CHƯƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI
GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE

Nội dung

6.1 Biến đổi Laplace
6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace
6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân
6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử
6.5 Sơ đồ khối
6.6 Thiết lập hệ thống
6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển
6.8 Biến đổi Laplace hai bên
6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai
6.10 Tóm tắt
Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu
)(tf
thành dạng tổng các hàm mủ
dạng
tj
e
w
, với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức
)(

e
w
), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp
biến đổi Fourier).
Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên,
với biến tần số
w
j
s
=
được tổng quát thành
w
s
j
s
+
=
. Điều này cho phép ta dùng các
hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu
)(tf
. Trước khi phát triển toán tử của
phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này.
6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace
Tín hiệu
)(tf
trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier
bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng

dạng
tj
e
w
với tần số w thay đổi từ
-¥
=
w
đến ¥. Thành phần mủ
tj
e
w
và
tj
e
w
-
thêm vào
phổ tạo sóng sin tần số w. Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ
lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu.
Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại
)(t
f
, vẽ ở hình 6.1a.
Thành phần phổ của hàm mủ của
)(t
f
có dạng
tj
e

s
. Điều này
cho phép tổng hợp
)(tf
bằng cách nhân từng thành phần của nhân
)(t
f
với
t
e
s
rồi cộng
tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của
)(t
f
(sóng sin trong hình 6.1b) với
t
e
s
tạo
hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin
tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại
)(tf
trong hình 6.1d. Thành phần phổ của
)(t
f

có dạng
tj
e

+
trong mặt phẳng
phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f.
Rõ ràng là tín hiệu
)(tf
có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng
nằm dọc theo
w
s
j
+
, với
-¥
=
w
đến ¥. Giá trị của s rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu
)()(
2
tuetf
t
= , thì
t
etft
s
f
-
= )()( có biển đổi Fourier khi chọn s > 2. Từ đó, có vô số
cách chọn
s
.

trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành
w
s
j
s
+
=
.

6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên
Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm
)(
w
jF

thay cho
)(
w
F
của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo:

ò
¥
¥-
-
= dtetfjF
tj
w
w
)()(

tjtt
wss
)(])([
(6.3)

ò
¥
¥-
+
= dtetfetfF
tjtt )(
)(])([
wss
(6.4)

Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là
)(
w
s
jF
+
, nên
)(])([
ws
s
jFetfF
t
+=
-
(6.5)

ws
dejFtf
tj )(
)(
2
1
)(
(6.7)
Lượng
)(
w
s
j
+
là tần số phức s. Đổi biến tích phân từ w sang s. Do
w
s
j
s
+
=
,
dsjd )/1(
=
w
. Giới hạn của tích phân từ
-¥
=
w
đến ¥ chuyển từ biến s từ

tf )(
2
1
)(
p
(6.8a)
Từ phương trình (6.4) và (6.5), ta có

ò
¥
¥
-
= dtetfsF
st
)()( (6.8b)
Cặp phương trình trên gọi là cặp biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai
bên được viết thành công thức
F(s) = L[f(t)] và f(t) = L
-1
[F(s)]
Hay đơn giản hơn

)()( sFtf
ÛĐáp ứng của hệ thống LT – TT – BB.
Phương trình (6.8a) biểu diễn
)(tf
thành tổng trọng các hàm mủ dạng

)(
0
2
)(
lim)(
2
1
)(
pp
(6.9)

Rõ ràng, biến đổi Laplace biểu diễn
)(tf
thành tổng các hàm mủ không dừng có
dạng
tsn
e
)( D
đi từ
¥
-
j
c
đến
¥
+
j
c
với
0

å
¥+
¥-
D
¥
-¥=
®D
=
ú
û
ù
ê
ë
é
DDD
=
jc
jc
sttsn
n
s
dsesHsF
j
e
j
ssnHsnF
tf
'
'
)(

e
. Từ đó, tìm được
đáp ứng của hệ thống bằng cách cộng tất cả đáp ứng với các thành phần mủ này. Phương
pháp thực hiện tương tự như trong chương 2 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng
nhiều xung) hay trong chương 4 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng các hàm mủ
dạng
tj
e
w
).
Vậy khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s), có ngõ vào là
)(tf
và ngõ ra
)(ty
, nếu
)()( sFtf
Û
, và
)()( sYty
Û
, thì

)()()( sHsFsY
=
(6.12)

Tính tuyến tính của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là toán tử tuyến tính, và theo nguyên lý xếp chồng, nếu
)()(
11

Do
0)(
=
tu
khi
0
<
t
và
1)(
=
tu
khi
0
³
t¥
¥
+-+-
¥

òò
+
===
0
0
)()(
0


Do
1=
- tj
e
b
với mọi giá trị của
t
b
. Do đó. Khi
¥
®
t
,
0®
-zt
e
nếu và chỉ nếu
khi
0
>
a
, và
¥
®
t
,
¥®
-zt
e

=
+-
¥®
0)Re(
0)Re(0
lim
)(
as
as
e
tas
t

Dùng kết quả từ phương trình (6.14)

0)Re(
1
)( >+
+
= as
a
s
sF
(6.16a)

0)Re(
1
)( >+
+
= as

)(tf
như định nghĩa ở
phương trình (6.8a). Khi tìm biến đổi nghịch, cần tính tích phân trong mặt phẳng phức,
nên cần thêm một số định nghĩa. Đường lấy tích phân dọc theo
w
j
c
+
với w thay đổi từ
– ¥ đến ¥. Hơn nữa. đường lấy tích phân phải nằm trong vùng hội tụ (hay tồn tại) của
F(s). Điều này không thực hiện được với tín hiệu )(tue
at-
nếu
a
c
-
>
. Còn một đường
lấy tích phân khác (đường chấm) trong hình 6.2a. Như thế, để có được
)(tf
từ
)(sF
là
phải lấy tích phân theo đường này. Khi lấy tích phân
[
]
st
eas )/(1 +
dọc theo đường này,
cho kết quả

= dtetuesF
stat
)()(

Do
1)(
=
-
tu
khi 0
<
t và
0)(
=
-
tu
khi 0
>
t 0
0
)()(
0
1
)(
¥-
¥-
+-+-

at

-
và vùng hội tụ (
as
-
<
Re
) được vẽ trong hỉnh 6.2b. Chú ý là biến
đổi Laplace của hai tín hiệu
)(tue
at-
và
)( tue
at

-
giống nhau trừ với các vùng hội tụ
khác nhau. Như thế, với một
)(sF
, có thể có nhiều biến đổi nghịch, tùy theo vùng hội tụ.
Nói cách khác không có ánh xạ một – một giữa
)(sF
và
)(tf
, trừ khi biết được vùng hội
tụ. Điều này càng làm phức tạp ứng dụng của biến đổi Laplace. Yếu tố phức tạp này là do
mong muốn xử lý tốt được các tín hiệu nhân quả và không nhân quả. Điều này không thể
xảy ra khi ta giới hạn tín hiệu là tín hiệu nhân quả. Như thế, chỉ có một biến đổi nghịch
của

(thay vì 0
+
như theo một số tài liệu) làm cận dưới tích phân. Qui ước này
không chỉ bảo đảm chèn được xung tại
0
=
t
, mà còn cho phép ta dùng được điều kiện
đầu tại 0
–
(thay vì tại 0
+
) vào nghiệm của phương trình vi phân qua biến đổi Laplace.
Thực tế, ta thường biết được điều kiện đầu trước khi có tín hiệu vào (tại 0
-
), không phải
sau khi tín hiệu vào (tại 0
+
).
Biến đổi Laplace một bên đơn giản hóa đáng kể việc phân tích hệ thống, nhưng
điều phải trả giá là phân tích không được hệ thống không nhân quả hay dùng với các ngõ
vào không nhân quả. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thực tế, thì hậu quả này là rất
ít. Hảy xét biến đổi Laplace một bên và ứng dụng trong phân tích hệ thống (biến đổi
Laplace hai bên sẽ được bàn ở phần 6.8)
Ta thấy là về cơ bản thì không có khác biệt giữa biến đổi Laplace hai bên và một
bên. Biến đổi Laplace là biến đổi hai bên dùng cho lớp con tín hiệu bắt đầu tại
0
=
t
(tín

1=
tj
e
w
, tích phân vế phải hội tụ nếu

ò
¥
-
-
¥<
0
)( dtetf
t
s
(6.19)
Như thế biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (6.19) là hữu hạn với một số giá trị của s.
Tín hiệu nào tăng chậm hơn tín hiệu mủ
t
Me
0
s
với một số giá trị của M và
0
s
, thì

t
Metf
0

là
0
Re
s
>s . Hoành độ hội tụ của
)(tue
at-
là –a (vùng hội tụ là
as
-
>
Re
).

■ Thí dụ 6.2:
Tìm biến đổi Laplace của (a)
)(t
d
(b)
)(tu
(c) )(cos
0
ttu
w
.
(a) L
ò
¥
-
-

, nên
L 0Re
11
)()]([
0
00
>=-===
¥
-
¥
-
¥
-
-

òò
s
s
e
s
dtedtetutu
ststst
(6.22)
Ngoài ra, còn có thể tìm kết quả từ phương trình (6.16b) khi cho a = 0.
(c) Do
)(][
2
1
)(cos
00

ê
ë
é
+
+
-
=
00
0
11
2
1
)]([cos
ww
w
jsjs
ttu 0ReRe(
0
>=± sjs
w0Re
1
2
0
2
>
+
= s

e
s
-
-
với mọi s (b)
ss
ee
s
22
)1(
1

-
với mọi s
ÑQuan hệ với biến đổi Fourier
Định nghĩa biến đổi Laplace giống với biến đổi Fourier khi thay
w
j
bằng s. Ta
thấy biến đổi Laplace
)(sF
của tín hiệu
)(tf
, giống như biến đổi
)(
w
F

Fourier của hàm bước đơn vị là
)/1()(
w
w
pd
j
+
. Biến đổi Laplace tương ứng là
s/1
, và
vùng hội tụ là
0Re
>
s
, không bao gồm trục ảo. Trong trường hợp này thì quan hệ giữa
biến đổi Fourier và biến đổi Laplace không đơn giản. Lý do của khó khăn này có liên
quan đến tính hội tụ của tích phân Fourier, theo đó đường lấy tích phân là trục ảo. Do hạn
chế này, tích phân Fourier của hàm bước không hội tụ theo nghĩa thông thường như đã
minh họa trong thí dụ 4.7. Phải dùng hàm tổng quát (xung) cho ý niệm hội tụ. Ngược lại,
tích phân Laplace cho
)(tu
lại hội tụ theo nghĩa thông thường, nhưng chỉ với
0Re
>
s
,
lại là vùng cấm trong biến đổi Fourier. Điều thú vị nữa là dù biến đổi Laplace là tổng
quát hóa của biến đổi Fourier, vẫn còn có tín hiệu (thí dụ tín hiệu điều hòa) không có biến
đổi Laplace, nhưng tồn tại biến đổi Fourier (nhưng không theo nghĩa thông thường).


.

■ Thí dụ 6.3:
Tìm biến đổi Laplace nghịch của:
(a)
6
67
2

-
s
s
s
(b)
2
3
52
2
2
++
+
s
s
s
(c)
)3410(
)34(6
2
++
+

ss
s
sF

Theo phần B.5-2, tính k
1
theo
4
32
614
)3( )(
67
2
1
==
-
-
=
-=s
s
s
k
Tương tự
3
23
621
)( )2(

s
sF
(6.25a)

Kiểm tra kết quả
Khi khai triển đa thức, ta có thể bị lỗi, nên có thể kiểm tra bằng cách kiểm lại là
)(sF
và các đa thức phải bằng nhau với từng giá trị của s nếu ta khai triển đúng. Thí dụ,
kiểm tra lại (6.25a) với giá trị, s = 1. Thay s = 1 vào phương trình (6.25a)

6
1
2
3
3
4
6
1
-=-=-

Ta có thể tạm tin được về đáp số của mình. Dùng cặp thứ 5 (bảng 6.1) cho phương trình
(6.25a), ta có:

=
)(tf
L
-1
)()34(
3
3

++
+
=
ss
s
ss
s
sF
Ta thấy
)(sF
có
n
m
=
. Trường hợp này, ta có thể biểu diễn
)(sF
là tổng của hệ số
n
b
(hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của tử số) với các khai triển đa thức tương ứng với
các cực của
)(sF
. Trường hợp này,
2=
n
b
, nên

2
1

k
13
12
58
)( )1(
52
1
2
1
-=
+-
+
=
+
+
=
=s
s
s
k
Và
2
13
1
7
2)(
+
-
+
+=

sss
s
s
++
+
-+
+=
++-+
+
=
++
+
=

Chú ý là các hệ số (
2
k và
*
2
k ) của thừa số liên hợp cũng liên hợp
6
34
346
)3410( )(
)34(6
0
2
1
==
++

+
=
+-=
, do đó

43
*
2
jk =

Dùng cặp 10b (bảng 6.1), với
2
k
và
*
2
k
viết theo dạng cực
(
)
)3/4(tan)3/4(tan22
11
54343=+=+-
jj
eej

Nhận xét

ejk =+-=
, nên

0
9.126*
2
5
j
ek
-
=
, vậy
35
5
35
56
)(
00
9,1269,126
js
e
js
e
s
sF
jj
++
+
-+
+=

1
2
)(tu

s
1

3
)(ttu

2
1
s

4
)(tut
n

1
!
+n
s
n

5
)(tue
t
l

l

8a
)(cos tbtu

22
b
s
s
+

8b
)(sin tbtu

22
b
s
b
+

9a
)(cos tbtue
at-

22
)( bas
as
++
+

9b
)(sin tbtue

+
-

jbas
re
jbas
re
jj
++
+
-+
-
qq
5,05,0

10c
)()cos( tubtre
at
q
+
-

c
as
s
BAs
++
+
2
2

1
2
22
tan
2
acb
acA
BAa
ac
ABaBcA
r -=
-
-
=
-
-+
=
-
q
Một phương pháp tính thừa số bậc hai
Phương pháp vừa nêu đòi hỏi tính số phức quá nhiều. Theo cặp 10c (bảng 6.1), biến
đổi nghịch thừa số bậc hai (có cực liên hợp) được tìm trực tiếp, không dùng các đa thức
bậc một. biểu diễn
)(sF

22
++
+
+=
++
+
ss
BAs
ssss
s

Nhân hai vế của phương trình với
)3410(
2
++ sss)()3410(6)34(6
2
BAsssss ++++=+204)60()6(
2
++++= sBssA

Cân bằng hệ số của s
2
và s, ta có


s
sF

Dùng cặp 2 và 10c để tìm biến đổi Laplace nghịch. Tham số dùng cho cặp 10c là
6
-
=
A
,
54
-
=
B
,
,5
=
a

,34
=
c
và
3
2
=-= acb
,
0
2
1
2

6
)3410(
)34(6
)(
22
++
+
+=
++
+
=
ss
BAs
ssss
s
sF

Ta xác định A bằng cách loại B bên vế phải. Bước này được thực hiện bằng cách nhân
hai vế phương trình với s rồi cho
¥
®
s
, ta có

660
-
=
Þ
+
=


546270210
-
=
ị
-
+
=
BB
, phự hp vi kt qu ó tớnh
(d)
2)2()2(1)2)(1(
108
)(
2
2
1
3
0
1
3
+
+
+
+
+
+
+
=
++

)( )1(
108
2
0
-=
+
+
=
-=s
s
s
a2
)( )1(
108
2
1
-=
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+
+
=
-=s

ở
ộ
+
+
=
-=s
s
s
ds
d
a
, do ú

2
2
)2(
2
)2(
6
1
2
)(
23
+
-
+
-
+
+
+

2
1
33
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
a
s
a
ssss
s

Nhõn hai v ca phng trỡnh vi
3
)2)(1( ++ ss
, ta cú

2
21
3
)2)(1()2)(1()1(6)2(2108 +++++++++=+ ssassasss



21
422210 aa ++=

Tỡm li, cú
2
21
-== aaPhương pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và short-cut
Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như
1
k
và
0
a được xác định từ
phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp short-cut.
Dùng các giá trị
2
1
=k
và 6
0
=a , ta có

2)2()2(
6
1
2

s
, ta loại a
1
.
220
22
-=Þ+= aa , do đó:

2
2
)2()2(
6
1
2
)2)(1(
108
2
1
33
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
ss

3
52
2
2
++
+
s
s
s
(b)
2
2
)2)(1(
472
++
++
ss
ss
(c)
)7)(2(
19218
2
2
+++
++
sss
ss

(a)
num=[2 0 5]; den=[1 3 2];

p = -2, -2, -1
k= [ ]
Do đó

1
1
)2(
2
2
3
)(
2
+
-
+
+
+
=
sss
sF
và
)()23()(
22
tueteetf
ttt
-+=

(c)
num=[8 21 19]; den=[con([0 1 2],[1 1 7])];
[r, p, k]=residue(num, den)

+
=
-
và
)()]1366/05981.2cos(766.1[)(
5.02
tuteetf
tt
-+=

¤ ¤ Bài tập dùng máy tính C6.2
Tìm (a) biến đổi Laplace trực tiếp của
btat cossin
+
(b) biến đổi Laplace nghịch
của
)/()(
222
bsas +

Ta dùng Symbolic Math Toolbox, là tập các hàm Matlab dùng để xử lý và giải các
biểu thức symbolic.
(a) f=sym(‘sin(a*t)+cos(b*t)’);
F=laplace(f)
F=(a*s^2+b^2*a+s^3+s*a^2)/(s^2+a^2)/(s^2+b^2)

Vậy:

t
là
25
6
146
2
++
-
s
s
s
dùng cặp
10a trong bảng 6.1. (ii) Tìm biến đổi Laplace nghịch của (a)
5
4
17
2
-+
+
s
s
s

(b)
)52)(1(
53
2
+++
-
sss6.2 Một số đặc tính của biến đổi Laplace
Khi xem biến đổi Laplace là dạng tổng quát của biến đổi Fourier, ta hy vọng biến đổi
Laplace có các đặc tính tương tự như biến đổi Fourier. Tuy nhiên, phần này chỉ bàn chủ
yếu một số đặc tính của biến đổi Laplace một bên, có khác so với biến đổi Fourier (là
dạng biến đổi hai bên).
Đặc tính của biến đổi Laplace không chỉ quan trọng để tìm biến đổi Laplace của các
hàm mà còn giúp tìm nghiệm của phương trình vi tích phân. Các phương trình (6.8a) và
(6.8b) cho thấy là giống trường hợp biến Fourier, có một số đặc tính đối xứng khi chuyển
từ
)(tf
sang
)(sF
và ngược lại. Tính đối xứng hay đối ngẫu còn tồn tại trong nhiều đặc
tính của biến đổi.
1. Tính dời theo thời gian
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì với
0
³
t

0
)()(

0
³
t
(6.29b)

Chứng minh:
L
ò
¥
-
=
0
)(()(])(()([
0000
dtettuttfttuttf
st

Cho xtt ==
0
, ta có:
L
ò
¥
+-
=
0
)(
0
00
)(()(])(()([ dxexuxfttuttf

¥
-
-
¥
+-
===
òò

Chú ý là )()(
00
ttuttf là tín hiệu
)(tf
được dời đi
0
t giây. Theo đặc tính dời theo
thời gian cho rằng khi dời tín hiệu một lượng
0
t tương đượng với việc nhân biến đổi với
0
st
e
-
.
Đặc tính này của biến đổi Laplace một bên chỉ đúng khi
0
t
dương, do khi
0
t
âm,

.
Đặc tính dời theo thời gian rất thích hợp để tìm biến đổi Laplace của hàm với
nhiều mô tả trong các khoản thời gian khác nhau, như được xét trong thí dụ sau.
■ Thí dụ 6.4:
Tìm biến đổi Laplace của hàm
)(tf
vẽ ở hình 6.5a
Phần 1.4 đã cho mô tả toán học của
)(tf
, và được viết thành tổng hai thành
phần, vẽ ở hình 6.5b. Phương trình của thành phần thứ nhất là
1
-
t
trong khoảng
21
£
£
t
, nên có dạng
)]2()1()[1(
-
-
-
-
tutut
. Thành phần thứ hai là

=
tutututtut
(6.30a)
Thừa số thứ nhất bên vế phải là tín hiệu
)(tu
làm trễ 1 giây. Các thừa số thứ ba và thứ tư,
không thể biểu diễn thành các thành phần dời theo thời gian của các tín hiệu trong bảng
6.1, viết lại:

)2()2()2()2()12()2()1(
-
+
-
-
=
-
+
-
=
-
-
tututtuttut

Viết thừa số thứ hai theo dạng
)(ttu
làm trễ 2 giây và tín hiệu
)(tu
được làm trễ 2 giây.
Phương trình (6.30a) viết lại thành


2
1
)2()2(
-
Û

Đồng thời
s
tu
1
)( Û và
s
e
s
tu
4
1
)4(
-
Û- (6.31)
Do đó:

sss
e
s
e
s
e
s
sF

cho thấy có yếu tố dời theo thời gian.
Trường hợp này ta nên chia
)(sF
thành các thừa số có và không có thừa số trễ, tức là

)2)(1(
5
)2)(1(
3
)(
2
++
+
++
+
=
-
ss
e
ss
s
sF
s
=
s
esFsF
2
21
)()(
-

=
++
=
ssss
sF

Nên
)()2()(
2
1
tueetf
tt
-=)()(5)(
2
2
tueetf
tt
-=
, và do

s
esFsFsF
2
21
)()()(
-
+=

Tìm biến đổi Laplace nghịch của

)2)(1(
3
)(
2
+-
=
-
ss
e
sF
s
.
Đáp số:
)(][
)2(22
tuee
tt
-
.
Ñ2. Đặc tính dời theo tần số.
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì


■ Thí dụ 6.6:
Dùng cặp 8a và đặc tính dời theo tần số để tìm cặp 9a trong bảng 6.1
Cặp 8a là

22
)(cos
b
s
s
tbtu
+
Û
Dùng đặc tính dời theo tần số [phương trình (6.33)], thay
as -=
022
)(
)(cos
bas
as
tbtue
at
++
+
Û
-
■

fd
&
(6.34b) )0()0()0()(
)1(21
Û
nnnn
n
n
ffsfssFs
dt
fd
L
&
(6.34c)
Trong đó
)0(
)( -r
f
là
rr
dtfd /
tại
-
= 0t
.
Chứng minh:
L

ë
é
-
0
0
)()( dtetfsetf
dt
df
stst

Để tích phân Laplace hội tụ (tức là để
)(sF
tồn tại), cần có 0)( ®
-st
etf khi
¥
®
t
với
giá trị của s trong vùng hội tụ của
)(sF
. Tức là
L
)()0( ssFf
dt
df
+-=
ú
û
ù

L =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
2
dt
fd
L
)]3(2)2(3)([
-
+
-
-
-
ttt
d
d
d

Dùng đặc tính vi phân theo thời gian (6.34b), đặc tính dời theo thời gian (6.29a) và điều
kiện
0)0()0( ==

ff

Nếu
)()( sFtf
Û

Thì
s
sF
df
t
)(
)(
0
Û
ò
-
tt
(6.35)
Và

s
df
s
sF
df
t
tt
tt
ò
ò
-

Û
thì
s
sF
sG
)(
)( =
hay
s
sF
df
t
)(
)(
0
Û
ò
-
tt

Để chứng minh (6.36), nhận thấy

òòò
-
-
+=
¥-¥-
tt
dfdfdf
0


Thì
)(
1
)(
a
s
F
a
atf Û
(6.37)
Chứng minh tương tự như trường hợp đặc tính tỉ lệ của biến đổi Fourier trong chương 4
[phương trình (4.34)]. Chú ý là a bị giới hạn là một giá trị dương nếu không, khi
)(tf
là
nhân quả, thì
)(atf
là phản nhân quả (chỉ tồn tại với t < 0) khi a có giá trị âm, và tín
hiệu phản nhân quả không dùng được trong biến đổi Laplace (một bên).

Nhắc lại nếu
)(atf
là tín hiệu
)(tf
được nén theo thời gian với thừa số a và
)(
s
a
F
là

sFsF
j
tftf *Û
p
(6.39) Bảng 6.2
Các đặc tính của biến đổi Laplace
Phép tính f(t) F(s)
Phép cộng
)()(
21
tftf + )()(
21
sFsF +
Nhân vô hướng
)(tkf

)(skF

Vi phân theo thời gian
dt
df

)0()(
-

0
)(
tt

)(
1
sF
sò
¥
t
df
tt
)(

ò
-
¥-
+
0
)(
1
)(
1
dttf
s
sF
s

tf )(

ò
¥
s
dzzF )(

Tỉ lệ
0)( ³aatf

)(
1
a
s
F
a

Tích chập theo thời gian
)()(
21
tftf
*

)()(
21
sFsF

Tích chập theo tần số
)()(
21

)(lim
0
Quan sát tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa hai đặc tính. Chứng minh tương tự
như trong chương 4 của biến đổi Fourier.
Phương trình (2.48) cho thấy H(s) là hàm truyền của hệ LT – TT – BB, và là biến
đổi Laplace của đáp ứng xung
)(th
, tức là

)()( sHth
Û
(6.40)
Ta có thể dùng đặc tính về tích chập theo thời gian chp quan hệ vào ra
)()()( thtfty
*
=
của hệ LT – TT – BB để có:

)()()( sHsFsY
=
(6.41)
Kết quả này giống với trường hợp phương trình (6.11)

■ Thí dụ 6.8:
Dùng tích chập theo thời gian của biến đổi Laplace, tìm )()()( tuetuetc
btat
*= .

tc
btat
-
-
=
■
6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi tích phân.
Đặc tính vi phân theo thời gian của biến đổi Laplace cho phép giải các phương
trình vi phân (hay vi – tích phân) tuyến tính có hệ số hằng. Do
)(/ sYsdtyd
kkk
Û
, nên
có thể chuyển phương trình vi phân sang dạng đại số để có
)(sY
. Tiếp đến dùng phép
biến đổi nghịch để tìm
)(ty
. Xem thì dụ sau

■ Thí dụ 6.9:
Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc hai
)()1()()65(
2
tfDtyDD +=++ (6.42a)
Nếu điều kiện đầu 1)0(2)0( ==

yy
&
và ngõ vào )()(

12)()0()0()(
22
2
2
= Û

ssYsysysYs
dt
yd
&

Do )()(
4
tuetf
t-
=
4
1
)(
+
=
s
sF
, và
4
0
4
)0()(
+
=-

4
1
)112()(65
2
+
+
=+-++
s
s
ssYss (6.43b)

)4)(3)(2(
45202
)4)(65(
45202
)(
2
2
2
+++
++
=
+++
++
=
sss
ss
sss
ss
sY

hằng dùng phương pháp biến đổi Laplace. Phương pháp này còn có thể dùng giải các
phương trình vi phân hệ số hằng có bậc cao hơn.

Đáp ứng ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêro.
Phương pháp dùng biến đổi Laplace cho đáp ứng chung, bao gồm đáp ứng ngõ
vào – zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Nếu muốn, ta có thể tách ra hai thành phần. Thừa
số điều kiện đầu trong đáp ứng cho thấy đáp ứng ngõ vào – zêrô. Thí dụ, trong thí dụ 6.9,
thừa số do điều kiện đầu 2)0( =
-
y và 1)0( =
-
y
&
trong phương trình (6.43a) tạo đáp ứng
ngõ vào –zêrô. Các điều kiện đầu này là thừa số
)112(
+
-
s
trong phương trình (6.43b).
Thừa số bên phải hoàn toàn do ngõ vào tạo ra. Phương trình (6.43b) được viết lại thành: )65)(4(
1
65
112
)(
22
+++

ê
ë
é
+
-
+
=
4
)2/3(
3
2
2
)2/1(
3
5
2
7
sssssLấy biến đổi Laplace nghịch

)()
2
3
2
2
1
()()57()(
43232

&
, là kỳ lạ với
điều kiện đầu. Tại sao? Lý do là điều kiện đầu cho tại
-
= 0t
(trước khi có ngõ vào). Đáp
ứng trạng thái –zêrô là kết quả của ngõ vào
)(tf
tại
0
=
t
. Như thế, thành phần này chưa
tồn tại ở
-
= 0t
. Vậy, điều kiện đầu tại
-
= 0t
chỉ dùng cho đáp ứng ngõ vào –zêrô , chứ
không dùng cho đáp ứng chung. Thông thường thì đáp ứng chung có điều kiện đầu tại
+
= 0t
, khác với điều kiện đầu tại
-
= 0t
.

Ngoài ra còm có phiên bản L
+

d
tại
0
³
t
. Hơn nữa, xu hướng này cũng
không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về hệ thống tuyến tính do phương pháp không
cho phép chia đáp ứng chung thành hai thành phần đáp ứng ngõ vào – zêro và đáp ứng
trạng thái – zêrô. Như đã biết, thì thành phần đáp ứng trạng thái – zêrô biểu diễn đáp ứng
của hệ thống theo ngõ vào, tuy chưa biết dạng của ngõ vào, nhưng có thể biết về ảnh