Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (h-FEM, p-FEM) CHO
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG
A REFINED FINITE ELEMENT METHOD (h-FEM, p-FEM) APPLIED TO FREE
VIBRATION ANALYSIS OF STRUSS STRUCTURES
Đỗ Văn Hiến
Khoa Cơ khí Chế tạo máy,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM

TÓM TẮT
Trong bài báo này, hai phiên bản làm mịn h-FEM và p-FEM sẽ được áp dụng trong
phân tích dao động cho bài toán dàn phẳng. Khác với phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn,
mỗi phần tử thanh sẽ có nhiều hơn hai nút và các nút này sẽ được chọn làm nút làm giàu. Độ
chính xác và hiệu quả của phương pháp sẽ được so sánh với các kết quả đã được công bố
trong các công trình nghiên cứu trước đó (so sánh với phương pháp CEM và GFEM) qua các
ví dụ số. Kết quả nghiên cứu này cũng chỉ ra rằng p-FEM cho kết quả hội tụ tốt hơn h-FEM.
Từ khóa: dàn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử composite, dao
động tự do
ABSTRACT
In this paper, an application of h-version and p-version Finite Element Method (FEM)
to free vibration analysis of plane trusses is presented. The h-FEM and p-FEM are developed
by enriching the standard Finite Element Method. The frequencies obtained by this method
convege with previous publishes such as CEM and GFEM. This research shows that p-FEM
gives a better result than h-FEM.
Keywords: Truss, FEM, p-FEM, h-FEM,CEM, GFEM, adaptive GFEM, free vbiration.
1. GIỚI THIỆU
Kết cấu kỹ thuật ngày càng cao hơn, mảnh hơn, nhẹ hơn và rẻ hơn. Máy móc, xe hơi và
máy bay được chế tạo với vật liệu nhẹ hơn và đáp ứng yêu cầu kỹ thuật cao hơn. Ảnh hưởng
động học ngày càng được chú ý và, trong hầu hết các trường hợp, phân tích dao động của kết
cấu rất cần thiết. Có một vài phương pháp phân tích dao động có thể được tìm thấy trong các


(1)

Hay
n

ue ( x ) = ∑ N i ( x )ui

(2)

i =1

Ở đây, N i ( x ) là các hàm dạng bậc n-1; ui là chuyển vị dọc trục của nút thứ i thuộc

phần tử và nó là bậc tự do q i của véctơ chuyển vị nút phần tử {q e } .

Đối với h-FEM, tác giả sử dụng hàm nội suy tuyến tính. Còn p-FEM tác giả sử dụng
hàm nội suy bậc hai và ba trong phân tích dao động của dàn. Đối với PPPTHH chuẩn, bài
toán dàn mỗi phần tử có 2 nút và số bậc tự do cho mỗi nút 2 (bài toán dàn phẳng) và 3 (cho
bài toán dàn không gian). Khi áp dụng h-FEM và p-FEM thì mỗi phần tử thanh có nhiều hơn
2 nút và số bậc tự do mỗi nút cũng khác nhau. Cụ thể, đối với bài toán dàn phẳng các nút biên
ở mỗi phần tử hình 1 sẽ có 2 bậc tự do (các nút q 1 và q 2 ), các nút bên trong chỉ có một bậc tự
do (các nút c 1 , c 2 ,...),. Do đó, theo cách tiếp cận này cần phải thay đổi vị trí các nút trên phần
tử và ma trận xoay.

Hình 1: Các nút trong phần tử thanh
Tương tự như PPPTHH chuẩn, chúng ta cũng xây dựng ma trận độ cứng phần tử k e và
ma trận khối lượng me .

k e = ∫ BT DBdV


(6)

M e = T eT me T e

(7)

Đối với trường hợp phẳng, ma trận xoay T e được xây dựng như sau:

lij
0

0
Te = 

0

 0

mij
0
0


0
0
0


0

0


0
0
1


0
0
0

(8)

Hình 2: Tọa độ phần tử dàn trong trường hợp 2D
Ở đây, lij , mij là các cosin chỉ phương của trục phần tử trong hệ tọa độ tổng và L là
chiều dài của phần tử ij được tính bởi L =

lij cos
=
=
γ

x j − xi
L

(x

− xi ) + ( y j − yi ) .
2

học của dàn. Tần số dao động tự do thu được sau khi phân tích được trình bày trong bảng 1.
Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng, cả hai cách tiếp cận h-FEM và p-FEM hội tụ với lời giải
được giải bằng CEM và GFEM.
Bảng 1: Tần số dao động tự do của dàn gồm bảy thanh
FEM
(ndof=6)

CEM[3,8]
(ndof=13)

GFEM[5,8]
(ndof=41)

h-FEM

h-FEM

p-FEM

p-FEM

ω (rad/s)

(ndof=20)

(ndof=69)

(ndof=13)

(ndof=20)


1741.66

1647.785

1740.840

1744.798

1741.196

1741.210

1740.840

03

3341.3752

3119.12

3111.326

3136.623

3113.594

3117.085

3111.403


4825.087

06

8315.4006

7380.83

7379.482

7719.317

7409.903

7430.303

7429.357

07

8047.93

7499.144

7850.122

7530.508

8100.925


12051.90

10477.443

11457.831 10565.54

12324.403

10687.263

Mode

ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên

Các dạng mode của mô hình dàn gồm bảy thanh như hình 4. Ở các mode thấp thì
PPPTHH chuẩn và p-FEM tương đối giống nhau, khác so với h-FEM. Ở các mode cao hơn thì
sự khác nhau về dạng mode của FEM, h-FEM và p-FEM là rõ ràng.

Mode 01

Mode 02

Mode 03

Mode 06

Hình 4: Các dạng mode
3.2. Dàn phẳng gồm 15 thanh
Dao động tự do của dàn phẳng tạo thành từ 15 thanh sẽ được phân tích để minh họa cho


679.7863

680.062

679.825

679.789

679.786

02

1149.296

1139.2077

1139.2005

1140.320

1139.358

1139.237

1139.200

03

1612.350


2715.759

2600.4840

2600.4054

2613.366

2602.228

2602.863

2600.420

06

2968.220

2813.7161

2813.6172

2830.688

2816.014

2816.731

2813.648


3807.703

09

5134.736

4475.3514

4475.0017

4549.053

4485.368

4505.052

4475.956

10

5399.565

4702.0397

4701.6210

4784.691

4713.268


6356.792

6499.753

6335.244

13

7586.0742

6443.7249

6442.6448

6670.976

6474.604

6637.304

6452.215

14

8462.5861

7380.3957

7380.3513

ω (rad/s)

ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên

Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích dao động của dàn có thể được cải thiện bằng
cách áp dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM và p-FEM. Kết quả phân tích cũng chỉ ra
rằng, cả hai cách tiếp cận này hội tụ với lời giải được giải bằng CEM và GFEM.
Tương tự như ví dụ 1, các dạng mode của cũng tương tự giống nhau ở các mode thấp
FEM, p-FEM và khác với h-FEM. Ở các mode cao hơn thì sự khác biệt rõ ràng.

Mode 01

Mode 03

Mode 11

Mode 13
Hình 6: Các dạng mode

KẾT LUẬN
Phân tích dao động tự do của dàn phẳng dùng h-FEM và p-FEM đã được trình bày trong
bài báo này. Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng hai cách tiếp cận trên hội tụ so với các
888


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
phương pháp CEM và GFEM đồng thời p-FEM cho lời giải chính xác hơn h-FEM, CEM và
GFEM do chi phí tính toán lớn hơn. Do vậy có thể áp dụng p-FEM cho phân tích dao động tự
do của các kết cấu dàn phức tạp trong thực tế.
REFERENCES