ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
VŨ THỊ AN NINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT MỎNG
TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN
TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
COSIN HỮU HẠN KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội - 2011

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự
hướng dẫn tận tình của các thầy, cô giáo và sự giúp đỡ của các cán bộ công tác
tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện cơ.
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo, các cán bộ công
tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………….
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT……………………
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ……………………………………………
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………
Chương 1. TỔNG QUAN…………………………………………
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm…………
1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép…………….
Kết luận chương 1……………………………………………………
Chương 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN
CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN

WINKLER………………………………………………………………….
2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng…………………….
2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực
hướng……………………………………………………………
2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng…
2.4. Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn
hồi theo mô hình nền Winkler…………………………………
2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi………………………………
2.4.2 Mô hình nền Winkler…………………………………
2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên
nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler…………………
Kết luận chương 2
Chương 3. GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC
HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO………
3.1 Bài toán………………………………………………………………….
3.2 Giải bài toán…………………………………………………………….
3.3 Kết quả số……………………………………………………………….
Kết luận chương 3……………………………………………………………

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………….
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………
PHỤ LỤC
PL1. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm trực hướng
PL2. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm đẳng hướng

41
43
46
46
50


M
xy
: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x= const.
M
yx
: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt y = const.
q: Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung
hòa.
w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z.
u: Dịch chuyển theo phương x của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
v: Dịch chuyển theo phương y của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
w: Dịch chuyển theo phương z của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
u
0
: Dịch chuyển theo phương x của điểm A thuộc mặt trung hòa.
v
0
: Dịch chuyển theo phương y của điểm A thuộc mặt trung hòa.
w
0
: Dịch chuyển theo phương z của điểm A thuộc mặt trung hòa.
E
x
, E
y
: mô đun đàn hồi theo các phương x và y.
yxxy


,

- 5i -
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ


phương pháp số khác như phương pháp phần tử hữu hạn [20] và phương pháp
phần tử biên [21] được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng để phân tích tấm trên nền
đàn hồi. Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình
đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm.
Biến đồi tích phân là một trong các phương pháp tốt nhất thu được lời giải
hiển của phương trình đạo hàm riêng trong đàn hồi [17]. Phương pháp này
thường sử dụng để phân tích một số bài toán kết cấu [18]. Trong thiết kế mặt
đường cứng cao tốc hoặc mặt đường bê tông xi măng là mô hình giống như tấm
mỏng Kirchhoff với các biên tự do hoàn toàn. Rất tiếc, dựa trên hiểu biết của tác
giả, không có bài báo nào nói về cách áp dụng phép biến đổi tích phân hữu hạn
để phân tích tấm chữ nhật trực hướng trên nền đàn hồi.
Luận văn này trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình vi phân dao
động uốn của tấm mỏng trực hướng và áp dụng phương pháp biến đổi tích phân
cosin hữu hạn kép để xác định tần số dao động riêng của tấm mỏng trực hướng
đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Do chỉ áp dụng các biến đổi tích
phân cơ bản vào phương trình chuyển động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, nên
lời giải trình bày trong luận văn này là hợp lý và đơn thuần lý thuyết.
- 2 -

Mục đích của đề tài: Xác định tần số riêng của tấm mỏng chữ nhật trực hướng
với điều kiện biên tự do. Áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn
kép để giải bài toán.
Bố cục luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Tổng quan. Tổng hợp các phương pháp nghiên cứu dao động của tấm
nói chung và trình bày phương pháp được áp dụng trong luận văn.
Chương 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền
đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Dựa trên nguyên lý Đ’Alembert và các
phương trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và các giả thiết cơ bản của lý thuyết
tấm mỏng để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực
hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winker.

hướng biên hoàn toàn tự do không đặt tải bằng phương pháp biến đổi tích phân
hữu hạn kép được đặt ra. Phương pháp này không cần phải xác định hàm biến
dạng mà chỉ cần sử dụng một số phép biến đổi toán học cơ bản áp dụng cho
phương trình chuyển động của tấm trực hướng trong lý thuyết tấm kinh điển.
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm.
Nghiên cứu tần số dao động của tấm đầu tiên phải kể đến Chaladni [22],
người tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm. Sau đó Navier và
Levy tìm được các lời giải giải tích đối với các điều kiện biên đặc biệt. Tuy
không tìm được nghiệm dạng đóng đối với trường hợp tấm chữ nhật với các
điều kiện biên tự do, nhưng cũng đã đưa ra một số phương pháp giải xấp xỉ.
Warburton [19] áp dụng các hàm dao động mô tả đặc tính của dầm theo
phương pháp Rayleigh [16] để thu được biểu thức xấp xỉ đơn giản cho tần số
dao động tự nhiên của tấm mỏng trực hướng. Bài báo của ông được Hearmon
[13] mở rộng và áp dụng cho tấm trực hướng đặc biệt, và Dickinson [6] nghiên
cứu các bài toán tải trọng phẳng. Tuy nhiên, số cạnh tự do càng nhiều thì càng
làm giảm độ chính xác của tần số dao động.
Kim và Dickinson [7] cải tiến biểu thức xấp xỉ, sử dụng phương pháp
Rayleigh kết hợp với lý thuyết năng lượng thế năng cực tiểu. Iguchi [23] giới
thiệu lời giải tấm chữ nhật đẳng hướng. Tuy nhiên, công việc chỉ dừng lại với
tấm vuông. Rajalingham và một số tác giả khác [4] rút gọn phương trình dao
- 4 -
động của tấm thành hệ phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, cũng chỉ đưa ra
các kết quả đối với các tham số mô tả đặc tính của tấm chữ nhật đẳng hướng bị
ngàm.
Liew và Lam [14] phân tích dao động tấm chữ nhật tựa tại một điểm dựa
trên phương pháp Rayleigh – Ritz và tổ hợp các hàm tấm trực hướng Gram –
Schmidt. Một phương pháp xấp xỉ được đề xuất, có thể áp dụng rộng rãi đối với
bài toán tấm tựa tại một điểm chịu sự phân bố tùy ý với sự kết hợp bất kỳ các
điều kiện biên cổ điển. Bài báo của Lessa được Deobald và Gibson [5] mở rộng,
họ cũng áp dụng phương pháp Rayleigh - Ritz cho tấm trực hướng. Gorman













1 11
1
coscos),(
4
cos),0(
2
cos)0,(
2
)0,0(
1
),(
m n
nm
n
n
m
m
yxnmf
- 6 -
CHƯƠNG 2.
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM
MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER

Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày của nó nhỏ so với các
kích thước khác. Cũng như khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, khi tính toán

với mặt đáy và chia đôi bề dày h của tấm được gọi là mặt giữa hay mặt trung
hòa. Ta chọn hệ trục tọa độ như trên hình 2.1 với trục ox, oy nằm trong mặt
giữa, trục oz vuông góc với mặt giữa và hướng về phía dưới. Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ.

Ta tưởng tượng tách ra từ tấm một phân tố hình hộp chữ nhật có các cạnh
dx, dy, h . Khi đó phân tố chịu tác dụng của các lực và mô men như hình vẽ 2.2:
h

dx

dy
0

x

z

y

- 8 -

Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men

trong đó:
Q
x
, Q

y
+ Q
y,y
dy )dx - (q -

h

w
)dxdy = 0
Rút gọn phương trình trên ta được:
Q
x,x
+ Q
y,y
+ q -

h

w
= 0
(q -

h

w
)dxdy
Q
y
dx
h

x
+M
x,x
dx)dy
M
x
dy
Q
x
dy
(Q
y
+Q
y,y
dy)dx
dy
dx
- 9 -
hay :
0
2
2









x,x
dx)dy.dx
+ Q
y
dx.
2
dx
- (Q
y
+Q
y,y
dy)dx.
2
dx
- (q -

h

w
)dxdy.
2
dx
= 0
rút gọn phương trình trên ta được:
M
x,x
dxdy - M
yx,y
dxdy – Q
x

= 0
hay

0





x
Q
y
yx
M
x
x
M
(2.2)
Tương tự, phương trình mô men theo đường thẳng phía trong nằm trên mặt giữa
và song song với trục 0x là:
M
y
dx - (M
y
+M
y,y
dy)dx + M
xy
dy - (M
xy

y,y
dxdy - M
xy,x
dxdy + Q
y
dxdy + Q
y,y
 
2
dy
dx + Q
x,x
 
2
2
dy
dx
+ (q -

h

w
)
 
2
2
dy
dx = 0
Bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được :
M

x
M
x
Q






(2.4)
Từ phương trình (2.3) suy ra :

x
xy
M
y
y
M
y
Q






(2.5)
Thế (2.4), (2.5) vào phương trình (2.1):
0
















q
t
w
h
x
xy
M
y
y
M
y
y
yx
M
x

t
w
h
yx
xy
M
y
y
M
yx
yx
M
x
x
M

(2.6)
Mặt khác, theo quy luật đối ứng của ứng suất tiếp:
M
xy
= - M
yx
(2.7)
Thay (2.7) vào phương trình (2.6):
0
2
2
2
2
22

x
x
M


cuối cùng ta được :
0
2
2
2
2
2
2
2
2












q
t
w


,



2/
2/
h
h
zdz
yyy
M

,



2/
2/
h
h
zdz
xyxy
M

(2.9)
Xét điểm M(x, y, z) thuộc pháp tuyến của mặt trung hòa của tấm và cách
mặt trung hòa một khoảng là z. Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển
của điểm M theo các trục x, y, z, tương ứng. Ký hiệu u
0

x
w




tan

suy ra:
u = z
x
w



Trong kỹ thuật người ta thường quy ước độ võng hướng xuống dưới là
dương, tức là ngược lại với quy ước ở hình vẽ trên. Vì vậy để phù hợp về dấu
khi quy ước độ võng hướng xuống dưới là dương, ta thêm vào dấu âm trước vế
phải của biểu thức trên:
z
α
M
*

α
u
M
A
0
z









x
v
y
u
xy
y
v
yy
x
u
xx
2
1
,,

(2.12)
Thế các công thức (2.10) và (2.11) vào phương trình (2.12), ta được:
yx
w
z
xy
y

G
xy
xx
x
E
xy
yy
y
E
yy
yy
y
E
yx
xx
x
E
xx







2
1
1
1







với ký hiệu trên, phương trình (2.14) được viết lại:
- 13 -

xy
G
xy
xx
x
E
x
yy
y
E
yy
yy
y
E
y
xx
x
E
xx




 (2.16)
Thế (2.16) vào phương trình (2.15) và viết gọn lại, ta được:

xy
G
xy
xxyyy
y
E
yy
yyxxx
x
E
xx



2
1
1
1













2
1
1







(2.18)
Thay (2.13) vào phương trình (2.18), ta nhận được:
- 14 -
yx
w
Gz
xy
y
w
x
y
w
yx
y

yx
z
xx


































2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1



E
dzz
x
w
x
y
w
yx
y
E
y
M
y
w
y
x
w
yx
h
x
E
dzz
y
w
y
x
w
yx
x
E


































2
12
3
2
2
2
2
2
2
2
2
112
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
112
3
2
2
2

112
3
: được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục x.
 
yx
h
y
E
y
D



112
3
: được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục y.
12
3
Gh
xy
D 
: được gọi là độ cứng xoắn của tấm.
Khi đó phương trình trên được viết lại:
- 15 -

yx
w
xy
D
xy





















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
































y
x
w
x
x
D


(2.21)

khai triển và nhóm các số hạng trên lại:
q
t
w
h
yx
w
xy
D
yx
w
y
D
x
y
w
y
D
yx
w

22
4
4
4
22
4
4
4


(2.22)
với biểu thức liên hệ (2.16), ta có :

x
D
yy
D
x
D




1
(2.23)
Thay (2.23) vào (2.22) và viết gọn lại, ta có:
q
t
w
h

1
(2
4
4

(2.24)
đặt:
H = D
1
+ 2D
xy

khi đó phương trình (2.24) có dạng :

q
t
w
h
y
w
y
D
yx
w
H
x
w
x
D 


4
22
4
2
4
4












t
w
h
y
w
y
D
yx
w
H
x
w

Từ (2.27), (2.28) suy ra :
D
x
= D
y
= H = D =







2
112
3

Eh
(2.29)
khi đó phương trình (2.25) trở thành:

q
t
w
h
y
w
yx
w
x

4
4

(2.30)
Phương trình (2.30) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng
đẳng hướng theo lý thuyết Kirchhoff.
Nếu ta sử dụng toán tử Laplace:
2
2
2
2
2
y
x







khi đó toán tử Laplace kép hay còn gọi là toán tử điều hòa kép có dạng:

4224
4
4
2
4
4
yyxx 





t
w
wD h

(2.32)
2.4 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi
theo mô hình nền Winkler
2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi
Ứng dụng thành công các nguyên lý kỹ thuật công trình vào thiết kế các
mô hình kết cấu, trên cơ sở đó tiến hành phân tích chính xác và thiết kế “đúng”
với mô hình thực là một vấn đề rất khó khăn. Trong phân tích nền, sự tương tác
giữa nền đàn hồi và kết cấu rất phức tạp do đó để đạt đến mô hình thực càng khó
hơn. Mô hình cấu trúc chung thường là tấm bê tông đặt trực tiếp trên nền đàn
hồi (nền đất).
Tải trọng của kết cấu được truyền trực tiếp tới môi trường nền, giữa nền
và kết cấu có sự tác động qua lại lẫn nhau hướng theo tải trọng đỡ và chống. Các
tính chất tự nhiên của nền rất phức tạp, không thuần nhất và không đẳng hướng
nên khi mô hình hóa được coi như phi tuyến, còn các kết cấu thép và bê tông có
thể được mô hình hóa và phân tích như tuyến tính, đẳng hướng hoặc dị hướng.
Như đã đề cập ở trên, tính chất của nền đất rất khó xác định, nó là vật liệu
“mềm”, nên khó thu được các mẫu thực nghiệm khi làm thí nghiệm có kết quả
giống với ứng xử thực “ trong đất”. Mặt khác, loại nền đất ảnh hưởng đến khả
năng thu được các mẫu đặc trưng (ví dụ, đất sét cứng khó lấy mẫu hơn đất sét
mềm). Ứng xử của các mẫu trong phòng thí nghiệm khác xa so với sự phức tạp
của bài toán thực tế. Tính chất vật liệu nền và môi trường nền là hai nhân tố
phức tạp của bài toán, tính chất vật liệu nền phụ thuộc vào ứng suất, và môi