BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số

: 9440107

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà nội – 2019


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành

Phản biện 1: GS.TS. Hoàng Xuân Lượng
Phản biện 2: GS.TS. Phạm Chí Vĩnh

không gian dọc theo trục dầm. Vì thế các phương pháp giải tích thường
gặp khó khăn trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Phương pháp
phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh trong phân tích kết cấu, là
lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích truyền thống
trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây
dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích
dao động của dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc
đẩy ứng dụng của vật liệu FGM vào thực tế. Từ những phân tích nêu trên,
tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao
động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài nghiên cứu
cho Luận án của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích
dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc
độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số
hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng
trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm
2D-FGM.
3. Các nội dung nghiên cứu chính của luận án
Bốn nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong bốn chương của


2

Luận án. Cụ thể, Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu
trong và ngoài nước về kết cấu dầm 1D và 2D-FGM. Chương 2 trình
bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm 2D-FGM. Các
phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý thuyết
biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba cải tiến. Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô


3

Z

z
C2

C1

0

h

y

X

M1

M2

b

L, b, h

Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM

Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần được giả định thay đổi
theo chiều cao và chiều dài dầm như sau:


nx

(2.1)

Các tính chất hiệu dụng P (chẳng hạn mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt,
mật độ khối,...) của dầm 2D-FGM trong Luận án được đánh giá theo mô
hình Voigt:
P = VC1 PC1 +VC2 PC2 +VM1 PM1 +VM2 PM2

(2.2)

Khi dầm đặt trong môi trường nhiệt độ, các tính chất hiệu dụng của
dầm không chỉ phụ thuộc vào tính chất của các vật liệu thành phần mà
còn phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường. Khi đó, ta viết được biểu thức


4

cho các tính chất hiệu dụng của dầm dưới dạng chính xác như sau:
z 1 nz
x nx
+
+ PM1 (T ) 1 −
h 2
L
nz
z 1
x nx
PC2 (T ) − PM2 (T )

L
L
x
x 3
Dạng thon B : A(x) = A0 1 − c , I(x) = I0 1 − c
(2.9)
L
L
x 4
x 2
, I(x) = I0 1 − c
Dạng thon C : A(x) = A0 1 − c
L
L
2.2. Lý thuyết dầm
Dựa trên các ưu, nhược điểm của các lý thuyết dầm, Luận án sẽ sử
dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) của Timoshenko [127]
và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến do Shi đề nghị (ITSDT) [40]
để xây dựng các mô hình PTHH.
2.3. Phương trình dựa trên FSDT
Việc xây dựng các phương trình cơ bản cũng như các biểu thức năng
lượng dựa trên lý thuyết FSDT và ITSDT là tương tự nhau. Mục 2.4 sẽ
trình bày chi tiết quá trình thiết lập các phương trình dựa trên ITSDT.


5

2.4. Phương trình dựa trên ITSDT
2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ
Từ trường chuyển vị Luận án nhận được các biểu thức cho biến dạng,


G(x, z, T )(1, z2 , z4 )dA

(B11 , B22 , B44 )(x, T ) =
A(x)

(2.28)
Động năng của dầm
L

1
T =
2

1
1
I11 (u˙20 + w˙ 20 ) + I12 u˙0 (w˙ 0,x + 5θ˙ ) + I22 (w˙ 0,x + 5θ˙ )2
2
16

0

−

5
25
10
I34 u˙0 (w˙ 0,x + θ˙ ) − 2 I44 (w˙ 0 + θ˙ )(w˙ 0 + 5θ˙ ) + 4 I66 (w˙ 0,x + θ˙ )2 dx
3h2
6h

j
j

x
L
x
L

nx

nx

(2.31)

với AiC1M1
, BiC1M1
là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C1 và M1;
j
j
C2M2
C2M2
Ai j , Bi j
là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C2 và M2. Các
độ cứng của dầm 1D chỉ là hàm của z do đó có thể thu được dưới dạng
tường minh.
2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0
Bằng cách sử dụng góc trượt ngang (hay còn gọi là biến dạng trượt cổ
điển), γ0 = w0,x + θ , như là hàm độc lập, ta có thể viết chuyển vị dọc trục
và chuyển vị ngang trong (2.13) dưới dạng:
1


NT w20,x dx
0

(2.42)


7
T
trong đó NT là tổng lực dọc trục, sinh ra do ứng suất nhiệt σxx
:
T
σxx
dA = −

NT =
A(x)

E(x, z, T )α (x, z, T )∆T dA

(2.43)

A(x)

Năng lượng biến dạng tổng thể là tổng của năng lượng biến dạng đàn
hồi UB và năng lượng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ UT [70].
2.6. Thế năng của lực ngoài
Trường hợp dầm chịu tác động của một lực P không đổi (lực được giả
sử chỉ gây uốn cho dầm), di động với vận tốc không đổi v như xét trong
Luận án, thế năng của lực di động, V , cho bởi:


1
5
5γ¨0 − 4w¨ 0,x I22 − 2 I44 γ¨0
4
3h

5
1
+ A22 5γ0,x − 4w0,xx − 2 A44 γ0,x
4
3h

,x

− A12 u0,x
,x

= NT w0,x
,xx

=0

,x

− Pδ x − s(t)
(2.52)


8

A44 γ0,x − w0,xx − 4 A66 γ0,x
3h2
2
9h

+5
,x

1
1
1
B11 − 2 B22 + 4 B44 γ0 = 0
16
2h
h
(2.53)

Để ý thấy rằng các hệ số trong hệ phương trình vi phân chuyển động
là các độ cứng và mô-men khối lượng của dầm, các đại lượng này là hàm
của biến không gian theo chiều dài dầm và nhiệt độ, do đó việc giải hệ
bằng phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn. Phương pháp PTHH
được Luận án lựa chọn để tính toán các đặc trưng dao động của dầm.
Kết luận Chương 2
Chương 2 đã xây dựng các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM.
Các phương trình được thiết lập trên cơ sở hai lý thuyết biến dạng trượt
là FSDT và ITSDT. Ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện
ngang được xem xét trong việc thiết lập các phương trình cơ bản. Các biểu
thức năng lượng được trình bày chi tiết cho cả FSDT và ITSDT trong
Chương 2. Đặc biệt, với ITSDT, các phương trình cơ bản và biểu thức
năng lượng được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang

Luận án của Bùi Văn Tuyển). Dựa trên các biểu thức năng lượng nhận
được trong Chương 2, sử dụng hàm dạng Kosmatka Luận án xây dựng
được mô hình FBKo, sử dụng các hàm nội suy thứ bậc Luận án xây dựng
được mô hình phần tử FBHi cho phân tích dao động của dầm 2D-FGM.
Việc xây dựng các mô hình dựa trên các lý thuyết và các hàm dạng là
tương tự nhau, mục 3.2 sẽ trình bày chi tiết việc xây dựng các ma trận độ
cứng và khối lượng cho một phần tử đặc trưng dựa trên ITSDT.
3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT
Với hai cách biểu diễn của trường chuyển vị, hai mô hình PTHH tương
ứng với hai cách biểu diễn này sẽ được xây dựng dưới đây. Để tiện lợi,
mô hình PTHH sử dụng góc quay θ là hàm độc lập, trong Luận án gọi là
mô hình TBSθ , mô hình PTHH sử dụng γ0 là hàm độc lập trong Luận án
gọi là mô hình TBSγ .
3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ
Khác với mô hình PTHH dựa trên FSDT, véc-tơ chuyển vị nút cho
phần tử dầm hai nút, (i, j), sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba nói
chung và ITSDT nói riêng gồm tám thành phần:
dSθ = {ui wi wi,x θi u j w j w j,x θ j }T

(3.28)

Các chuyển vị u0 , w0 và góc quay θ được nội suy từ các chuyển vị nút
qua các hàm dạng theo phương trình:
u 0 = Nu d S θ , w 0 = Nw d S θ , θ = Nθ d S θ

(3.29)

trong đó Nu , Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0 , w0 và
θ . Ở đây, các hàm dạng tuyến tính được sử dụng để nội suy cho chuyển


1
1
0 0 0
0 0 0
l
l
1
6 12x
4 6x
5
=
0 − 2+ 3 − + 2 −
0
4
l
l
l
l
l
6 12x
4 6x
1
5
= 2 0 − 2+ 3 − + 2 −
3h
l
l
l
l
l

2 6x 1
0 2− 3 − + 2
l
l
l l
l
2
2
6x 6x
2x 3x x
0 2− 3 − + 2
l
l
l
l
l
(3.34)

Biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UB trong phương trình (2.27)
được viết dưới dạng:
UB =

1 nE Sθ T Sθ Sθ
(d ) k d
2∑

(3.9)

với ma trận độ cứng phần tử kSθ được định nghĩa như sau:
Sθ

=

T

A22 BSbθ dx

0

0
l

kSs θ = 25

T

BSs θ

1
1
1
B11 − 2 B22 + 4 B44 BSs θ dx
16
2h
h

0
l
Sθ
=
khs

A44 BShsθ dx

0

(3.36)

tương ứng là ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng
uốn, biến dạng trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao và các biến dạng
tương hỗ.
Khác với ma trận độ cứng phần tử trong FSDT, ma trận độ cứng phần
tử trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba còn có thêm các thừa số sinh
ra từ biến dạng trượt bậc cao. Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng
tương hỗ trong (3.36) cũng khác với trường hợp mô hình FBKo và mô
hình FBHi.
Động năng của dầm cũng có thể viết dưới dạng:
T =

1 nE ˙ K T ˙ K
(d ) m d
2∑

(3.13)

với ma trận khối lượng phần tử nhất quán cho bởi:
22
34
44
66
11
12

m22
θθ

;

m12
uθ

=

NTu I34 (Nw,x + Nθ )dx
0

0

m44
θγ = −

l

1 T
5
(N + 5NTθ )I22 (Nw,x + 5Nθ )dx ; m34
uγ = −
16 w,x
3h2
l

5
12h2


(3.39)

Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc trượt ngang được nội suy
từ các chuyển vị nút bởi:
u0 = Nu dSγ , w0 = Nw dSγ , γ0 = Nγ dSγ

(3.40)

với Nu , Nw và Nγ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0 , w0 và γ0 .
Ở đây hàm dạng tuyến tính được dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục
u0 (x,t) và góc trượt ngang γ0 , các hàm Hermite được sử dụng cho chuyển
vị ngang w0 (x,t). Việc xây dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng phần tử nhận được hoàn toàn tương tự như mô hình phần tử TBSθ .
3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ
Sử dụng các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0 (x,t) ta có thể viết
biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do nhiệt độ (2.42) dưới dạng
ma trận như sau:
1 nE
UT = ∑ dT kT d
(3.44)
2


13

trong đó
l

kT =

riêng. Phương trình (3.49) có thể giải bằng phương pháp tích phân trực
tiếp Newmark. Phương pháp gia tốc trung bình không đổi với khả năng
ổn định số không điều kiện được sử dụng trong Luận án này.
Kết luận Chương 3
Chương 3 xây dựng mô hình PTHH cho một phần tử dầm hai nút dựa
trên hai lý thuyết biến dạng trượt. Với phần tử dầm FSDT, mô hình PTHH
được xây dựng dựa trên hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka và
hàm dạng thứ bậc. Mô hình PTHH sử dụng ITSDT được xây dựng từ các
hàm tuyến tính và hàm dạng Hermite, trong đó hàm Hermite được dùng
để nội suy chuyển vị ngang. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận
khối lượng cho mô hình dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở coi góc
quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu


14

thức cho ma trận độ cứng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và véc-tơ lực nút
cho trường hợp dầm chịu lực di động cũng được xây dựng trong Chương.
Chương 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

Kết quả số được trình bày trên cơ sở phân tích ba bài toán: (1) Dao
động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ; (2) Dao động tự
do của dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM
chịu tác động của lực di động. Từ kết quả số nhận được, một số kết luận
liên quan tới ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ
môi trường và độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng và mode dao động
được rút ra. Ứng xử động lực học của dầm 2D-FDM dưới tác dụng của
lực di động cũng được thảo luận trong Chương.
4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH
4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH

thừa như nghiên cứu trong Luận án, vì thế việc so sánh sẽ được thực hiện
cho dầm 1D-FGM, trường hợp riêng của dầm 2D-FGM. Các kết quả so
sánh nhận được trong mục này cho thấy các tần số dao động riêng có tính
tới ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang cũng như
đáp ứng động lực học nhận được từ các mô hình PTHH phát triển trong
Luận án là đáng tin cậy. Kết quả này cho phép khẳng định độ tin cậy của
các mô hình PTHH và chương trình tính toán số của Luận án và có thể
dùng để nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM.
4.2. Dao động tự do
4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi
4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu
Hình 4.1 minh họa ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số
tần số đầu tiên của dầm S-S với ∆T = 50K.
20

5

µ2

µ1

4
3
2
2

1.5
nx

1


0.5

1

1.5

2

nz

60

µ4

µ3

50
30

40
20
2

1.5
nx

1

0.5

nz

Hình 4.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm S-S
với ∆T = 50K

Từ Hình 4.1 ta có thể thấy rằng:
- Với một giá trị cho trước của nx , tham số tần số cơ bản µ1 có xu
hướng giảm khi nz tăng. Đồng thời, sự giảm này rõ nét hơn khi giá trị
của nx lớn. Ảnh hưởng của tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx , tới


16

tham số tần số cơ bản của dầm ngược với ảnh hưởng của nz . Cụ thể, khi
nx tăng, tham số tần số cơ bản của dầm cũng tăng. Thêm vào đó, sự tăng
của tham số tần số µ1 nhanh hơn khi giá trị của nz nhỏ hơn.
- Tham số tần số cơ bản của dầm đạt giá trị lớn nhất khi nx = 2 và
nz = 0, trường hợp này ứng với dầm 1D-FGM có cơ tính biến đổi dọc
trục tạo bởi 2 gốm.
- Quy luật phụ thuộc của các tham số tần số cao hơn vào tham số vật
liệu tương tự như quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham
số vật liệu, tức là các tham số tần số tăng lên khi nx tăng và giảm đi khi
nz tăng. Quy luật này không phụ thuộc vào giá trị của ∆T .
4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ
Hình 4.2 minh họa sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu
của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T .

5

4

2
2

2

1.5
nx

nz

1

0.5

(a) ∆T=0 K

1

1.5

2

nz

(a) ∆T=20 K

5

5



1.5
nz

2

2
2

1.5

1

n

x

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

nz

số tần số cơ bản của dầm C-C và C-F. Tuy nhiên, sự suy giảm này chịu
ảnh hưởng rõ nét bởi tham số vật liệu và điều kiện biên. Cụ thể, dầm C-C
ít bị ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Ngược lại, dầm C-F rất nhạy cảm
với sự tăng của nhiệt độ.
4.2.1.5. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm
Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu của
dầm với L/h = 10 và L/h = 30, như ta thấy từ Hình 4.7, là như nhau. Tuy
nhiên khi tỷ số L/h tăng, tham số tần số của dầm giảm đáng kể. Cần lưu
ý rằng, các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng với dầm ở nhiệt độ phòng,
khi độ mảnh của dầm tăng lên thì tham số tần số của dầm cũng tăng. Tuy
nhiên, như thấy từ Hình 4.7, điều này không còn đúng khi ảnh hưởng của
nhiệt độ được xét tới. Điều này có thể giải thích bởi độ cứng của dầm có
độ mảnh lớn giảm mạnh hơn nhiều so với dầm có độ mảnh thấp khi dầm
đặt trong môi trường nhiệt độ cao.
4.2.1.4. Mode dao động
Hình 4.8 minh họa ba mode dao động đầu tiên w0 , u0 và γ0 của dầm SS với hai cặp tham số vật liệu (nx , nz ) = (0.0, 0.5) và (nx , nz ) = (0.5, 0.5),
trong môi trường nhiệt độ phòng (∆T = 0).
Như ta thấy từ Hình 4.8, các mode dao động của dầm 2D-FGM, Hình


1

4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
2

2.5
2
1.5
2
1.5

2

n

z

1
x

0.5
0 0

0.5

1

2

1.5
n

z

(b) ∆T=50 K, L/h=30

0

n =0, n =0.5
x

−0.5

n =0.5, n =0.5

z

0

0.25

0.5

0.75

−0.5

1

mode 2

1

0.5

0.75


−1.5

0
1.5

0.25

0.5

0.75

−1.5

1

0

1.5

mode 3

1

1

0.5

0.5


mode 3

−1
0

0.25

0.5

0.75

1

−1.5
(b)

0

1

Hình 4.8. Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 0K: (a)
(nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5)

4.8(b), rất khác so với các mode dao động của dầm 1D-FGM trên Hình
4.8(a). Trong khi mode dao động thứ nhất và thứ 3 cho chuyển vị ngang
w0 của dầm 1D-FGM đối xứng qua trục đi qua điểm giữa của dầm thì với
dầm 2D-FGM mode dao động không còn đối xứng. Ta cũng thấy rõ sự
khác nhau trong các mode dao động của u0 và γ0 từ Hình 4.8(a) và Hình
4.8(b). Ở mode dao động thứ hai, với dầm 1D-FGM, mode dao động cho
γ0 đối xứng với trục đi qua điểm giữa của dầm nhưng tính đối xứng này

B.
4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm
Một số nhận xét được rút ra từ Mục này như sau:
- Ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tần số dao động của dầm thon ít
hơn so với dầm có thiết diện ngang không đổi.
- Điều kiện biên đóng vai trò quan trọng tới ảnh hưởng của độ mảnh
dầm lên tham số tần số cơ bản của dầm. Sự tăng của tham số tần số cơ
bản của dầm S-S khi L/h0 tăng nhiều hơn đáng kể so với trường hợp dầm
C-F và điều này đúng với mọi cặp các giá trị của tham số vật liệu và tham
số thiết diện.


20

3

3
Case A
Case B
Case C

2
1.5

2
1.5
(b) n =0.5, n =0

(a) n =0, n =0.5
1

Case B
Case C

2.5

2

0.6
c

3

Case A
Case B
Case C

2.5

1

1

0.9

c

3

µ1


c

c

Hình 4.14. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon
C-F: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d)
(nx , nz ) = (0.5, 2)
5

5

(a) nx=0, nz=0.5

(b) nx=0.5, nz=0
4
µ1

µ1

4

3
Case A
Case B
Case C

2

1



z

4
µ1

µ1

0.9

5

4
3
Case A
Case B
Case C

2
1

0.6
c

c

0

3
Case A

9

9

7
µ1

µ

1

7
(a) n =0, n =0.5
x

5

3

0

(b) nx=0.5, nz=0

z

5

Case A
Case B
Case C


7
(c) nx=2, nz=0.5
5

3

0.6
c

9

0

(d) nx=0.5, nz=2
5

Case A
Case B
Case C
0.3

0.6

0.9

3

Case A
Case B

tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx , và tham số vật liệu theo chiều cao


22

0.4

0.4
w (L/2,t)/w

0.2

0

0

w (L/2,t)/w

st

0.6

st

0.6

0
−0.1

0.2

t/∆T*

st

0.4

0.1

v=20 m/s
v=50 m/s
v=100 m/s

0
−0.2

0.2

w (L/2,t)/w

0

w (L/2,t)/w

st

0.8

(c)

0.8

0
0.8

1

−0.05
(d)

0

0.2

0.4
0.6
t/∆T*

Hình 4.17. Mối liên hệ của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm theo thời gian với
các giá trị khác nhau của tham số vật liệu: (a) (nx , nz ) = (1/3, 1/3), (b) (nx , nz ) = (3, 3),
(c) (nx , nz ) = (0, 3), (d) (nx , nz ) = (3, 0)

dầm, nz , tới tham số động lực học Dd của dầm 2D-FGM. Tham số động
lực học của dầm 2D-FGM giảm dần khi nx tăng lên, trong khi tham số
này tăng khi nz tăng. Ảnh hưởng của hai tham số vật liệu này lên tham số
động lực học Dd có thể được giải thích bởi sự thay đổi của độ cứng dầm
khi các tham số vật liệu thay đổi như nói tới trong phân tích dao động tự
do của dầm 2D-FGM.
Sự phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại
thiết diện ngang ở giữa dầm 2D-FGM được minh họa trên Hình 4.20 cho
trường hợp vận tốc của lực di động v=100 m/s và các giá trị khác nhau
của tham số vật liệu. Ứng suất trên Hình 4.20 được tính tại thời điểm lực

D

d

Dd

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3
(a)

0.2

nz=0
nz=1/3
n =1
z
nz=3

0


300

350

v (m/s)

v (m/s)

Hình 4.18. Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc lực di động: (a) nz = 1/3,
nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi
0.5

0.5
nx=0

nz=0

nx=1/3

nz=1/3

nx=1

0.25

nz=1

0.25


(b) nx=1/3
−1

0
σ*

1

2

Hình 4.20. Phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại giữa dầm với
v = 100 m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz thay đổi

suất kéo đều giảm khi nx tăng, và ngược lại, tăng khi nz tăng. Như vậy,
bằng cách tăng tham số nx ta có thể làm giảm tham số động lực học Dd
và đồng thời làm giảm cường độ cực đại của ứng suất pháp.
Kết luận Chương 4
Trên cơ sở so sánh kết quả số nhận được trong Luận án và kết quả
đã công bố, Chương 4 đã chứng tỏ cả 4 mô hình PTHH phát triển trong
Luận án đáng tin cậy trong việc đánh giá các đặc trưng dao động của
dầm FGM. Ba mô hình PTHH, mô hình FBKo, FBHi và mô hình TBSγ ,
được khẳng định có tốc độ hội tụ cao trong khi mô hình TBSθ có tốc độ