Chương IV
- 74 -
Chương 4
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI
LAPLACE
Trong chương này, ta sẽ xét đáp ứng của hệ thống nhân quả tuyến tính bất biến khi tín hiệu
tác động vào hệ thống ở thời điểm t = 0, các điều kiện đầu có thể bằng 0 hay khác 0. Công cụ
dùng để xác định đáp ứng tần số của hệ thống là phép biến đổi Laplace.
Phép biến đổi Laplace là một công cụ rất tuyệt vời trong việc phân tích hệ thống liên tục vì
nh
ững lý do sau đây:
- Nó thay thế phương trình vi phân bằng phương trình đại số, giúp cho việc giải
phương trình vi phân được đơn giản đi nhiều.
- Nó giúp tìm nghiệm tổng quát một cách trực tiếp, nghĩa là tìm được đáp ứng tổng
quát chứa cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0.
- Có thể dùng phép biến đổi Laplace cho các tín hiệu không có phổ (tức là các tín hiệu
không có biến đổi Fourier)
- Bi
ến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến nhân quả là hàm truyền
đạt của hệ. Hàm này rất hữu ích trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống.
Chương này gồm hai nội dung chính:
- Lý thuyết phép biến đổi Laplace, gồm các công thức tính biến đổi Laplace thuận và
ngược, các tính chất, cách tính.
- Ưng dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán phân tích hệ thống. Bài toán phân tích
hệ thống ở đây là bài toán tìm tín hiệu ra hệ thống theo một tín hiệu vào cụ thể. Bài
toán có thể thực hiện dựa vào giải phương trình vi phân hoặc là dựa vào một mô hình
toán học khác của hệ thống- đó là hàm truyền đạt.
4.1 GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Phần này sẽ trình bày về phép biến đổi Laplace tổng quát - đó là phép biến đổi Laplace hai
phía và biến đổi Laplace ngược tương ứng. Sau đó ta sẽ xem xét phép biến đổi Laplace một
phía- đó là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía. Phần này cũng sẽ


Chương IV
- 75 -
Ta thấy rằng có thể có các tín hiệu x(t) không thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối nhưng nhờ
nhân với
t
e
σ−
mà trở thành )t(xe
tσ−
khả tích tuyệt đối. Như vậy, biến đổi Fourier của
)t(xe
tσ−
luôn tồn tại nếu ta chọn
σ
thích hợp.
Ta đặt:
ω
+
σ
≡
js

Biến s là một biến phức.
Ta có thể vẽ các giá trị của biến phức s trong một
mặt phẳng gọi là
mặt phẳng s (s-plane).
Mặt phẳng s có trục hoành là Re[s] và trục tung là
Im[s].


các đường thẳng này tạo thành một phần mặt phẳng và được gọi là
miền hội tụ (region of
convergence) của phép biến đổi Laplace hai phía của x(t).
2. Biểu thức tính biến đổi Laplace hai phía ngược
Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách dùng biến đổi
Laplace ngược. 1
σ
Im(s)
s = 4+j2
Đường tích
phân cho LT
-1
2
4 Re(s)
Mặt
phẳng s
Chương IV
- 76 -

ω+σ≡ js
1
nằm trong miền hội tụ của X(s).
Có nhiều trường hợp các tín hiệu khác nhau có cùng hàm biến đổi Laplace hai phía, chỉ khác
nhau ở miền hội tụ. Vậy biến đổi Laplace hai phía phụ thuộc vào hàm biến đổi X(s) và miền
hội tụ.
4.1.2 Phép biến đổi Laplace một phía
1. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía
Phép biến đổi Laplace hiệu quả nhất trong việc tính đáp ứng của hệ nhân quả đối với tín hiệu
vào bắt đầu ở thời điểm
0t ≥
. Trong trường hợp này, cả tín hiệu và đáp ứng xung đều bằng 0
với t < 0 và biến đổi Laplace hai phía trở thành
biến đổi Laplace một phía (single-sided
Laplace transform):
∫
∞
−
−
=
0
st
dte)t(x)s(X

Cận dưới của tích phân trên là
0
-
ý là bao hàm cả gốc thời gian trong tích phân, ở đây là bao
gồm cả các điểm gián đoạn và xung tại gốc thời gian. Sau đây, ta viết cận dưới là
0 thay cho

Chương IV
- 77 -
3. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía ngược
Biến đổi Laplace một phía ngược được tính tương tự như Laplace hai phía ngược, nhưng kết
quả chỉ có nghĩa với
0t ≥ .
Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía cho thấy chỉ có một miền hội tụ duy nhất
đối với một tín hiệu. Tín hiệu đó bằng 0 khi t < 0. Do đó, kết quả tính biến đổi Laplace một
phía ngược chỉ có duy nhất một tín hiệu. Tính duy nhất này làm cho phép biến đổi Laplace
một phía trở thành một công cụ rất hiệu quả trong phân tích hệ thống.
Từ đây trở
đi, ta tập trung xét phép biến đổi Laplace một phía.
Tóm lại, sự chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian t và miền biến phức s được thực hiện nhờ
cặp biến đổi Laplace thuận và ngược và được ký hiệu ngắn gọn như sau:
)s(X)t(x
L
⎯→←
4.1.3 Tính phép biến đổi Laplace
1. Ví dụ 1
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ue)t(x
tα−
= và miền hội tụ
⎯→←
Thì
)s(bY)s(aX)t(by)t(ax
L
+⎯→←+
Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(u)tsin()t(x
0
ω
=

4.2.2 Thay đổi thang thời gian
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
0m
m
s
X
m
1
)mt(x

>⎯→←−
−

Chương IV
- 79 -
Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ giữ mẫu bậc 0 (ZOH), biết thời gian giữ mẫu
là T.
4.2.4 Dịch s
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
)as(X)t(xe
L
at
+⎯→←
−

Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu sin suy giảm )t(u)tsin(e)t(x
0
at

Ví dụ:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ute)t(x
at−
= Chương IV
- 80 - 4.2.6 Đạo hàm x(t)
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
−
=
−
=
−−
∑
−⎯→←
0t
1n
0i
i
i
i1nn
L

)s(X)t(x
L
⎯→←
Thì
s
)0(y
s
)s(X
)0(yd)(x)t(y
L
t
0
−
−
+⎯→←+λλ=
∫
−

Chương IV
- 81 -
4.2.8 Tính chất chập
Nếu
)s(X)t(x
L
⎯→← và )s(Y)t(y
L
⎯→←
Thì
)s(Y).s(X)t(y)t(x
L

1
)t(x với
0t ≥

dọc theo đường thẳng
ω+σ= js
1
trong mặt phẳng s. Việc tính tích phân này liên quan đến lý
thuyết về biến phức và khá phức tạp.
Trong phần này, ta sẽ tính biến đổi Laplace ngược không bằng cách tính tích phân trên. Các
tính toán ở đây dựa vào các cặp biến đổi Laplace đã biết và các tính chất của phép biến đổi
Laplace đã xét trên.
Trước khi đi vào tính biến đổi Laplace ngược, ta xét qua khái niệm về điểm cực và điểm
không.
4.3.1 Điểm cực và điểm không
Thực tế có nhiều tín hiệu và đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến có biến đổi Laplace
dạng hữu tỷ:
)s(Q
)s(P
qsqsqsq
pspspsp
)s(X
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m

=
Tử số của X(s) bằng 0 khi:
i
s
β
=
với m,1i =
Ta gọi các s này là
điểm không (zero) của X(s).
Mẫu số của X(s) bằng 0 khi:
i
s
α
=
với
n,1i =

Các giá trị s này làm cho
∞
=)s(X và ta gọi đó là điểm cực (pole) của X(s).
Số lượng điểm cực trùng nhau được gọi là
bậc (order) của điểm cực, tương tự, số lượng điểm
không trùng nhau được gọi là bậc của điểm không.
Các điểm cực và điểm không có thể thực hoặc phức. Khi chúng là số phức, chúng phải xuất
hiện thành cặp liên hợp phức. Cụ thể là:
Nếu có một điểm không là
jba
k
+
=

+−
= Chương IV
- 83 -
4.3.2 Tính biến đổi Laplace ngược
Về nguyên tắc, ta có thể tính biến đổi Laplace ngược không theo con đường tính tích phân
Laplace ngược bằng cách:
Ta phân tích hàm hữu tỷ X(s) thành tổng của các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn mà ta đã biết
biến đổi Laplace ngược. Theo tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace ngược của hàm X(s)
chính là tổng của các biến đổi Laplace ngược của các hàm có bậc thấp hơn này.
Để phân tích hàm hữu tỷ X(s), trước hết ta xem nó có phải là phân thức
thật sự (proper)
chưa. Phân thức thật sự là phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu. Nếu X(s) chưa phải
là phân thức thật sự, tức là bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu, ta chia tử cho mẫu để
được một tổng gồm hai số hạng. Số hạng thứ nhất là một đa thức theo s và số hạng thứ hai là
phầ
n dư của phép chia- đó là một phân thức thật sự.
Ta khai triển phân thức thật sự (hàm X(s) hay phần dư) thành tổng các hàm hữu tỷ có bậc
thấp hơn bằng phương pháp

i2
1n
1i
i
1
i1
2n
2
1n
1
)s(
A
)s(
A
)s()s(
)s(P

Ta có thể tìm n1 hệ số A
i1
và n2 hệ số A
2i
(n1+n2 = n) theo cách sau:
Quy đồng mẫu số vế phải, sau đó đồng nhất tử số bên vế phải với tử số bên vế trái, ta được
hệ n phương trình. Giải hệ n phương trình đó, ta tìm được n nghiệm- đó chính là n hệ số A
i1

và A
2i
.
4.3.3 Các ví dụ tính biến đổi Laplace ngược

Chương IV
- 85 -
2. Ví dụ 2


Chương IV
- 86 -
3. Ví dụ 3
Tính biến đổi Laplace ngược của:
)5s2s)(1s)(2s(
27s22s3
)s(X
2
2
++++
++
=
)s(W
2
s3s22
++
+
=
−−
α là điểm cực và p
m
/q
n
là một hằng số.
1. Nếu X(s) chỉ có các điểm cực đơn
Khai triển riêng phần của X(s) là một trong các dạng sau:
γ+
=
s
A
)s(X
1

hoặc
22
2
)s(
B
)js)(js(
B
)s(X
ω+γ+
ω
=
ω−γ+ω+γ+
ω
=
hoặc
22

t
3
ω=
γ−

2. Nếu X(s) có các điểm cực trùng nhau (cực bội)
Các tín hiệu sẽ là các dạng sau:
)t(ue)t(f)t(x
t
11
γ−
=
)t(u)tsin(e)t(f)t(x
t
22
ω=
γ−

)t(u)tcos(e)t(f)t(x
t
33
ω=
γ−

ở đây f
i
(t) là các đa thức theo t, bậc của đa thức nhỏ hơn 1 so với bậc của điểm cực tương
ứng. Các hệ số của đa thức phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s).
Phần thực của các điểm cực (là
γ

)t(x)t(y6
dt
)t(dy
5
dt
)t(yd
2
2
=++
ở đây x(t) là vị trí yêu cầu và y(t) là vị trí đáp ứng.
Giải tìm y(t) với
0t ≥ khi x(t) = u(t) và các điều kiện đầu là: 12
dt
)t(dy
,2)0(y
0t
−==
−
=
−
.

Tìm điện áp trên cuộn dây v
0
(t) với 0t ≥

Chương IV
- 91 -

tương đương Laplace
(Laplace transform equivalent).
Tương đương Laplace của một tín hiệu chính là biến đổi
Laplace của tín hiệu đó. Tương đương Laplace của một thành phần trong mạch điện là biến
đổi Laplace của mô hình toán học của nó, nói cách khác là ta thay biểu diễn trong miền thời
gian t thành biểu diễn trong miền biến s. . Ta gọi sơ đồ mạch tạo ra từ các tương đương
Laplace là
sơ đồ mạch biến đổi (transformed circuit diagram). Ta sử dụng sơ đồ mạch biến
đổi, biến đổi Laplace của tín hiệu vào, các điều kiện đầu và kỹ thuật phân tích mạch để có
được biến đổi Laplace của tín hiệu ra, rồi tính biến đổi Laplace ngược, ta sẽ có được tín hiệu
ra.
4.5.1 Sơ đồ mạch biến đổi
Để tạo ra sơ đồ mạch biến đổi, ta thay từng thành phần trong mạch bằng tương đương
Laplace của nó.
Trong phần này ta xét các thành phần mạch là nguồn áp, nguồn dòng, điện trở, cuộn dây, tụ
điện.

Chương IV
- 94 -
4.5.2 Ví dụ
Làm lại ví dụ 2 ở mục 4.4.2


Vậy, biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là tích của biến đổi Laplace của tín hiệu vào
và đáp ứng xung. Từ đây ta có định nghĩa:
Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s. Khi được nhân
với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng
thái 0.
Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng. Do đó,
hàm
truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung. Vì đáp ứng xung đặc
trưng cho hệ trong miền thời gian nên hàm truyền đạt đặc trưng cho hệ trong miền s.
Ta có thể viết:
H(s) = Y(s)/X(s)
Vậy,
hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào.
Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách:
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace
ngược.
4.6.2 Tính hàm truyền đạt
Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung, nhưng
muốn có đáp ứng xung ta phải giải phương trình vi phân khá phức tạp. Thực ra thì ta có thể
tính được hàm truyền đạt mà không cần phải giải phương trình vi phân.
1. Tính hàm truyền đạt từ phương trình hệ thống
Phương trình vi phân của hệ tuyến tính bất biến bậc n có dạng chuẩn sau:
∑∑
==
=+
m
0r
r
r
r

dt
)t(dx
3
dt
)t(dy
5.1
dt
)t(yd
5.0)t(y
2
2
++−−=
(a) Tìm hàm truyền đạt
(b) Tìm đáp ứng xung 2. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ mạch điện
Ta chuyển sơ đồ mạch thành sơ đồ biến đổi như trình bày trong mục 4.5.1, dùng các kỹ thuật
phân tích mạch để viết các phương trình chỉ ra các mối quan hệ, từ đó rút ra hàm truyền đạt.
Ví dụ:
Tìm hàm truyền của mạch lọc cầu T cung cấp cho tải là điện trở

Chương IV
- 98 -
4.6.3 Quan hệ giữa các đặc điểm của hàm truyền đạt và đáp ứng của hệ thống
Hàm truyền đạt của một hệ tuyến tính bất biến bậc n là:
)s(D
)s(N
sa sa1
sb sbb
)s(H

⎛
=

ở đây z
i
là điểm không, p
i
là điểm cực và b
m
/a
n
là độ lợi (gain). Qua đây ta thấy hàm hệ thống
được đặc trưng bởi các cực, không và độ lợi. Như vậy, một hệ thống sẽ được đặc trưng bởi vị
trí của các cực và không của hàm truyền đạt (ngoại trừ điều kiện đầu và độ lợi).
Ta sẽ phân tích kỹ hơn về điều này.
Biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là:
)s) (s(
)s) (s(
)ps) (ps(
)zs) (zs(
G)s(X
)s(D
)s(N
)s(X).s(H)s(Y
r1
k1
n1
m1
α−α−
β−

r
r
n
1k
k
k
k
dt
)t(xd
b
dt
)t(yd
a)t(y

với điều kiện đầu khác 0. Kết quả là:
∑∑
==
=++
m
0r
r
r
n
1k
k
k
)s(Xsb)s(I)s(Ysa)s(Y
ở đây I(s) là một đa thức theo s có các hệ số là hằng số, được tạo ra do biến đổi Laplace của
đạo hàm của y(t) với điều kiện đầu khác 0.
Ta có thể viết lại Y(s) dưới dạng: