1. Đề tài tốt nghiệp:
“Mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu
composite nền cao su cốt sợi”
2. Các số liệu ban đầu:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………
3. Nội dung các phần thuyết minh và tính toán:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
4. Các bản vẽ và đồ thị:
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
5. Giáo viên hướng dẫn:
Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Trần Hữu Nam
Phần hướng dẫn:
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
1
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

trò trường Bách Khoa chúng ta. Trong cuộc chiến tranh vệ quốc vĩ đại chống
đế quốc Mỹ, thầy trò trường Bách Khoa đã có nhiều đóng góp quan trọng cả
về nhân lực, vật lực và trí lực góp phần giải phóng đất nước. Trong cuộc
chiến tranh vệ quốc vĩ đại đó, trường đại học Bách Khoa xứng đáng là trường
đại học kỹ thuật hàng đầu của đất nước, những kiến thức về kỹ thuật đã được
những sinh viên Bách Khoa đem ra ứng dụng trong thực tế làm cho kẻ địch
vô cùng kinh sợ góp phần đưa đất nước đến thắng lợi cuối cùng. Điều đó có
công không nhỏ của những thầy cô giáo trường Bách Khoa đã ra sức giáo dục
và truyền thụ kiến thức của mình, đồng thời truyền thụ cả lòng yêu nước nồng
nàn cho thế hệ trẻ. Và trong công cuộc xây dựng đất nước ngày nay, các thầy
cô giáo trường đại học Bách Khoa nói chung và các thầy cô giáo khoa cơ khí
nói riêng vẫn âm thầm làm việc, đào tạo và bồi dưỡng cho sinh viên những
kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại để sau này xây dựng đất nước ngày càng
giàu đẹp hơn. Paul Brulat – nhà văn Pháp – có nói: “Làm sao không lưu tâm
được đến những người hết sức làm việc? Chính bởi cái hùng khí trầm lặng và
kín đáo ấy mà thế giới vẫn tiếp diễn và vững chắc vậy”. Vâng! Làm sao
không lưu tâm cho được cái hùng khí trầm lặng và kín đáo ấy, cái hùng khí ấy
sẽ giúp chúng em vững bước tiến lên. Em xin cảm ơn toàn thể các thầy cô
giáo trong trường Bách Khoa, những người anh hùng thầm lặng đã nhiệt tình
dạy dỗ và chỉ bảo chúng em suốt những năm tháng sinh viên, dạy cho chúng
em những điều hay lẽ phải. Em xin cảm ơn!
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
4
Đặc biệt, cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo Trần Hữu
Nam, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành đồ án tốt nghiệp này.
Và cuối cùng, em xin cảm ơn toàn thể bạn bè, anh em đã cùng được sống và
giúp đỡ nhau trong những năm tháng sinh viên đầy ý nghĩa. Xin cảm ơn tất
cả.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
5

3.3.2 Mô hình Ogden 40
3.2.3 Mô hình Mooney-Rivlin 41
3.2.4 Mô hình Neo-Hookean 41
3.4 Vật liệu SĐH đẳng hướng nén được 43
3.4.1 Tính SĐH nén được 43
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
6
3.4.2 Tính SĐH đẳng hướng nén được biểu diễn dưới dạng của những bất biến
44
3.4.3 Mô hình Ogden 45
3.4.4 Mô hình Mooney-Rivlin 46
3.4.5 Mô hình Neo-Hookean 47
Chương IV: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VÀ NHẬN DẠNG HẰNG SỐ VẬT LIỆU
(Trần Hữu Nam, 2004) 48
4.1 Thực nghiệm nghiên cứu 50
4.2 Xác định những hằng số vật liệu 58
Chương V: MÔ HÌNH PTHH VÀ MÔ PHỎNG BIẾN DẠNG CỦA CRC 60
5.1 Giới thiệu phần mềm ANSYS 60
5.1.1 Giới thiệu chung 60
5.1.2 Các lệnh cơ bản 62
5.2 Mô hình phần tử hữu hạn của CRC 66
5.3 Mô phỏng số 67
5.4 Mô phỏng tính toán 68
KẾT LUẬN 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO 77
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
7
MỤC TIÊU ĐỒ ÁN:
• Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật
liệu composite trên nền cao su cốt sợi.

xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi. Ứng dụng mô hình
phần tử hữu hạn để mô phỏng biến dạng kéo một chiều và hai chiều của
vật liệu CRC.
• Kết luận
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
9
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
A
a
B
B
B
C
C
t
C
0
C
1 2
,c c
E
EB
F
F
fb
I
I1, I2, I3
1, 2
I I
J

p
R
S
Svol
Sdis
T
TB
t
t
u
u
V
va
X
x
n
α
ε
L
ε
0L
ε
κ
a
λ
a
λ
µ
n
µ

Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tức thời
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
11
σ
vol
σ
dis
σ
τ
ξ
ψ
vol
ψ
dis
ψ
0
Ω
Ω
Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tham chiếu
Tenxơ ứng suất Cauchy
Thành phần lệch của ứng suất Cauchy
Thành phần đẳng tích của ứng suất Cauchy
Tenxơ ứng suất Kirchhoff
Hàm giá trị vô hướng
Hàm năng lượng biến dạng
Thành phần lệch của hàm năng lượng biến dạng
Thành phần đẳng tích của hàm năng lượng biến dạng
Thể tích vật thể chưa bị biến dạng
Thể tích vật thể bị biến dạng
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48

có thể chịu được những biến dạng hữu hạn.
1.2 Tình hình nghiên cứu hiện tại
Những nghiên cứu về vật liệu SĐH dạng như cao su đã được nhiều tác giả
trình bày theo hai hướng chính :
- Thứ nhất là dựa trên các lời giải giải tích mà được phát triển cho các
trường hợp đơn giản, chẳng hạn, bài toán màng cầu và trụ hữu hạn đã
được Beatty (1987) trình bày trên cơ sở lý thuyết liên tục của Green và
Adkins. Trong hầu hết các trường hợp thì bài toán đều đưa về hệ
phương trình vi phân bậc nhất phi tuyến với các điều kiện biên hai
điểm. Guo (2001) đã phân tích bài toán biến dạng hữu hạn của màng
trụ SĐH của vật liệu dạng như cao su dưới tác dụng của áp suất bên
trong. Gần đây Nam (2004) đã trình bày bài toán phân tích biến dạng
hữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khí nén chịu áp suất bên trong.
- Thứ hai dựa trên ứng dụng của phương pháp PTHH, chẳng hạn Shi và
Moita (1996) đã sử dụng phương pháp PTHH để nghiên cứu những ứng
xử phi tuyến của ống vật liệu dạng cao su chịu áp suất bên trong. Phần
tử hữu hạn đối xứng đã được dùng để mô hình hóa vật liệu SĐH dạng
cao su nhằm nghiên cứu ứng xử của màng căng phồng. Verron và
những người khác (2001) đã trình bày các phương trình trạng thái vật
liệu SĐH dưới dạng mạng lưới để nghiên cứu màng vật liệu dạng cao
su căng phồng. Gần đây, Nam (2004) đã xây dựng chương trình PTHH
cho việc phân tích biến dạng hữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khí
nén chịu áp suất bên trong.
Các phương trình trạng thái cho nghiên cứu các vật thể dạng cao su thường
được sử dụng thông qua các mô hình của Neo-Hookean, Mooney-Rivlin và
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
14
Ogden (Beatty, 1987; Holzapfel, 2000; Bonet, 2000 và Guo, 2001). Các mô
hình này ngày càng được thay thế cho các mô hình vật lý dựa trên cơ sở các
quan điểm thống kê. Gần đây những tính toán số của các mô hình đẳng

16
O
X2 , x2
E2 , e2
X
x
B
C
P
dX
Q
time t=0 time t
X3 , x3
E3 , e3
X1 , x1
E1 , e1
P'
dx
Q'
o
t
C
U(X,t)=u(x,t)
Hình 2.1: Động học của một vật thể biến dạng
Cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc với gốc O cố định và vectơ đơn vị
i
e
v

(i=1,2,3) (hình vẽ 2.1). Một vật thể liên tục B chiếm một miền hình học ở

thức hóa qua các toạ độ như các biến độc lập và được gọi là sự mô tả vật liệu
(Lagrange) hoặc qua các toạ độ không gian như các biến độc lập được gọi là
sự mô tả không gian (Euler). Đối với cơ học vật rắn biến dạng ta thường sử
dụng các mô tả vật liệu. Còn với cơ học chất lỏng thường sử dụng các mô tả
không gian.
Cả hai phương trình động học (2.1) và (2.2) là tương đương nhưng không
đồng nhất và chúng được mô tả bởi các hàm khác nhau. Sự mô tả vật liệu
trong phương trình (2.1) đặc trưng cho chuyển động đối với toạ độ vật liệu và
thời gian t, các biến độc lập (X,t) được coi là các biến vật liệu. Mặt khác, sự
mô tả chuyển động được đưa ra ở (2.2) liên quan đến một điểm trong không
gian. Sự mô tả này được gọi là sự mô tả không gian và các biến độc lập (x,t)
là các biến số không gian. Thực tế những ứng xử trạng thái của vật rắn thường
biểu diễn qua các tọa độ vật liệu, nên sử dụng mô tả Lagrange.
2.1.2 Trường chuyển vị
Trường chuyển vị trong mô tả vật liệu được kí hiệu là U, là hàm của chất
điểm X và thời gian t, được cho bởi công thức :
( , ) ( , )t t= −U X x X X
(2.3)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
18
Trường chuyển vị trong mô tả không gian được kí hiệu là u, là hàm của
chất điểm x và thời gian t, được cho bởi công thức :
( , ) ( , )t t= −u x x X x
(2.4)
Véctơ U và véctơ u có cùng giá trị nhưng chúng trình bày cho các hàm có đối
số khác nhau.
2.1.3 Tenxơ gradient biến dạng
Biến dạng của một vật thể liên tục (đó là sự thay đổi kích thước và hình
dạng) xảy ra khi nó dịch chuyển từ hình dạng ban đầu
0

Các thành phần của tenxơ Gradient biến dạng được biểu diễn như sau:
, ( , 1,2,3)
i
ij
J
F i j
∂
= =
∂
x
X
(2.8)
Giá trị đảo của F là:
1−
∂
=
∂
X
F
x
(2.9)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
19
a) Tenxơ gradient chuyển vị
Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả vật liệu được xác định từ công thức
(2.3) và (2.7)
( , ) ( , )grad grad t grad t= − = −U x X X F X I
(2.10)
Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả không gian được xác định từ công
thức (2.4) và (2.9)

(2.15)
Do đó tồn tại giá trị đảo của gradient biến dạng.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
20
2.1.4 Phân tích cực
Tenxơ gradient biến dạng F mô tả ở trên biến đổi vectơ phần tử vật liệu dX
thành vectơ phần tử không gian dx. Vai trò chính của F là rất quan trọng khi
phân tích nó ra thành phần quay và giãn. Từ quan điểm thuần túy về mặt toán
học, phân tích cực của F có thể được định nghĩa bằng công thức :
=
F RU
, khi phân tích phải. (2.16)
=F VR
, khi phân tích trái. (2.17)
Với R là tenxơ quay trực giao và U, V là các tenxơ đối xứng dương được xem
như là các tenxơ giãn trái và phải trong hình dạng vật liệu và trong hình dạng
không gian cho bởi công thức:
, ,
T T T
= = =R R I U U V V
(2.18)
2.1.5 Tenxơ biến dạng
Ở trong phần trước gradient biến dạng được trình bày như tenxơ động học
cơ bản trong động học biến dạng hữu hạn. Mục đích của phần này là xác định
sự thay đổi kích thước dưới dạng các tenxơ biến dạng có liên quan tới hình
dạng biến dạng và hình dạng chưa biến dạng của vật thể.
Tenxơ biến dạng vô cùng bé sử dụng trong phép phân tích biến dạng nhỏ
được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của trường chuyển vị
1
2

,
2
.dl d d= x x
(2.20)
Sự thay đổi bình phương các chiều dài xảy ra khi một vật thể biến dạng từ
hình dạng ban đầu, được xác định bởi công thức của vectơ thành phần là dX:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
. . . .
2 2 2
1 1
. .
2 2
1
.
2
T T
dl dL d d d d d d d d
d d d d d d
d d d d
− = − = −
= − = × −
= × − =
x x X X F XF X X X
X F F x X X X F F I X
X C I X X E X

− = −
= × − =
x x x F F x
x I B x x A x
(2.24)
trong đó, B là tenxơ biến dạng Cauchy – Green trái :
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
22
T
=B FF
(2.25)
A là tenxơ biến dạng Almansi cho bởi công thức :
1
1
( )
2
−
= −A I B
(2.26)
Tenxơ C liên quan đến hình dạng chưa biến dạng
o
C và tenxơ B liên quan
đến hình dạng biến dạng
t
C. Cả hai tenxơ B và C là đối xứng và xác định
dương.
( )
( )
T T T T
T T T T

2
=B V
(2.30)
Mối quan hệ giữa U và V, giữa B và C sẽ được xác định sau một vài phép
biến đổi:
T T
= =V FR RUR
(2.31)
2 T
= =B V RCR
(2.32)
Để xác định giá trị của U từ phương trình (2.29) cần thiết xác định các
phương chính của C thông qua vectơ riêng v
a
tương ứng với các giá trị riêng
của nó
2
a
λ
(a = 1,2,3). Khi đó C có thể viết như sau :
3
2
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a

2
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
B n n
(2.35)
3
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
V n n
(2.36)
Các véctơ riêng của V và B là các véctơ riêng của U và C quay với R,
véctơ v
a
được biểu diễn qua véctơ trực giao không gian n
a
:
=
a a

(2.40)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
24
Ngoài tenxơ biến dạng logarit trong công thức (2.40), còn có tenxơ biến
dạng logarit trái liên quan tới hình dạng biến dạng được xác định bởi công
thức :
1
ln ln
2
L
= =ε V B
(2.41)
2.2 Tenxơ ứng suất
Trong mục này giới thiệu các tenxơ ứng suất đối với một vật thể biến dạng
hữu hạn. Chuyển động và biến dạng được mô tả bởi các thuyết động học
thường gây ra do ngoại lực tác dụng lên vật thể. Trước tiên ứng suất được
định nghĩa trong một hình dạng tức thời dưới dạng chuẩn bằng lực chia cho
diện tích. Đây chính là tenxơ ứng suất nổi tiếng Cauchy thường được sử dụng
trong các phép phân tích tuyến tính. Ngược lại với phép phân tích tuyến tính,
các đại lượng ứng suất liên quan đến hình dạng ban đầu của vật thể cũng có
thể được định nghĩa. Điều này được sử dụng nhiều trong các khái niệm công
liên hợp và nó dẫn đến tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff.
2.2.1 Tenxơ ứng suất Cauchy - phương trình cân bằng
Tồn tại duy nhất hàm tenxơ bậc hai σ và t sao cho :
t = σn
hoặc
i ij j
t n
σ
=