BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội – Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ

Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp
đỡ, tạo điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên
viên của Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam; tập thể Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học. Tôi xin bày tỏ
lòng cảm ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học
vật rắn, Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ
kinh nghiệm cho tôi trong quá trình thực hiện Luận án.
Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia
đình đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này.
Tác giả Luận án
Trần Thị Thơm

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi
Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Phương trình dựa trên FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


29
2.3.3. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

iii


iv
2.4. Phương trình dựa trên ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5. Ứng suất nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.6. Thế năng của lực ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.5.4. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3. So sánh các mô hình phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71


v
4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123


DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Các kí hiệu thông thường
A0

Diện tích thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

A(x)

Diện tích thiết diện ngang

A11

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt (Dùng trong FSDT)


Mô-đun đàn hồi của gốm 1

EC2

Mô-đun đàn hồi của gốm 2

EM1

Mô-đun đàn hồi của kim loại 1

EM2

Mô-đun đàn hồi của kim loại 2

E(x, z)

Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

GC1

Mô-đun trượt của gốm 1

GC2

Mô-đun trượt của gốm 2

GM1

Mô-đun trượt của kim loại 1



Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11

Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I22

Mô-men khối lượng xoay của thiết diện ngang

I34, I44, I66

Mô-men khối lượng bậc cao

l

Chiều dài một phần tử

L

Chiều dài dầm

n

Tham số vật liệu của dầm 1D-FGM


Tính chất vật liệu của kim loại 1

PM2

Tính chất vật liệu của kim loại 2

T

Động năng

U

Năng lượng biến dạng

UB

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

UT

Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt

V

Thế năng của lực di động

L

Phiếm hàm Lagrange

T

Nhiệt độ tham chiếu (300K ∼ 27 C)

u(x, z,t)

Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì

u0(x,t)

Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt

v

giữa Vận tốc lực di động

w(x, z,t)

Chuyển vị ngang của điểm bất kì

w0(x,t)

Chuyển vị ngang của điểm trên mặt

w

giữa Độ võng tĩnh tại giữa dầm

◦


Nw

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ

Ma trận các hàm nội suy cho góc quay θ

N

Ma trận các hàm nội suy cho góc trượt

K

ngang γ 0 Ma trận độ cứng tổng thể

Kef

Ma trận độ cứng hiệu dụng

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Véc-tơ vận tốc nút tổng thể
Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

ex

γ


Góc quay của thiết diện ngang

ψ

Hệ số điều chỉnh trượt

ωi

Tần số tự nhiên thứ i của dầm

ω1

Tần số tự nhiên cơ bản

µi

Tham số tần số thứ i

µ1

Tham số tần số cơ bản

∆T

Sự tăng của nhiệt độ

∆t

Bước thời gian


Mật độ khối của gốm 1

ρC2

Mật độ khối của gốm 2

ρM1

Mật độ khối của kim loại 1

ρM2

Mật độ khối của kim loại 2

νC1

Hệ số Poisson của gốm 1

νC2

Hệ số Poisson của gốm 2

νM1

Hệ số Poisson của kim loại 1

νM2

Hệ số Poisson của kim loại 2

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy thứ bậc
(First-order Beam element using Hierarchical shape functions)

FBKo

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy Kosmatka
(First-order Beam element using Kosmatka interpolation)

PTHH

Phần tử hữu hạn

TBSθ

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng θ là hàm độc lập
(Third-order Beam element based on Shi theory using θ )

TBSγ

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng γ 0 là hàm độc lập
(Third-order Beam element based on Shi theory using γ 0)

TSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba
(Third-order Shear Deformation Theory)


Danh sách hình vẽ
Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


xi


xii

Hình 4.9 Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ 0 của dầm S-S với
. . . . . . 85
∆T = 50K: (a) (nx, nz) = (1, 0.1), (b) (nx, nz) = (1, 2) . . . . .
Hình 4.10 Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ 0 của dầm S-S với
. . . . . . 86
∆T = 50K: (a) (nx, nz) = (0.1, 1), (b) (nx, nz) = (2, 1) . . . . .
Hình 4.11 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-F
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 89
Hình 4.12 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon S-S
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 90
Hình 4.13 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-C
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 90
Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản
của dầm thon C-F: (a) (nx, nz) = (0, 0.5), (b) (nx, nz) = (0.5, 0),
(nx, nz) = (2, 0.5), (d) (nx, nz) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . .

(c)
. . . . . . 91

Hình 4.15 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ
bản của dầm thon S-S: (a) (nx, nz) = (0, 0.5), (b) (nx, nz) = (0.5, 0), (c)

Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ
bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C)

. . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và
Al2O3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bảng 4.5

So sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm, max(Dd ),

và vận tốc tương ứng của dầm 1D-FGM tạo bởi SUS304 và Al 2O3 . . . .
68 Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi
trường nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 69
Bảng 4.7 So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm thon 1D-FGM với cơ

tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 70

Bảng 4.8 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
các mô hình phần tử khác nhau
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bảng 4.9 So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Bảng 4.10 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên tham số tần số cơ bản µ

1


xiii

. . . . . . . 79

. . . . . . . 79


xiv

Bảng 4.19 Tham số tần số cơ bản µ của dầm C-F với ∆T = 20K
1

. . . . . . . 81

Bảng 4.20 Tham số tần số cơ bản µ của dầm C-F với ∆T = 40K
1
Bảng 4.21 Tham số tần số cơ bản µ của dầm C-F với ∆T = 50K

. . . . . . . 81

1

. . . . . . . 82

Bảng 4.22 Tham số tần số µ của dầm thon C-F với các giá trị khác nhau
1
của (nx, nz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Bảng 4.23 Tham số tần số µ của dầm thon S-S với các giá trị khác nhau
1


truyền thống. Đặc biệt, FGM không có các nhược điểm thường gặp trong các vật
liệu composite phân lớp như sự tách lớp và tập trung ứng suất. Các nghiên cứu
gần đây chỉ ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải thiện đáng
kể nhờ việc lựa chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần.
Dao động của kết cấu là bài toán quan trọng trong lĩnh vực cơ học, được nhiều
nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều kết quả nghiên cứu về dao động của
dầm FGM, sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đã được công bố
trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, phần lớn các công bố này liên quan tới dầm có cơ
tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm. Trong nhiều tình huống
thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có thể chịu các tải trọng cơ,
nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu hóa độ bền và trọng lượng kết
cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của FGM theo nhiều
hướng không gian khác nhau là vấn đề có ý nghĩa thực tế, được các nhà khoa học
trên thế giới, đặc biệt ở Nhật Bản thực hiện trong những năm gần đây. Phân tích kết
cấu có cơ tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói chung và dao động của
dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói
riêng, vì thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu thực tế.
Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong
phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo
trục dầm. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân tích dao
động của dầm 2D-FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh
trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích
truyền thống trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây
1


2

dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích dao
động của dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy

- Mặc dù phương pháp trình bày trong Luận án có thể sử dụng để phân tích dầm


3

chịu các tải trọng động khác nhau nhưng để tập trung vào nội dung
chính là phát triển mô hình PTHH, trong bài toán dao động cưỡng bức
Luận án chỉ xét trường hợp dầm chịu một lực di động với vận tốc
không đổi. Như vậy, ảnh hưởng của lực Coriolis và lực ly tâm sinh ra
khi tính tới ảnh hưởng của khối lượng di động được bỏ qua.
- Lời giải cho trường nhiệt độ phân bố không đồng nhất sinh ra từ sự chênh lệch
nhiệt độ giữa các mặt và hai đầu của dầm 2D-FGM, theo hiểu biết của tác giả,
là chưa có. Vì thế Luận án chỉ xem xét trường nhiệt độ tăng đều khi nghiên cứu
ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGM. Các tính
chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ được xét tới trong Luận án.

- Các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM được viết trên cơ sở coi
trục dầm nằm trên mặt giữa dầm làm trục quy chiếu, tức là ảnh hưởng
của vị trí mặt trung hòa không xét tới trong Luận án.
Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp giải tích truyền thống dùng trong Cơ học Vật rắn và
Cơ học Kết cấu được sử dụng trong Luận án để xây dựng các biểu thức năng
lượng của dầm. Nhằm kế thừa và phát huy các nghiên cứu trước đây của
Phòng Cơ học Vật rắn, Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam, Luận án sử dụng phương pháp PTHH như là công cụ chính để xây
dựng các phương trình chuyển động dưới dạng rời rạc hóa. Phương pháp tích
phân trực tiếp Newmark, một phương pháp phổ biến trong nghiên cứu động
lực học kết cấu, được sử dụng để tính toán đáp ứng động lực học của dầm.

Do tính phức tạp về mặt toán học khi nghiên cứu dầm 2D-FGM sử

Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô hình PTHH trên cơ sở các lý
thuyết dầm và các hàm nội suy khác nhau. Ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng cho hai mô hình dầm dựa trên FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka và
các hàm dạng thứ bậc được trình bày chi tiết. Ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng cho hai mô hình phần tử dầm dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở
các hàm dạng tuyến tính và các hàm dạng Hermite.
Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài
toán khác nhau. Chương này cũng đưa ra một số nhận xét về ưu, nhược điểm
của các mô hình PTHH xây dựng trong Luận án trong phân tích dao động của
dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện ngang,
nhiệt độ môi trường và tải trọng ngoài tới các đặc trưng dao động cũng như các
đáp ứng động lực học của dầm cũng được trình bày chi tiết trong Chương 4.

Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp
theo được tóm lược trong Phần Kết luận của Luận án.


Chương 1
TỔNG QUAN
Chương này tóm lược các kết quả nghiên cứu trong phân tích dầm 1DFGM của các tác giả trên thế giới. Kết quả được thảo luận trên cơ sở hai phương
pháp phân tích, phương pháp giải tích và phương pháp số. Kết quả nghiên cứu
liên quan tới dầm 2D-FGM, đối tượng nghiên cứu của Luận án, được thảo luận chi
tiết. Các nghiên cứu trong nước về dầm FGM cũng được đề cập. Cuối chương
trình bày định hướng nghiên cứu và một số điểm mới của Luận án.

1.1. Dầm FGM
Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM), do các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo
lần đầu tiên vào năm 1984 [1], có thể xem như là thế hệ vật liệu composite mới.
FGM được tạo bằng cách thay đổi liên tục tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần,
thường theo các tọa độ không gian. Vì thế FGM không có các nhược điểm thường


trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ phần thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ theo
chiều cao dầm, tính từ mặt giữa; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham số
vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương trình (1.1) và
dưới đây, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được dùng để chỉ các pha gốm và kim loại.
Dầm với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật (1.1)
5


6

được gọi là dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beam).
Các tính chất hiệu dụng của dầm này chỉ là hàm của tọa độ z.
Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc (axially FGM beam) cũng được một số
tác giả quan tâm nghiên cứu. Dầm được thiết kế để tăng khả năng ổn định và cải
thiện ứng xử sau tới hạn, trong đó tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của
dầm thay đổi theo chiều dài dầm, chẳng hạn bằng quy luật hàm số lũy thừa:

Vc = 1 − x
L

n

, Vm = 1 −Vc,

với 0 ≤ x ≤ L

(1.2)

trong đó L là chiều dài dầm, x là tọa độ theo chiều dài dầm. Dao động của dầm FGM

k

u

z
h

+

1
2

k

w

, V1(x, z) +V2(x, z) = 1

(1.3)

với ku và kw là các tham số vật liệu xác định sự thay đổi của các vật liệu
thành phần tương ứng theo chiều dài và chiều cao của dầm.
Quy luật hàm số mũ sử dụng cho sự thay đổi tính chất vật liệu của dầm 2D-


7

FGM cũng được S¸ims¸ek khảo sát trong [22, 23]:
k (x)+k


L

x

, Vc +Vm = 1

(1.5)

trong đó nx và nz tương ứng là tham số vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm.
Trong các nghiên cứu về dầm 2D-FGM nói trên, dầm được giả định được tạo
từ hai vật liệu thành phần. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu kết cấu FGM được tạo
từ hơn hai vật liệu thành phần [25, 26, 27, 28]. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành
phần trong phần lớn các nghiên cứu này được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy
thừa theo hai hướng không gian. Theo hiểu biết của tác giả, trước Luận án chưa có
nghiên cứu nào về dầm 2D-FGM được tạo từ hơn hai vật liệu thành phần.

Số lượng các công trình công bố liên quan đến dầm FGM ngày càng
tăng nhanh. Dưới đây tóm lược một số kết quả liên quan trực tiếp đến
hướng nghiên cứu của Luận án.
1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới
Cả hai phương pháp, phương pháp giải tích và phương pháp số, được sử
dụng rộng rãi trong nghiên cứu ứng xử của dầm 1D-FGM. Với dầm có cơ tính biến
đổi ngang, các hệ số của phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động của
dầm FGM với thiết diện ngang không đổi là các hằng số, vì thế phương pháp giải
tích có thể phát huy các ưu điểm như trong nghiên cứu dầm thuần nhất.

1.2.1. Phương pháp giải tích
Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng Navier được Aydogdu và Taskin [29] sử
dụng để thu nhận tần số và mode dao động của dầm FGM tựa giản đơn với tính chất
vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa hoặc quy luật hàm số mũ. Lý thuyết