (2.17)
Trong phương trình (2.16), L là hàm Lagrange của hệ, đư
ợc định nghĩa bởi
L = T -  = T – (U+V) (2.18)
Trong đó  = U+V, với U là năng lượng biến dạng đàn hồi, V là thế của lực
ngoài. Với hệ dầm và nền mô tả trong mục 2.2, năng lượng biến dạng đàn hồi U
có dạng
U = U
1
+U
2
+ U
B
+U
N
(2.19)
với U
B
, U
1
, U
2
, U
N
tương ứng cho bởi các phương trình (2.5), (2.7), (2.8) và
(2.11). Thế của lực ngoài f(t) được tính bởi
V = -f(t)w(x,t)

(x – s(t)) (2.20)

t
L
t
t
t
t
L
t
t
 
 


































0
2
2
0
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2


2
1
0
2
2
(2.22)
x
w
d
x
w
EIdx
x
w
EI
LL
B













w
EI
x
w
x
w
L
L










0
3
3
0
2
2wdx
x
w
EIw

3
3
0
2
2

(2.23)

wdxwkdxwk
LL



0
1
0
2
1
1
2
1

(2.24)
wd
x
w
kdx
x
w
k

= k
2
wdx
x
w
kw
x
w
L
L













0
2
2
20

(2.25)


2
0
2
1

= N
wdt
x
w
Nw
x
w
L
L













0
2
2
































2
1
0
0 0
2
2
0
2
2
2021
0 0 0
4
4
4
4
0
3
3
0
2
2
2
2
)(()(
)(
t
t
L
L L
LL

x
w
EIwdx
t
w
A
dtVUTLdt




dt
(2.28)
Vì w là tuỳ ý nên từ (2.28) ta nhận được phương trình chuyển động cho hệ dầm
- nền như sau:












2
2
2



2
2
khi x = 0 và x = L (2.30a)
P
VNK
x
w
EI 



2
3
3
khi x = 0 và x = L (2.30b)
Trong đó M
p
và V
p
là các giá trị cho trước của momen và lực cắt tại các
đầu dầm.

2.7 Phương trình phần tử hữu hạn
Giả sử dầm được chia thành NE phần tử có độ dài mỗi phần tử là l. Theo
phương pháp Galerkin [25,26] thay cho trường chính xác w(x,t) ta tìm trường
xấp xỉ =(x,t). Mỗi phần tử trường (x,t) cho bởi:

∫
[

]








+







−





+

−

Sử dụng tích phân từng phần ta có thể viết:
∫
[

]







=



[

]









0
-

−












0
+ 
















−













0



(2.34 )
Và
−
∫


[

]




[

]









0

(3.35)
−
∫

[

]






=
∫


[

]









+
∫















{





{

}
+
∫









{

}




−
∫
[

]








0
−
[

]







0
−
[

]








]
+
[


]
+
[


]
+
[


]){

}
+

=
{

}
(2.37)
Trong đó: 
̈
=


=
∫

















(2.39)
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ uốn dầm

[


]
=
∫






(2.41)
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ lớp trượt trong mô hình nề
n Pasternak
[


]
=
∫











(2.42)
là ma trận độ cứng hình học phần tử sinh ra từ dự ứng lực

{

}
=

−












0
−
[

]







0
−
[

]


]
=
∑ [

]


;
[

]
=
∑
(
[


]
+
[


]
+
[


]
+



(

)
= 1 −3




+ 2







(

)
= −2



+






(2.47)
Trong (2.47) hoành độ x được tính từ nút trái của phần tử dầm. Với phần tử
dầm vectơ tọa độ tổng quát cho bởi:
= 

,

,

,



(2.48)
Trong đó: 

,

,

,

là độ võng và góc quay tại các nút i và j của phần
tử.
Với (2.47) ta có thể tính được các ma trận độ cứng trong phương trình
(2.37) như sau:

[






          
         
          
























l
xl
l
xlxl
l
xlxl
l
xl
l
xlxl
l
xlxl
l
xl
l
xlxl
l
xl
EI
0
4
2
545
56
2
56
2
454
2
5

2
36
232
12
2
36


















22
2
3
4626
12612
46