ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH HÌNH THỨC
MATHEMATICA 5.1
Tác giả: Đào Anh Pha

 DẪN NHẬP

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

♦
Phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace ngược
♦
Một số định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace trên hàm bậc thang Heaveside


BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA
5.1

♦
Phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace ngược ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
♦
Giải phương trình vi phân


1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) 6

1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) 6

1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7

1.3.6 Biến đổi của tích phân 7

1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7

1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.1.1Định nghĩa 1 10

1.4.1.2 Định nghĩa 2 10

1.4.1.3 Định nghĩa 3 10

1.4.1.4 Thí dụ 10

1.4.2 Biến đổi Laplace 11

1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside 11

1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside 11

1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside 11

3.1.2.2 Một số thí dụ 21

3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 23

3.2.1 Phương pháp chung 23

3.2.2 Module cài đặt 23

3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 28

KẾT LUẬN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

[ 3 ]
D
ẪN
N
HẬP
Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình, hệ phương vi phân là
một ứng dụng hiệu quả và được rất nhiều người sử dụng. Phương pháp này được sử
dụng nhiều trong các ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là lĩnh vực vật lý. Bên cạnh
việc sử dụng phương pháp này người ta sử dụng thêm các công cụ hỗ trợ cho việc
tính toán nhanh chóng và hiệu quả. Ở đây, chúng ta s
ử dụng ngôn ngữ lập trình hình
thức Mathematica 5.1 để cài đặt các phương pháp nhằm mô tả việc giải phương
trình và hệ phương trình vi phân. Đây là một công cụ khá mạnh giúp chúng ta thực
hiện nhanh chóng và nhẹ nhàn. Tuy nhiên, việc cài đặt các Module cũng khá phức

Hàm F(p) của biến phức
p uiv= +
xác định bởi:

(1)
0
() ()
pt
Fp e ftdt
∞
−
=
∫
được gọi là hàm ảnh của
.
)(tf
Ký hiệu:

[ ]
() ( )Lft Fp=

hoặc
)(tf
F(p) hay F(p)
)(tf
1.1.3 Thí dụ
a) Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị
[]
0
0


() ()
00
0
11
at at pt p a t p a t
Le e e dt e dt e
pa pa
∞
∞∞
−−− −−
⎡⎤
== =− =
⎣⎦
− −
∫∫

[ 4 ]
1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
1.2.1 Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa

[]
1
1
() ( ) ( )
2
ai
pt

L[ +g(t)] = F(p) + G(p)
)(
tf
2)

L[k ]= kF(p)
)(
tf
Hai tính chất trên tương đương với:
L[af(t)+bg(t)] = aF(p) + bG(p). (3)
Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của cosat và sinat.
Từ công thức Euler
ee
cos = , sin
22
iat iat iat iat
ee
at at
i
−−
+−
=

Ta có:

[]
22
e111
cos

⎡⎤
⎡⎤
−
==−=
⎢⎥
⎢⎥
−+
+
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

1.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t) ()
00
[ ()] () () ( )
at at pt a p t
L eft eftedt fte dtFpa
∞∞
−−− −+
===
∫∫
+
(4)

Khi hàm f(t) nhân với e

++

()
2
2
sin ( )
mt
a
Le at Fp m
p ma
−
⎡⎤
=+=
⎣⎦
++

1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ)

Nếu
[() ()] ( )
L ut f t F p
=
với u(t) là bước nhảy đơn vị thì với mọi T>0 ta có:
0
[()()] ()()
pt
L ut f t ut f t e dt
ττ ττ
∞
−

Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của
3
() ( 2)
t
ft e ut
−
= −
3( 2) 6 6 3( 2)
() ( 2) ( 2)
tt
ft e ut e e ut
−−− −−−
=−= −
Vì
3
1
()
3
t
Le ut
p
−
⎡⎤
=
⎣⎦
+

+
⎡⎤
−=
⎣⎦
+

1.3.4 Định lý kết hợp
(Convolution theorem)

Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(p)và G(p)

1
0
() [ ( ) ( )] ( ) ( )
t
yt L G pF p g f t d
τ ττ
−
=−
∫
(6)
Tích phân trong biểu thức được goik là kết hợp hai hàm f(t) và g(t). Ký hiệu:

0
()* () ( ) ( )
t
gt f t g f t d
τ ττ
=−
∫

τ
τ
τ
τ
−−
−− −
−
t
− −−
=
=
==−
∫
∫

[ 6 ]
1.3.5 Biến đổi của đạo hàm

♦
Đạo hàm cấp 10
()
()
pt
df t d
L fte dt
dt dt
∞


Vì
li
nên
m ( ) 0
pt
t
eft
−
→∞
=

()
() (0)
df t
LpFpf
dt
= −+
(8)
♦
Đạo hàm cấp 22
2'
2
()
() (0) (0)
df t
LpFppff

⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
dt

Đặt:
0
() ()
1
t
pt pt
uftdtduft
dv e dt v e
p
−−
=⇒=
=⇒=−
∫

000
0
1
() () ()
pt
t
pt
e
L f tdt f tdt f te dt
pp
∞

t
Lftdt Fs
p
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∫
(11)

1.3.7 Biến đổi của tf(t)

Lấy đạo hàm hệ thức (1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và
tích phân, ta được:
00
()
() ()
pt pt
dF p d
f t e dt tf t e dt
dp dp
∞∞
−−
⎡⎤⎡
==−
⎣⎦⎣
∫∫
⎤
⎦


⎣⎦() ( )
[]
()
22
22
2
22
22
cos
cos
p
ft at Fp
pa
dp pa
Lt at
dp p a
pa
=⇒=
+
⎡⎤
−
=− =
⎢⎥
+
⎣⎦
+


,0,
!
1
>
+
là số tự nhiên
4
at
e

ap
ap
>
−
,
1

5
at
e
−

ap
ap
−>
+
,
1

6

nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
>
−
+
là số tự nhiên
9
atn
et
−

nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
−>
+
+
là số tự nhiên
10

−
p
ap
ap

[ 8 ]
13
att sin

0,
)(
2
222
>
+
p
ap
ap

14
bte
at
sin

ap
bas
b
>
+−
,

atsinh

ap
ap
a
>
−
,
22

18
()df t
dt

() (0)pF p f
+
−

19
2
2
()dft
dt

2
( ) (0) '(0)pF p pf f
++
−−

20


22
()()
ft ut
τ τ
−−

()
p
eFp
τ
−

23
() ()
af t bg t
+

( ) ( )
aF t bG t
+

24
()
at
eft
−

( )
Fp a

còn được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị 0 khi đối
số (t) âm và nhận giá trị 1 khi đối số (t) dương. Hàm này được sử dụng trong lý
thuyết toán học điều khiển hay trong xử lý tín hiệu.
1.4.1.2 Định nghĩa 2
Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
⎩
⎨
⎧
≥
<
=−=
ct
ct
ctHtH
c
1
0
)()(
(14)

Nếu c>0 (c<0) thì đồ thị của H
c
sẽ được tịnh tiến qua phải (qua trái) so với
đồ thị của H.
1.4.1.3 Định nghĩa 3
Hàm khoảng H
ab
với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang
Heaviside
)()()()()( btHatHtHtHtH

ab

Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến H
a
, và hàm khoảng H
ab
thường được dùng
để mô tả hàm liên tục từng khúc.
1.4.1.4 Thí dụ
Mô tả hàm:
⎩
⎨
⎧
∞<≤
<≤
=
t
tt
tf
12
102
)(

sử dụng hàm bậc thang Heaviside.
[ 10 ]
Từ là hàm khả vi từng khúc trên khoảng
)(
tf
10 <≤ t
và , chúng ta sử

e
LH p H te dt e dt
p
∞∞
−
−−
==
∫∫
=
(16)
1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside
[] [] []
() () ()
ap bp
ab a b
ee
LH p LH p LH p
p
−−
−
=−=
(17)
1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside
[]
)()()()( pFepctfctHL
cp
−
=−−
(18)
1.4.2.4 Thí dụ

)6(
7
7
6
7
4604
−+−+−−=
−+−+−−=
−+−−−−−−=
+−=
−−
−
−
−
tHeetHtHtH
tHetHtHtH
tHetHtHtHtH
tHetHtHtf
t
t
t
t
Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng
biến đổi Laplace ta được:

[]
1
5.83
)(
664

t
tf
π

Ta có:
[ 11 ]
[]
)2()2(sin)1()1(sin
)2(sin)1(sin
)2()1(sin
)(.0)(sin)(.0)(
2121
−−+−−=
−+−−=
−−−−=
+−=
tHttHt
ttHttH
tHtHt
tHttHtHtf
ππ
ππ
π
π

Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng
biến đổi Laplace ta được:
[]
)()(
22

tf
[ ]
() ()Fp Lft
=
thì:
[ ]
)()()()(
1
ctfctHtpFeL
cp
−−=
−−
(19)

[ 12 ]