ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
o0o
PHÙNG THỊ NGUYỆT

CHỮ KÝ SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ
VĂN BẢN ĐIỆN TỬ
Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã Số: 60.45.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đoàn Văn Ban
HÀ NỘI – 2011
1 MỤC LỤC
Danh mục các từ viết tắt 3
Danh mục các hình vẽ 4
MỞ ĐẦU 5
Chương 1. An toàn thông tin, Hệ mã hoá khoá công khai 8
1.1.1 Tại sao phải bảo mật an toàn thông tin 8
1.1.2 Các giải pháp bảo mật an toàn thông tin [2] 8
1.2 Hệ mã hoá 9
1.2.1 Khái niệm mã hoá dữ liệu 9
1.2.2 Phân loại hệ mã hoá 9
1.2.2.1 Hệ mã hoá khóa đối xứng 10
1.2.2.2 Hệ mã hoá khóa công khai 11
1.3 Cở sở toán học dùng trong hệ mật mã [1] 13
1.3.1 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 13
1.3.2 Số nguyên tố 15
1.3.3 Quan hệ đồng dư 15
1.3.4 Cấu trúc nhóm 17

2.4.1 Thuật toán chữ ký RSA 35
2.4.1.1 Sơ đồ 35
2.4.1.2 Ví dụ minh hoạ 36
2.4.1.3 Độ an toàn của chữ ký RSA 36
2.4.2 Thuật toán chữ ký DSA/ DSS 37
2.4.2.1 Sơ đồ 37
2.4.2.2 Ví dụ 38
2.4.2.3 Độ an toàn của chữ ký DSA 38
2.5 Kết luận chương 39
Chương 3. Chứng thực khóa công khai 41
3.1 Giới thiệu 41
3.2 Chứng thực khoá công khai 41
3.2.1 Khái niệm 41
3.2.2 Các nhà cung cấp dịch vụ chữ ký số, chứng thực chữ ký số tại Việt Nam 43
3.3. Chứng thực khóa công khai X.509 [3] 44
3.3.1. Sự chứng thực của người dùng 45
3.3.1.1. Giới thiệu khuôn dạng chứng chỉ X.509 45
3.3.1.2. Sự chứng thực người dùng 47
3.3.2 Huỷ bỏ sự chứng thực 49
3.3.3. Các thủ tục chứng thực 50
3.4 Kết luận chương 51
Chương 4. Xây dựng chương trình ứng dụng 53
4.1 Giới thiệu 53
4.2 Các chức năng của chương trình 53
4.3. Cài đặt chương trình 58
4.3.1. Môi trường xây dựng ứng dụng 58
4.3.2 Quản trị hệ thống Admin 59
4.3.3 Người sử dụng 62
4.4 Kết luận chương 68
Kết quả và hướng phát triển 69
4 Danh mục các hình vẽ
Hình 1.1 Quá trình thực hiện cơ chế mã hoá 10
Hình 1.2. Quá trình thực hiện mã hoá khoá công khai 12
Hình 2.1. Sơ đồ mô tả quá trình ký và gửi các tệp văn bản 30
Hình 2.2. Sơ đồ mô tả quá trình nhận các tệp văn bản 31
Hình 2.3. Minh họa hàm băm 32
Hình 2.4: Đặc điểm của các thuật toán băm SHA 35
Hình 3.1. Khuôn dạng chứng chỉ X.509 phiên bản 3 46
Hình 3.2 Ví dụ minh hoạ sơ đồ thứ tự phân cấp 49
Hình 3.3. Các thủ tục chứng thực 51
Hình 4.1: Giao diện chương trình ứng dụng 54
Hình 4.2: Thực đơn Hệ thống của chương trình 54
Hình 4.3: Thực đơn Tệp của chương trình 55
Hình 4.4: Thực đơn Chỉnh sửa của chương trình 55
Hình 4.5: Thực đơn Chức năng của chương trình 56
Hình 4.6 và hình 4.7: Admin thực hiện Đăng nhập hệ thống 59

nhiều nước có chủ trương vừa phát triển các hoạt động cung ứng dịch vụ điện tử, vừa
xây dựng hệ thống pháp luật đầy đủ, minh bạch để đảm bảo giá trị pháp lý của các thông
điệp điện tử và giao dịch điện tử. Tại Việt Nam, giao dịch điện tử đã được áp dụng tại
các lĩnh vực thuế, hải quan, thương mại điện tử,
Giao dịch điện tử là một lĩnh vực tương đối mới tại Việt Nam, xuất hiện cùng với
sự phổ cập mạng Internet và máy tính từ cuối những năm 1990 đầu những năm 2000. Qua
quá trình hình thành và phát triển, lĩnh vực giao dịch điện tử tại Việt Nam đã được đặc
biệt quan tâm phát triển. Khung pháp lý cho lĩnh vực này đã từng bước được hoàn thiện,
Quốc hội đã thông qua Luật thương mại, Luật giao dịch điện tử, Luật công nghệ thông tin.
Thủ tướng chính phủ đã ban hành Quyết định số 1073/QĐ-TTg ngày 12/7/2010 Phê duyệt
kế hoạch tổng thể phát triển thương mại điện tử giai đoạn 2011 – 2015 Việc ban hành
các văn bản pháp lý này đã thể hiện rõ sự quyết tâm của Nhà nước trong việc thúc đẩy
nhanh, mạnh các giao dịch điện tử, tạo động lực cho sự phát triển của nền kinh tế.
Trong các hoạt động của giao dịch điện tử thì việc đảm bảo an toàn, an ninh
thông tin, dữ liệu cho người dùng là rất cần thiết và là ưu tiên hàng đầu. Theo kết quả
khảo sát thương mại điện tử Việt Nam 2010 của Bộ Công thương, trong 7 trở ngại khiến
thương mại điện tử chưa phát triển thì vấn đề an ninh, an toàn thông tin chiếm vị trí gần
cao nhất (chỉ sau trở ngại về môi trường xã hội và tập quán kinh doanh). Các phương
pháp mã hóa, chữ ký số, chứng chỉ số, cơ sở hạ tầng khóa công khai và các ứng dụng
của chữ ký số, chứng chỉ số trong các giao dịch điện tử là một trong những giải pháp
giải quyết vấn đề này. Từ thực tế này, tôi chọn đề tài: “Chữ ký số và ứng dụng trong quản
lý văn bản điện tử”. Đây sẽ là đề tài có ý nghĩa thực tế rất lớn bởi vì sau khi hành làng
pháp lý cho giao dịch điện tử được xây dựng, hạ tầng kỹ thuật và nhân lực hình thành
thì mục tiêu tiếp theo sẽ là triển khai giao dịch điện tử sâu rộng đến toàn bộ các hoạt
động của nền kinh tế mà song hành cùng đó là vấn đề bảo đảm an toàn, an ninh thông
tin trong các hoạt động. Trong hoàn cảnh Việt Nam hiện nay, việc phát triển các giao
dịch điện tử chậm trễ một phần là do vấn đề an toàn, an ninh thông tin trong giao dịch
chưa tạo được sự quan tâm đúng mức. Luận văn sẽ tập trung phân tích áp dụng các giải
6


1. Tiếp đó giới thiệu chi tiết về hai thuật toán chữ ký số được sử dụng rộng rãi hiện nay là
RSA và DSA.
Chương 3. Chứng thực
Chương này giới thiệu chứng thực số - chứng chỉ điện tử và giới thiệu chi tiết về
chứng thực số X.509.
Chương 4. Xây dựng chương trình ứng dụng
7 Từ cơ sở lý thuyết đã trình bày ở trên, chương này của luận văn tiến hành cài đặt
thuật toán ký RSA. Chữ ký được hình thành trên cơ sở kết hợp thuật toán băm MD5 với
thuật toán ký RSA.
5. Các kí hiệu dùng trong luận văn
P Là tập hữu hạn các văn bản có thể.
A Là tập hữu hạn các chữ ký có thể.
K Là tập hữu hạn các khoá có thể.
S Là tập các thuật toán ký.
V Là tập các thuật toán kiểm thử.
C Là tập hữu hạn các bản mã có thể;
E Là tập hợp các hàm mã hóa có thể;
D Là tập các hàm giải mã có thể;
e
k
Thuật toán mã hoá

d
k
Thuật toán giải mã
gcd Ước chung lớn nhất
lcm Bội chung nhỏ nhất

phát triển của doanh nghiệp là những đòi hỏi ngày càng cao của môi trường kinh doanh
yêu cầu doanh nghiệp cần phải chia sẻ thông tin của mình cho nhiều đối tượng khác nhau
qua Internet hay Intranet. Việc mất mát, rò rỉ thông tin có thể ảnh hưởng nghiêm trọng
đến tài chính, danh tiếng của công ty và quan hệ với khách hàng.
Các phương thức tấn công thông qua mạng ngày càng tinh vi, phức tạp có thể dẫn
đến mất mát thông tin, thậm chí có thể làm sụp đổ hoàn toàn hệ thống thông tin của doanh
nghiệp. Tóm lại, có bốn yêu cầu cơ bản về bảo mật truyền thông:
 Đảm bảo tin cậy: Các nội dung thông tin không bị theo dõi hoặc sao chép bởi
những thực thể không được uỷ thác.
 Đảm bảo toàn vẹn: Các nội dung thông tin không bị thay đổi bởi những thực thể
không được uỷ thác.
 Sự chứng minh xác thực: Không ai có thể tự trá hình như là một bên hợp pháp
trong quá trình trao đổi tin.
 Không thể thoái thác trách nhiệm: Người gửi tin không thể thoái thác về những sự
việc và những nội dung thông tin mà thực tế họ đã gửi đi.
1.1.2 Các giải pháp bảo mật an toàn thông tin [2]
Trước những nguy cơ hiểm hoạ về an toàn thông tin, phần này đề xuất các giải
pháp bảm mật về an toàn thông tin:
a) Phương phá p che giấ u, bảo đảm toàn vn và xác thực thông tin.
 ”Che” dữ liệ u (Mã hóa): Thay đổ i hì nh dạ ng dữ liệ u gố c, ngườ i khá c khó nhậ n ra.
 “Giấ u” dữ liệ u: Cấ t giấ u dữ liệ u này trong môi trường dữ liệu khá c.
 Bảo đảm toàn vn và xác thực thông tin.
9 K thut: Mã hóa, Hàm băm, Giấ u tin, Ký số, Thủy ký, Giao thứ c bả o toà n thông tin ,
Giao thứ c xá c thự c thông tin,
b) Phương phá p kiể m soá t lố i và o ra củ a thông tin.
 Kiể m soá t, ngăn chặ n cá c thông tin và o ra Hệ thố ng má y tí nh.
 Kiể m soá t, cấ p quyề n sử dụ ng cá c thông tin trong Hệ thố ng má y tí nh.

1.2.2.1 Hệ mã hoá khóa đối xứng
Hệ mã hoá khóa đối xứng là Hệ mã hóa mà biết được khóa mã hoá thì có thể “dễ”
tính được khóa giải mã và ngược lại.
Trong hệ thống mã hoá đối xứng, trước khi truyền dữ liệu, 2 bên gửi và nhận phải
thoả thuận về khoá dùng chung cho quá trình mã hoá và giải mã. Sau đó, bên gửi sẽ mã
hoá bản rõ (Plaintext) bằng cách sử dụng khoá bí mật này và gửi thông điệp đã mã hoá
cho bên nhận. Bên nhận sau khi nhận được thông điệp đã mã hoá sẽ sử dụng chính khoá
bí mật mà hai bên thoả thuận để giải mã và lấy lại bản rõ (Plaintext). Hình 1.1 Quá trình thực hiện cơ chế mã hoá
Hình 1.1 là quá trình tiến hành trao đổi thông tin giữa bên gửi và bên nhận thông
qua việc sử dụng phương pháp mã hoá khoá đối xứng. Trong quá trình này, thì thành
phần quan trọng nhất cần phải được giữ bí mật chính là khoá. Việc trao đổi, thoả thuận về
thuật toán được sử dụng trong việc mã hoá có thể tiến hành một cách công khai, nhưng
bước thoả thuận về khoá trong việc mã hoá và giải mã phải tiến hành bí mật. Chúng ta có
thể thấy rằng thuật toán mã hoá khoá đối xứng sẽ rất có lợi khi được áp dụng trong các cơ
quan hay tổ chức đơn lẻ. Nhưng nếu cần phải trao đổi thông tin với một bên thứ ba thì
việc đảm bảo tính bí mật của khoá phải được đặt lên hàng đầu.
Mã hoá đối xứng có thể được phân thành hai loại:
 Loại thứ nhất tác động trên bản rõ theo từng nhóm bits. Từng nhóm bits này được
gọi với một cái tên khác là khối (Block) và thuật toán được áp dụng gọi là mã hoá
khối( Block Cipher). Theo đó, từng khối dữ liệu trong văn bản ban đầu được thay
thế bằng một khối dữ liệu khác có cùng độ dài. Đối với các thuật toán ngày nay thì

Người mã hoá và người giải mã phải có “chung” một khoá. Khóa phải được giữ bí
mật tuyệt đối, vì biết khoá này “dễ” xác định được khoá kia và ngược lại.
 Vấn đề thỏa thuận khoá và quản lý khóa chung là khó khăn và phức tạp. Người gửi
và người nhận phải luôn thống nhất với nhau về khoá. Việc thay đổi khoá là rất
khó và dễ bị lộ. Khóa chung phải được gửi cho nhau trên kênh an toàn.
Ngoài ra với hệ mã hoá khoá đối xứng không thể thực hiện chữ ký điện tử (sẽ được
trình bày trong chương 2) do chỉ có một khoá chung duy nhất. Vì vậy không thể dùng
trong giao dịch điện tử.
1.2.2.2 Hệ mã hoá khóa công khai
Hệ mã hoá khoá công khai là hệ mã hoá có khoá lập mã và khoá giải mã khác
nhau, biết được khoá này “khó” tính được khoá kia.
12 Hệ mã hoá này được gọi là hệ mã hoá khoá công khai vì khoá lập mã được công
khai (gọi là khoá công khai – Public key), Khoá giải mã giữ bí mật (gọi là khoá riêng –
Private key). Điều quan trọng đối với hệ thống là không thể tìm ra khóa bí mật nếu chỉ
biết khóa công khai.
Hình 1.2. Quá trình thực hiện mã hoá khoá công khai
Quá trình truyền và sử dụng mã hoá khoá công khai được thực hiện như sau:
 Bên gửi yêu cầu cung cấp hoặc tự tìm khoá công khai của bên nhận trên một server

, nếu nó là
ước của tất cả các số đó.
Một ước chung d >0 của các số nguyên a
1
, a
2
, …, a
n
, trong đó mọi ước chung của
a
1
, a
2
, …, a
n
đều là ước của d, thì d được gọi là ước chung lớn nhất (UCLN) của a
1
, a
2
,
…, a
n
. Ký hiệu d = gcd (a
1
, a
2
, …, a
n
) hay d = UCLN(a
1

, …, a
n
, trong đó mọi bội chung của
a
1
, a
2
, …, a
n
đều là bội của m, thì m được goi là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a
1
, a
2
,
…, a
n
. Ký hiệu m = lcm (a
1
, a
2
, …, a
n
) hay m = BCNN (a
1
, a
2
, …, a
n
).
Ví dụ: Cho a =20, b =25, gcd (20, 25) = 5, lcm (20, 25) = 100.

6
6
0
0
Kết luận gcd (528, 234) = 6.
Ta biết rằng nếu gcd (a,b) = d, thì phương trình bất định: a*x + b*y = d
có nghiệm nguyên (x, y), và một nghiệm nguyên (x, y) như vậy có thể tìm được bởi thuật
toán Euclide mở rộng như sau:
Thuật toán Euclide mở rộng :
INPUT: Hai số nguyên không âm a và b với a = b.
OUTPUT: d = gcd (a,b) và hai số x,y sao cho a*x + b*y = d.
1. Nếu b = 0 thì đặt d ← a , x ←1, y ← 0, và cho ra (d, x, y).
2. Đặt x
2
= 1, x
1
= 0 , y
2
= 0, y
1
= 1.
3. Trong khi còn b > 0, thực hiện:
3.1. q←a div b, r ← a mod b, x ← x
2
- q*x
1
, y ← y
2
- q*y
1

2

y
1

y
2

528
234

0
1
1
0
234
60
2
60
1
-2
1
0
-2
1
60
54

lặp (ứng với giá trị b = 0), thực hiện tiếp lệnh 4 ta thu được kết quả d = 6, x = 4 và y = -9,
cặp số (4, -9) thoả mãn: 528*4 + 234*(-9) = 6.
528 = 2*234 + 60
234 = 3*60 + 54
60 = 1* 54 + 6
54 = 9*6 + 0
15 Thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất của hai số là cơ sở trong bài toán phân
tích một số nguyên n thành thừa số các số nguyên tố
1.3.2 Số nguyên tố
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Số nguyên tố có vai trò và ý nghĩa to lớn trong số học và lý thuyết mật mã. Bài
toán kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên dương n và phân tích số n thành thừa số
nguyên tố là các bài toán rất được quan tâm.
Phương pháp kiểm tra tính nguyên tố: Phương pháp cổ điển và phương pháp
„xác suất‟.
Phương pháp phân tích số nguyên n thành thừa số các số nguyên tố thực chất
là bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số.
Cơ sở toán học chung cho hệ mã hóa khóa công khai đó là các định lý về số
nguyên tố như định lý Fecma, định lý Euler, định lý số dư Trung Hoa,
1.3.3 Quan hệ đồng dư
Tất cả các bài toán trong hệ mã hóa khóa công khai đều dùng đến quan hệ đồng dư.
Đầu tiên ta xét khái niệm về đồng dư theo modulo.
Cho các số nguyên a, b, m (n > 0). Ta nói rằng a và b “đồng dư” với nhau theo
modulo m, nếu chia a và b cho m nhận được cùng một số dư (hoặc a – b chia hết cho m).
Ký hiệu: a ≡ b (mod m).
Ví dụ:
23 ≡ 11 (mod 4) vì chia 23 và 11 cho 4, được cùng số dư là 3.

11

Ta ký hiệu: m = m
1
*m
2
* *m
k
, M
i
= m / m
i
. Ta có định lý sau đây:
Định lý Số dư Trung Hoa
Định lý số dư Trung Hoa là tên gọi do người phương Tây đặt cho định lý này.
Người Trung Hoa gọi nó là bài toán Hàn Tín điểm binh. Sử ký Tư Mã Thiên viết rằng khi
Hàn Tín điểm quân số, ông cho quân lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi báo cáo số dư.
Từ đó ông tính chính xác quân số đến từng người.
Gần đây, định lý số dư Trung Hoa có nhiều ứng dụng trong các bài toán về số
nguyên lớn áp dụng vào lý thuyết mật mã.
Định lý: Giả sử n > 1 là số nguyên dương và m
1
, m
2
, , m
n
là n số nguyên lớn hơn
1 đôi một nguyên tố cùng nhau. Đặt M = m
1
* m


mod
mod
22
11

Bản chất của bài toán Hàn Tín điểm binh là việc giải hệ phương trình đồng dư bậc
nhất:
 
 
 










nn
max
max
max
mod

mod
mod
22

số. Phương trình đó không phải bao giờ cũng có nghiệm, khi nó có nghiệm thì ta nói a là
một thặng dư bậc hai mod m ;
Bây giờ ta xét việc giải phương trình đồng dư bậc hai: x
2
≡ a (mod m) (2)
trong một trường hợp đặc biệt khi m = p là số nguyên tố có dạng p = 4*n +3, tức p
đồng dư với 3 theo mod 4, và a là một số nguyên nguyên tố với p. Theo tiêu chuẩn Euler
ta biết phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi a
(p-1)/2
≡ 1 (mod p). Khi đó ta có:
a
(p-1)/2
≡ a (mod p)
a
2(n+1)
≡ a (mod p)
Do đó x = ±a
n +1
(mod p) là hai nghiệm của phương trình (2).
1.3.4 Cấu trúc nhóm
Phần lớn các tính toán liên quan đến hệ mật mã khoá công khai và tiền điện tử,
chúng ta thường sử dụng tập các số nguyên từ 0 tới p-1, trong đó p là số nguyên tố lớn.
Những số này cùng với hai phép toán: phép nhân * và phép luỹ thừa sẽ tạo thành các cấu
trúc nhóm có những tính chất quan trọng được sử dụng để mật mã và bảo mật tiền điện tử.
1.3.4.1 Phép nhân, phép luỹ thừa, phép chia
Xét tập Z(p)
*
= {1, 2, 3, 4, , p-2, p-1}. Dễ nhận thấy, nếu ta nhân hai số bất kỳ
trong tập này với nhau, sau đó lấy số dư theo modulo p, thì kết quả là một số vẫn nằm
trong tập đó. Nghĩa là Z(p)

18 Z(11)
*
là đóng với phép nhân và luỹ thừa, các phần tử đều có phần tử nghịch đảo nên nó
là một nhóm.
Trên tập Z(p)
*
, chúng ta có thể định nghĩa thêm phép toán khác, phép chia. Chúng ta
định nghĩa phép chia cho k, ký hiệu là „/‟ như là phép nhân với phần tử nghịch đảo của k, đó là
k
-1
.
Ví dụ 8 / k = 8 * k
-1
. Nếu k = 9 trong Z(11)
*
, thì 8 / 9 = 8 * 9
-1
= 8 * 5 = 40 ≡ 7 mod
11. Tương tự, 3 / 10 = 3 * 10
-1
= 3 * 10 = 30 ≡ 8 mod 11.
1.3.4.2. Phần tử sinh
Giả sử g là một số của Z(p)
*
, g được gọi là phần tử sinh (generator) mod p nếu tập
tất cả các luỹ thừa của g tạo ra tập tất cả các phần tử của Z(p)
*

hoặc có thể viết ngắn
gọn {g
1
, g
2
, . . ., g
p-1
} = Z(p)
*

Ví dụ, 3 là phần tử sinh của Z(7)
*
, bởi vì 3
1
= 3 mod 7, 3
2
= 9 ≡ mod 7 = 2, 3
3
= 27
mod 7 ≡ 6, 3
4
= 81 mod 7 = 4, 3
5
= 243 ≡ mod 7 = 5, 3
6
= 729 ≡ mod 7 = 1. Hiển nhiên
là {3, 3
2
, 3
3

thể nói hai phần tử sinh của nhóm con của Z(3)
*
theo mod 3.
Một nhóm được sinh bởi g được gọi là nhóm có bậc q mod p nếu q là số luỹ thừa
nhỏ nhất sao cho g
q
= 1 mod p. Ta xét lại hai phần tử sinh của Z(7)
*
là 3 và 5, bởi vì 6 là
số luỹ thừa nhỏ nhất để 1= 3
6
= 5
6
mod 7, nên Z(7)
*
là nhóm có bậc 6 mod 7 và không có
số luỹ thừa nào khác có tính chất trên.
Nói chung, với số nguyên tố q, 1 < q < p, G(q) được xem như là một nhóm (hoặc
nhóm con) bậc q mod p, nếu với phần tử sinh g, 1 < g < p, chúng ta có {g
1
, g
2
, g
3
, , g
q
}
là tập con của Z(p)
*
.

: C

P
sao cho d
k
(e
k
(x)) = x,  x  P.
 Tạo khóa
Hệ mã hóa là bộ gồm 5 thành phần {P, C, K, E, D}, trong đó:
+ P = C = Zn, trong đó n là một số nguyên Blum, tính n = p*q;
+ Chọn khóa công khai là n và b (0

b

n-1); chọn khóa bí mật là p và q;
+ Chọn p và q là hai số nguyên tố lớn khác nhau có tính chất sau: p

3 (mod 4);
q

3 (mod 4) (tức là: p = 3 + 4*t, q = 3 + 4*m).
 Mã hóa
Vớ i bản rõ x  P, đị nh nghĩ a bản mã là: y = e
k
(x) = x* (x + b) (mod n).
 Giải mã
Vớ i bản mã y  C, bản rõ là: x = d
k
(y) =

T (mod n), n = p * q (1)
Phương trình (1) tương đương với hệ phương trình (2):

2
2
z T (mod p)
z T (mod q)







(2)
20 + Vì p, q là các số nguyên tố, nên ta có: T
(p -1)/2
 1 (mod p), T
(q -1)/2
 1 (mod q).
+ Nhân 2 vế với T ta được: T
(p +1)/2
 T (mod p), T
(q +1)/2
 T (mod q) hay ta có:

(p+1)/4 2

z T modq










(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq










(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq


 Tạo khóa
+ Chọn hai số nguyên tố lớn khác nhau p, q: p

3 (mod 4), q

3 (mod 4).


p = 7 và q = 11. Tính n = p * q = 77.
+ Chọn P = C = Z
n
với số nguyên Blum: n = 77.
+ Chọn b với 0

b

n-1);

b = 9.
+ Chọn khóa công khai là (n, b).
+ Chọn khóa bí mật là (p, q).
 Mã hoá
Giả sử mã hóa bản rõ là: x = 44.
Bản mã là:
y = e
k
(x) = x * (x + b) (mod n) = 44 * (44 + 9) mod 77 = 2332 mod 77 = 22
 Giải mã
21


23
- 43 mod 77 (1)
* Vì :
2
2
9
9 4 mod 77 1 mod 77
4
  
và 2 * 39

1 (mod 77)

2
-1
= 39.
* Để giải (1) ta cần tính:
T
mod n giải phương trình: z
2


T mod n


2
2
z T (mod p)
z T (mod q)







(2)
(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq









(3)
(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq












z 529 mod 7
z 12.167 mod11






Đặt m = 7 * 11 = 77.
M
1
= m / m
1
= 77 / 7 = 11.

Phần tử nghịch đảo của 11 theo mod 7 là 2, vì: 11 * 2

1 mod 7  b
1
= 2.
M
2
= m / m
2
= 77 / 11 = 7.



(11 * 638 + 681 * 352) mod 77

[(11 * 638 mod 77) + (681 * 352 mod 77)] (mod 77)

11 + 56 (mod 77)

67
+ Giải hệ phương trình (2)
(2)
(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T mod p
z T mod q











z 529 mod 7
z 12.167 mod11





[(11 * 638 mod 77) - (681 * 352 mod 77)] (mod 77)


11 - 56 (mod 77)


- 45 (mod 77)


32 (vì: -45 = 77 * (-1) + 32)
+ Giải hệ phương trình (3)
(3)
(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq











z 529 mod 7



-11 * 638 + 681 * 352 (mod 77)


[(681 * 352 mod 77)] - (11 * 638 mod 77)] (mod 77)


(56 - 11) (mod 77)


45 (mod 77)


45
+ Giải hệ phương trình (4)
(4)
(p 1)/ 4
(q 1)/ 4
z T modp
z T modq










= -12.167


(-529) * 11 * 2 + (-12.167) * 7 * 8 (mod 77)


-11 * 638 – 681 * 352 (mod 77)
23

- [(11 * 638 mod 77) + (681 * 352 mod 77)] (mod 77)


-(11 + 56) (mod 77)


- 67 (mod 77)


10 ( vì: -67 = 77 * (-1) + 10)
Như vậy:
+ Với z = 67 thì x =
23
- 43 mod 77 = 67 – 43 mod 77 = 24
+ Với z = 32 thì x =
23
- 43 mod 77 = 32 – 43 mod 77 = 66
+ Với z = 45 thì x =

(e
k
(x)) = x,  x  P.
*Tạo cặp khóa (bí mt, công khai) (a, h) :
Chọn số nguyên tố p sao cho bài toán logarit rời rạc trong Z
p
là “khó” giải. Chọn
phần tử nguyên thuỷ g  Z
p
*. Đặt P = Z
p
*, C = Z
p
*

Z
p
*.
Chọn khóa bí mật là a  Z
p
*. Tính khóa công khai h  g
a
mod p.
Định nghĩa tập khóa:

= {(p, g, a, h): h  g
a
mod p}. Các giá trị p, g, h được
công khai, phải giữ bí mật a.
Với Bản rõ x P và Bản mã y  C, với khóa k