ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI CÔNG NGHỆ
Phạm Thị Quỳnh Trang
ổng quát về cơ sở toán học của phép biến đổi Wavelet khi phân tích tín hiệu liên tục
cũng như phân tích tín hiệu rời rạc. Tổng quát về tín hiệu điện tim đồ, các tham số
đặc trưng của tín hiệu điện tim đồ. Sử dụng phép biến đổi Wavelet vào phân tích
một tín hiệu điện tim đồ. Trình bày các thuật toán để phân tích tín hiệu điện tim:
thuật toán xác định phức bộ QRS, thuật toán xác định sóng T và thuật toán phát hiện
sóng P. Mô phỏng thuật toán phân tích tín hiệu ECG bằng Matlab
Luận văn ThS Kỹ thuật điện tử - viễn thông: 2.07.00

Nghd. : TS. Trịnh Anh Vũ ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Hà Nội – 2007


3.2.2. Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng mạng nơron 35
3.2.3. Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng biến đổi thời gian - tần số 35
3.3. Phương pháp phân tích ECG sử dụng biến đổi Wavelet 35
3.3.1. Cơ sở toán học 36
3.3.2. Lựa chọn hàm wavelet 37 2
3.3.3. Bộ lọc wavelet 38
3.3.4. Mối quan hệ giữa các tín hiệu bất thường với biến đổi Wavelet của chúng 40
3.3.5. Phân tích, xác định các điểm đặc trưng của tín hiệu ECG 41
3.3.6. Xác định khoảng cách QT 47
3.3.7. Xác định độ lệch ST 50
3.3.8. Loại bỏ nhiễu 51
Chƣơng 4: Các thuật toán phân tích tín hiệu điện tim đồ
4.1. Tổng quan 52
4.2. Phương pháp xác định 54
4.2.1. Thuật toán xác định phức bộ QRS 55
4.2.2. Thuật toán xác định sóng T 56
4.2.3. Thuật toán phát hiện sóng P 57 3
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1. Lịch sử phát triển
Wavelet là một công cụ toán học mới và được phát triển rất mạnh từ những năm 1997
trở lại đây. Cơ sở toán học của nó có từ Joseph Fourier trong thế kỷ thứ 19 với nền tảng là
các giả thiết của ông về phân tích tần số. Tuy nhiên, sự tiến triển đầu tiên của wavelet
hiện nay bắt đầu từ năm 1909 trong luận văn của Alfred Haar. Khái niệm về wavelet ở
dạng lý thuyết hiện nay là từ Jean Morlet và nhóm cộng sự của ông ở trung tâm vật lý lý

tj


).()(
(1.1) 4
Trong đó e
-jt
là hàm phức có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm sin hoặc cosin.
Như vậy, một tín hiệu phức tạp được chuyển về dạng tổng của các hàm sin, là hàm có
đặc điểm có trung bình bằng 0 về mặt thời gian, và việc phân tích tín hiệu trở nên dễ
dàng hơn. Sau khi xử lý, tín hiệu gốc được khôi phục lại bằng biểu thức:




deFtf
tj



 )(
2
1
)(
(1.2)
Trong một thời gian dài, phép biến đổi Fourier có khả năng đưa ra các câu trả lời một
cách đơn giản cho hầu hết các câu hỏi về xử lý tín hiệu thời gian biến đổi tuyến tính. Đây

() = G
u, 
(-).e
-ju(-)
(1.4)
Năng lượng của G
u, 
tập trung xung quanh tần số  trong khoảng 

.Trong mặt
phẳng thời gian – tần số (t, ) các phần năng lượng của g
u,
được biểu diễn trong của sổ
Heisenberg (hình 1); tâm của cửa sổ có toạ độ (u, ) và độ rộng theo trục thời gian là 
t
,
độ rộng theo trục tần số là 

trong đó:

t
. 

 1/2 (1.5) 5
Cửa sổ trên nhỏ nhất khi g là hàm Gaussian, khi đó hàm nguyên tử g
u,
được gọi là


dgFuSf
u
)().(
2
1
),(
*
,
(1.7)
Trong đó Sf(u,) biểu diễn cho f(t) và F() trong miền thời gian và miền tần số lân
cận nơi tập chung năng lượng g
u,
và G
u, 

So sánh các phép biến đổi:
Giới hạn của phép biến đổi Fourier đó là phép biến đổi lấy trung bình về mặt thời
gian. Do tính trung bình về thời gian này mà phép biến đổi Fourier có thể làm mất đi các
đặc tính mang tính tức thời của tín hiệu. Giới hạn này của biến đổi Fourier trong một
chừng mực nào đó có thể khắc phục được bằng phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt
(STFT). Vấn đề đặt ra đối với phương pháp này đó là kích thước của cửa sổ sẽ là bao
nhiêu? Về mặt lý thuyết kích thước cửa sổ càng nhỏ thì các đặc tính mang tính chất cục
bộ của tín hiệu càng dễ được phát hiện. Nhưng nếu tín hiệu trong một khoảng thời gian
lớn không hề có đột biến hoặc trong một dải tần số nào đó thì có các tính chất đặc biệt còn
trong dải tần số khác lại ổn định thì việc chọn kích thước nhỏ cho cửa sổ có thể gây lãng
phí nhưng nhiều khi vẫn không thu được kết quả mong muốn. Nghĩa là điều chúng ta
muốn ở đây là kích thước cửa sổ trượt là thay đổi được. Một giải pháp cho vấn đề này
chính là phép biến đổi Wavelet.
1.4. Phép biến đổi Wavelet (WT)

phương pháp này là tạo ra một tín hiệu một chiều nhưng tín hiệu đó được cắt thành từng
đoạn ngắn (các đoạn ngắn này không đều nhau mà có độ dài tính theo trục loga). Công
việc cắt ngắn này có mục đích là chia tín hiệu thành hai phần: một phần mang tính trung
bình, một phần chi tiết.
1.4.1. Phép biến đổi Wavelet liên tục
Phép biến đổi Wavelet liên tục là phương pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian
– tần số. Điểm khác biệt so với phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt đó là phương
pháp này cho phép xác định các đặc tính của tín hiệu trong vùng tần số cao với độ phân
giải lớn. Thực hiện được điều này là do độ rộng cửa sổ của phép biến đổi có thể thay đổi
được bằng cách thay đổi hệ số tỷ lệ. Một điểm khác biệt quan trọng nữa đó là phép biến
đổi Fourier sử dụng các hàm sin làm hàm cơ sở còn biến đổi Wavelet sử dụng các hàm
toán học được định nghĩa trước không nhất thiết là hàm sin, gọi là các hàm Wavelet cơ sở
(hay còn gọi là các hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet), có tài liệu gọi là hàm Wavelet cha
(father Wavelet)). Có nhiều hàm Wavelet cơ sở khác nhau, tuỳ thuộc vào từng loại tín
hiệu cần phân tích mà một hàm cơ sở nhất định được chọn.
Nói một cách “dân dã” thì biến đổi wavelet được xem như một kính hiển vi có độ
phóng đại điều khiển bởi tham số tỷ lệ. Khi tham số tỷ lệ lớn những đặc tính cơ bản (đặc 7
tính thô) của tín hiệu được phát hiện, tham số này càng nhỏ các đặc điểm tinh của tín hiệu
càng được bộc lộ rõ.
Một tín hiệu x(t) qua biến đổi Wavelet liên tục được biểu diễn như sau:








2

(1.9)
2. Nếu (f) là biến đổi Fourier của (t), nghĩa là
   
dtetf
ftj


2
.





(1.10)
thì:

 





df
f
f
C
g

2
2
2
)(,
1
dttxdb
a
da
baT
C
E
g
(1.13) 8
Tổng năng lượng tín hiệu phụ thuộc tỷ lệ a được tính như sau:




 dbbaT
C
aE
g
2
),(
1
)(
(1.14)

.
)(),(
1
)(
a
dbda
tbaT
C
tx
ba
g

(1.16)
Biểu thức (1) là phương trình biểu diễn biến đổi Wavelet một tín hiệu dựa trên hàm
Wavelet cơ sở. Thực tế cũng có thể thực hiện biến đổi Wavelet dựa trên biểu thức biến
đổi Fourier:

Trong đó:

bj
ba
eaa


).()(
**
,

(1.18)


một đoạn nhỏ. Hai tham số lớn nhất và nhỏ nhất gọi chung là các đỉnh được xác định bởi
phương trình:

0
)/),((
2

da
abaTd
(1.19)
Phương trình trên được sử dụng cho việc xác định tần số và biên độ tức thời của một
thành phần tín hiệu.
Ngoài ra phương trình:

0
),(
2

db
baTd
(1.20)
dùng để xác định vị trí các điểm đặc biệt (những đặc tính bất thường) của tín hiệu.
Phương trình này cũng dùng để xác định các điểm uốn có gradient bằng 0.
1.4.2. Một số hàm Wavelet cơ sở
1.4.2.1.Hàm Wavelet dạng e mũ
Hàm Wavelet dạng e mũ là đạo hàm bậc hai của hàm Gauss được biểu diễn bởi:

   
2
2

1.4.2.2. Hàm Morlet
Hàm Morlet là một hàm wavelet cơ sở được sử dụng phổ biến nhất. Biểu thức toán
học của hàm Morlet như sau:

 
22
4
2
2
0
0
1
t
tj
eeet














(1.22)

0
< 5 thì khả năng phân tích tín hiệu về mặt thời gian sẽ tốt hơn về khía
cạnh tần số, nó rất có ích cho một số nhiệm vụ phân tích dữ liệu.
Hình 2: Biểu diễn đồ thị của hai hàm wavelet Morlet. Hình 2a: hàm Morlet với tần số
trung tâm 
0
= 2.0 (f
0
= 0.138Hz); hình 2b: hàm Morlet với tần số trung tâm 
0
= 12 (f
0

=1.909)
a
b
Hình 2: 12
Hình 3 biểu diễn một tín hiệu nhỏ biển đổi wavelet sử dụng hàm Morlet là hàm cơ sở
với tần số trung tâm 
0
=5.33rad/s (f
0
=0.849Hz). Phần thực của tín hiệu sau biến đổi
được biểu diễn trên hình 3b có dạng tương tự như biến đổi sử dụng hàm dạng e mũ (hình
1c). Tính gián đoạn (không liên tục) tại điểm đầu và điểm cuối của tín hiệu gốc được phát
hiện trên đồ thị về pha của tín hiệu sau biến đổi trên hình 3c; những điểm gián đoạn được
chỉ rõ tại các đỉnh của đồ thị về pha. Tần số tức thời kết hợp tín hiệu tăng thì đồ thị tín

nhưng các giá trị chỉ lấy tại các vị trí là mắt lưới a,b – a là tham số tỷ lệ, b là tham số dịch
mức). Các tín hiệu vào được xử lý như biến đổi wavelet xấp xỉ sử dụng thuật toán đa
phân giải; do vậy tuy tín hiệu vào là tín hiệu liên tục được biến đổi wavelet rời rạc nhưng
tín hiệu thu được sau biến đổi wavelet ngược có thể được tính toán một cách nhanh
chóng mà không bị mất mát thông tin.
Cách lấy mẫu tham số a và b được thực hiện như sau: sử dụng trục loga rời rạc cho
việc lấy mẫy tham số tỷ lệ a, từ đó tạo ra các bước nhảy cho b, dịch chuyển các bước nhảy
tương ứng với mỗi giá trị của b. Biểu thức tổng quát cho biến đổi wavelet rời rạc có dạng
như sau:











0
00
0
,
1
)(
a
anbt
a
t




(1.25)
Các lưới dyadic wavelet được chọn phải có tính trực giao và có năng lượng bằng một
đơn vị có nghĩa là: 14
Như vậy các thông tin được lưu trong các hệ số T
m,n
chứa trong các phép biến đổi
wavelet không bị lặp lại mà vẫn cho phép khôi phục lại tín hiệu gốc (không bị dư thừa
thông tin).
Sử dụng lưới wavelet dyadic như phương trình 1.25 biến đổi wavelet rời rạc có thể
được viết lại như sau:




 dtttxT
nmnm
)()(
,,

(1.27)
Trong đó T
m,n
là hệ số wavelet tại toạ độ m,n
Xét yếu tố quan trọng tạo ra sự khác biệt rõ rệt giữa biến đổi wavelet rời rạc và rời rạc

xỉ:




 dtttxS
nmnm
)()(
,,
(1.30)
Từ biểu thức trên cho thấy các hệ số xấp xỉ được tạo ra bởi việc lấy trung bình của tín
hiệu liên tục có trọng số = 2
m./2
. Các hệ số xấp xỉ tại các điểm có tỷ lệ m được coi là sự









hoptruong
nnvàmmnêú
dttt
nmnm
0
''1
)()(





n m n
nmnmnmnm
tTtStx )()()(
,,,0,0

(1.32)
Đặt d
m
(t) là thành phần tín hiệu tại tỷ lệ m, d
m
(t) được xác định bởi:





n
nmnmm
tTtd )()(
,,

(1.33)
Phương trình 1.32 có thể viết gọn lại như sau:



16
* Thuật toán:
Hệ số xấp xỉ tại tỉ lệ (m + 1) có thể được tạo ra bởi các hệ số tỉ lệ trước đó:




k
kmnk
k
knmknm
ScScS
,22,,1
2
1
2
1
(1.35)
Tương tự như trên hệ số wavelet cũng có thể được xác định nhờ các hệ số trước đó:




k
kmnk
k
knmknm
SbSbT

1
là hệ
số của các nhánh lọc trong bộ lọc thông thấp bộ lọc này chỉ cho phép những thành phần
tín hiệu tần số thấp đi qua vì vậy tín hiệu ra được làm trơn (bằng phẳng) hơn;
k
b
2
1
là hệ
số của các nhánh lọc trong bộ lọc thông cao cho phép những thành phần tín hiệu tần số
cao đi qua, qua bộ lọc này tín hiệu thu được là các tín hiệu chi tiết.
Ngược lại S
m,n
cũng được xác định khi đã biết S
m+1,n
và T
m+1,n
:




k
kmkn
k
kmknnm
TbScS
,2,2,1
2
1

các loại biến đổi wavelet khác.
Xét tín hiệu rời rạc: là 1 hàm có giá trị tại những điểm thời gian rời rạc, như vậy tín
hiệu có thể được biểu diễn bởi 1 chuỗi f = (f
1
,f
2
…f
N
) N là một số nguyên dương biểu thị
độ dài của tín hiệu f. Giá trị của f là N số thực f
1
, f
2
… f
N
là giá trị của tín hiệu tương tự g
đo tại các thời điểm t
1
, t
2
… t
N
. Vậy:
f
1
= g(t
1
) , f
2
= g(t

Phần thứ hai là phần chi tiết cấp 1 ký hiệu là d
1
= (d
1
, d
2
… d
N/2
) được xác định bởi:

2
212 mm
m
ff
d



(1.40)
Biến đổi Haar cấp 1:
Biến đổi Haar được thực hiện qua nhiều bước; bước thứ nhất theo sơ đồ như sau:

)|(
11
1
daf
H


Biến đổi ngược của sơ đồ H