Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
69
Quan hệ trên được sử dụng để xác đònh H(z) khi hệ thống được mô tả bởi phương
trình sai phân với hệ số hằng dưới dạng :
y(n) = -
∑
=
−
N
1k
k
)kn(ya +
∑
=
−
M
0k
k
)kn(xb
Lấy biến đổi Z cả hai vế :
Y(z) = -
∑
=
N
1k
k
)z(Ya z
-k
+
∑

−
M
0k
k
k
zb
H(z) =
)z(X
)z(Y
=
∑
∑
=
−
=
−
+
N
1k
k
k
M
0k
k
k
za1
zb
(2.26)
→ Nhận xét khi biết tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung h(n), để tìm đáp ứng ngõ ra
y(n) ta thực hiện các bước sau :

1
z
2
1
1
2
−
−
⇒ h(n) = 2
n
2
1






u(n)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
70
b. Hàm truyền đạt của các hệ thống kết nối :
Trong nhiều trường hợp, ta gặp hai hay nhiều lọc mắc nối tiếp (còn gọi là mắc chồng)
hoặc song song. Lúc đó tính toán đáp ứng tần số toàn thể thuận lợi hơn là tính toán đáp
ứng xung cho toàn thể.
• Hàm truyền đạt ghép nối tiếp : Hình 2.6
H(z) = H
1
(z) . H

∑
∞
=
−
0n
)mn(x z
-n
Đặt k = n– m
=
∑
∞
−=
mk
)k(x z
-k-m
= z
-m
∑
∞
−=
mk
)k(x z
-k
= z
-m






2
(z)
X(z) Y(z) = [H
1
(z) + H
2
(z)]X(z)
Hình 2.7
H
1
(z)X(z)
H
2
(z)X(z)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
71
= z
-m






−+
∑
=
m
1k

-2

3z
z
−
Thay : x(-2) = -
9
4
, x(-1) = -
3
1
Ta được : X(z) =
)3z)(1z(
z
−−
Để tìm biến đổi ngược Z, ta sẽ phân chia X(z) thành tổng hai phân thức:
X(z) = -
2
1
1z
z
−
+
2
1
3z
z
−
= -
2

hệ thống, nhưng cũng có thể ở đầu ra của hệ thống xuất hiện tín hiệu, đó chính là
trường hợp hệ thống không ổn đònh.
Tính ổn đònh của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian cũng có thể được
biểu diển thông qua các đặc tính của hàm truyền đạt.
Trong phần trước của bài học ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để bảo đảm tính
ổn đònh của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là :
∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞ (2.31)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
72
ROC
Mặt phẳng Z
1
Hình 2.8
0
r
ROC
1
Hình 2.9
Trong miền Z, điều kiện này sẽ tương đương với việc ROC của hàm truyền đạt H(z)
phải chứa vòng tròn đơn vò.
Thật vậy vì : H(z) =
n
n
z)n(h
−
∞

(tức là
∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞) được bảo đảm thì rõ ràng hàm
truyền đạt H(z) cũng phải hội tụ với
z = 1
(điểm hội tụ nằm trên vòng tròn dơn vò trong mặt
phẳng Z).
Như vậy ta có thể đưa ra kết luận, để hệ
thống ổn đònh thì vòng tròn đơn vò phải thuộc ROC của hàm truyền đạt H(z).
→ Kết luận :
Hệ thống tuyến tính bất biết theo thời gian là ổn đònh nếu và chỉ nếu ROC của
hàm hệ thống có chứa vòng tròn đơn vò. Hình vẽ bên minh hoạ điều này.
Đối với một hệ nhân quả, điều kiện ổn
đònh có thể được thu hẹp lại trong một chừng
mực nào đó. Thật vậy, ta đã biết rằng hệ thống
nhân quả có đáp ứng xung thoả điều kiện: h(n)
= 0, n< 0, hay nói cách khác h(n) phải là dãy
nhân quả. Nếu hệ thống được biểu diễn trong
miền Z thì ROC của H(z) phải là miền nằm
ngoài vòng tròn với bán kính nào đó và để hệ
thống ổn đònh thì ROC của H(z) lại phải chứa
vòng tròn đơn vò.
Vậy để hệ thống là nhân quả và ổn đònh thì
ROC của H(z) là
z > r, với r < 1
Ta cũng nhận xét là ROC không thể chứa bất cứ một cực nào của H(z). Do vậy, suy ra
rằng một hệ thống LTI nhân quả và ổn đònh khi và chỉ khi tất cả các cực của H(z) nằm
bên trong vòng tròn đơn vò.

h(0) = 0; h(1) = 1; h(2) = α; h(3) = α
2
Trường hợp α < 1 Trường hợp α > 1
Ví dụ2.22 :
Xét hệ thống LTI được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z)
H(z) =
21
1
z5,1z5,31
z43
−−
−
+−
−
=
1
z
2
1
1
1
−
−
+
1
z31
2
−
−
Hãy chỉ ra ROC của H(z) và xác đònh h(n) trong những điều kiện sau :

2
1
< z < 3
Vậy h(n)=
n
2
1






u(n) – 2 3
n
u( -n–1 )
Hệ thống không nhân quả
b) Hệ thống là nhân quả :
ROC của H(z) phải là
z > 3
Vậy h(n)=
n
2
1







ROC không chứa vòng tròn đơn vò nên trong trường hợp này hệ thống không ổn
đònh.
→ Vì độ ổn đònh tùy thuộc vào khoảng cách từ tâm 0 đến cực, nghóa là bán kính của
cực nên ta cũng có thể diễn tả cực trong hệ tọa độ cực. Ví dụ ta có hệ thống với đôi cực
như hình vẽ sau đây :
Vò trí của các cực lần lượt là :
p
1
=
θ
j
re
p
2
=
θ−
j
re
Vậy H(z) =
)rez)(rez(
1
jj
θθ
−
−−
H(z) =
22
rz)cosr2(z
1
+−

+ a
2
z
-2
+ . . . + a
N
z
-N
(2.33)
Trước khi đi vào trình bày chi tiết phương pháp, ta hãy thiết lập một số công thức
liên quan. Ta ký hiệu đa thức bậc m cho bởi :
A
m
(z)=
∑
=
−
m
0k
k
m
z)k(a (2.34)
a
m
(0)= 1
→ Hãy xét đa thức ngược B
m
(z) của A
m
(z), đa thức này có các hệ số giống như các

= a
N
(N) . Sau đó ta sẽ tính các đa thức A
m
(z) với
m=N, N-1, N-2, . . .1 theo công thức đệ quy
A
m-1
(z)=
2
m
mmm
k1
)z(Bk)z(A
−
−
(2.36)
Trong đó các hệ số k
m
được đònh nghóa bởi k
m
= a
m
(m). Tiêu chuẩn Schür-Cohn
phát biểu rằng: Đa thức A(z)= 1+ a
1
z
-1
+ a
2

(z). Theo đònh nghóa
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
76
A
2
(z) = 1 -
4
7
z
-1
-
2
1
z
-2
=
∑
=
2
0k
2
)k(a z
-k
Xét đa thức ngược
B
2
(z) =
∑
=

2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
2121
2
1
1
zz
4
7
2
1
2
1
z
2
1
z
4
7
1





2
1
z
4
7
1
2121 −−−−
+−−−−
=
4
3
z
8
21
4
3
1−
−
= 1 -
2
7
z
-1

với k
1
= a
1
(1) = -
2

z
2
1
z
4
3
1
4
1
−−−−
++++
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
77
→ A
4
(z) = 1 +
4
3
z
-1
+
2
1
z
-2
+
4
1
z

4
1
z
-1
+
2
1
z
-2
+
4
3
z
-3
+ z
-4
→ k
4
= a
4
(4) =
4
1
→ A
3
(z) =
2
4
444
k1

z
4
3
1
43214321
−






++++−++++
−−−−−−−−
=
16
15
z
16
1
z
8
3
z
16
11
16
15
321 −−−
+++

+ z
-3
→ k
3
= a
3
(3) =
15
1
→ A
2
(z) =
2
3
333
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
321321
15
1
1
zz
15
11
z
5

z
75
53
225
224
21 −−
++
= 1 +
224
159
z
-1
+
224
79
z
-2
→ B
2
(z) =
224
79
+
224
159
z
-1
+ z
-2
→ k

z
224
79
z
224
159
1






−






++−++
−−−−
= 1 +
1
2
2
z
299145
224
224

1
=
299
159
< 1
k2 =
224
79
< 1
k
3
=
15
1
< 1
k
4
=
4
1
< 1
Ví dụ2.25:
Giả sử ta có1 hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân sau :
y(n) + a
1
y(n -1) + a
2
y(n - 2) = x(n)
Hãy xét sự ổn đònh của hệ thống theo hai tham số a
1

-1
+ a
2
z
-2
° B
2
(z) = a
2
+ a
1
z
-1
+ z
-2
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
79
°k
2
= a
2
A
1
(z) =
2
2
222
k1
)z(Bk)z(A

= 1 +
2
1
a1
a
+
.z
-1
→ k
1
=
2
1
a1
a
+
Điều kiện ổn đònh
2
k < 1
1
k < 1
⇒
2
a < 1 và
2
1
a1
a
+
< 1

Xử Lý Tín Hiệu Số
80
BÀI TẬP CHƯƠNG II
Bài tập 2.1
Xác đònh biến đổi Z của các tín hiệu sau :
1) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4}
2) x(n) =














≤
≥






4nkhi0



−
0nkhi
2
1
0nkhi
3
1
n
n2) x
2
(n) =







<
≥−






u(n)
4) x(n) = n.a
n
sinω
o
n.u(n)
5) x(n) = n.a
n
cosω
o
n.u(n)
6) x(n) = A.r
n
cosω
o
n.u(n) (0< r <1)
7) x(n) =






2
1
(n
2
+ n)
1n
3

u(n)
3) x(n) = (-1)
n







n
3
cos
π
u(n)
4) x(n) = (-1)
n
u(n)
5) x(n) = -n.a
n
u(-n – 1)
6) x(n) = {1, 0, -1, 0, 1, -1,. . .}
Bài tập 2.5
Biểu diễn biến đổi Z của tín hiệu :
y(n) =
∑
−∞=
n
k
)k(x qua X(z)

0nkhi
3
1
n
n
x
2
(n) =
n
2
1






u(n)
Bài tập 2.7
Xác đònh tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z ngược của nó
X(z) =
()()
2
11
z1z21
1
−−
−−
Bài tập 2.8
Dùng phép chia, xác đònh biến đổi Z ngược của tín hiệu x(n) :

−−
+−
3) X(z) =
1
76
z1
zz
−
−−
−
+
4) X(z) =
2
2
z1
z21
−
−
−
+
5) X(z) =
4
1






−+−

1
9) X(z) =
1
1
z
2
1
1
z
4
1
1
−
−
+
−
Bài tập 2.10
Xác đònh mọi tín hiệu x(n) có thể thu được từ biến đổi Z
X(z) =
()
11
1
z3)z21(
z5
−−
−
−−
I
mz
Rezr

2
(n) =














+
n
2
1
1
u(n)
2) x
1
(n) = u(n) ; x
2
(n) = δ(n) +
n
2
1

Xác đònh tổng chập của các cặp biến đổi Z sau bằng cách dùng biến đổi Z một
phía.
1) x
1
(n) = {1, 1, 1, 1, 1} ; x
2
(n) = {1, 1, 1}
2) x
1
(n) =
n
2
1






u(n) ; x
2
(n) =
n
3
1






u(n), y(-1) =1
4) y(n) =
4
1
y(n – 2) + x(n) ; x(n) = u(n), y(-1) = 0, y(-2) = 1
Bài tập 2.14
Chứng minh rằng hai hệ thống sau là tương đương :
1) y(n) = 0,2y(n-1) + x(n) – 0,3x(n-1) + 0,02x(n-2)
2) y(n) = x(n) – 0,1x(n-1)
Bài tập 2.15
Xét hệ thống
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
84
H(z) =
)z2,01)(z5,01)(z1(
zz2z21
111
321
−−−
−−−
−−−
−+−
; ROC : 0,5 < z <1
1) Vẽ sơ đồ không – cực của hệ thống. Hệ thống này có ổn đònh không ?
2) Xác đònh đáp ứng xung của hệ thống.
Bài tập 2.16
Tính đáp ứng của hệ thống:
y(n) = 0,7y(n-1) + 0,12y(n-2) + x(n-1) + x(n-2)
khi ngõ vào là x(n) = nu(n). Hệ thống này có ổn đònh không ?

5
1






u(n)
Bài tập 2.18
Xác đònh đáp ứng xung và đáp ứng bậc của các hệ thống nhân quả sau đây. Vẽ sơ
đồ không-cực và xác đònh tính ổn đònh của hệ thống.
1) y(n) =
4
3
y(n-1)
8
1
− y(n-2) + x(n)
2) y(n) = y(n-1) + 0,5y(n-2) + x(n) + x(n-1)
3) H(z) =
31
11
)z1(
)z1(z
−−
−−
−
+
4) y(n) = 0,6y(n-1) + 0,8y(n-2) + x(n)

1n
2
1
−






u(n – 1)
thì ngõ ra là :
y(n) =
n
3
1






u(n)
1) Hãy xác đònh đáp ứng xung h(n) và hàm truyền đạt H(z) của hệ thống thoả mãn
đề bài.
2) Tìm phương trình sai phân đặc trưng cho hệ thống này
3) Xác đònh sơ đồ thực hiện hệ thống và sơ đồ này dùng ít bộ nhớ nhất
4) Xác đònh tính ổn đònh của hệ thống.
Bài tập 2.20
Hãy tìm miền ổn đònh của hệ thống nhân quả :

-0,8
θ =
6
π
r = 1,5
Hình BT.2.23
Hình BT 2.21
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
86
H(z) =
21
21
z
25
2
z
5
3
1
z
2
1
z
−−
−−
+−
+
1) Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống.
2) Tìm đáp ứng bậc nếu y(-1) = 1 và y(-2) = 2.

z
234
4
++++
Tìm khoảng giá trò của m để mạch lọc ổn đònh.
Bài tập 2.26
Tìm biến đổi Z ngược :
X(z) =










−
−
−
−
1
10
z
2
1
1
z1024
1024

-
9
1
−
+
Hình BT.2.28