CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
Nội dung
1.1 Phân loại tín hiệu
1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu
1.3 Phân loại hệ thống
1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống
Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý
niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở
cho phần còn lại của tài liệu.
Tín hiệu
Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay truyền
hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ chỉ số
Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, tuy không
phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín hiệu là điện
tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài liệu này quan
tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương thức này còn áp
dụng được cho các dạng biến độc lập khác.

Hệ thống
Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu. Thí
dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar
của mình đang theo bám. Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể ước
lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) nhằm xử
lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có thể được
tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng),
hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào (phần mềm).
1.1 Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu)
Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực

+∞
∞−
=
dttfE
f
)(
2
(1.1)
Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

∫
+∞
∞−
=
dttfE
f
2
)(
(1.2)
Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích
của
)(tf
, nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý
nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau).

Công suất tín hiệu
Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện
cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu
0
→

T
T
f
dttf
T
P

(1.3) Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

∫
−
∞→
=
2/
2/
2
)(
1
lim
T
T
T
f
dttf
T
P


của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường hợp này, tỉ số giữa
công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) là chỉ thị tốt để
đánh giá chất lượng tín hiệu thu được.
Đơn vị đo năng lượng và công suất:
Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm
năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho
trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công
suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng
lượng E
f
có thứ nguyên là V
2
s (vôn bình phương-giây) và công suất P
f
có thứ nguyên là V
2
(vôn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng E
f
có thứ nguyên là A
2
s
(vôn bình phương-giây) và công suất P
f
có thứ nguyên là A
2
(ampe bình phương).
■ Thí dụ 1.1:
Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2
Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu
0

tuần hoàn nên tồn tại công suất. Dùng công thức (1.3) xác định công suất. Đơn giản hóa
phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp
này). Vậy:

3
1
)(
2
1
)(
2
1
1
1
2
1
1
2
∫∫
−−
===
dtttdttfP
f
Nhắc lại: công suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu là
3/1
.■
■ Thí dụ 1.2:
Xác định công suất và trị rms của:
(a)
)cos()(

. Đo lường thích hợp là công suất. Tín hiệu
tuần hoàn, nên công suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ
00
/2
ωπ
=
T
. Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong khoảng
thời gian vô hạn, phương trình (1.3).

∫ ∫
− −
∞→∞→
++=+=
2/
2/
2/
2/
0
2
0
22
)]22cos(1[
2
lim)(cos
1
lim
T
T
T

TT
dtt
T
C
dt
T
C
θω
Thừa số đầu tiên của vế phải là
2/
2
C
. Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân
trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khoãng thời gian rất lớn T và
∞→
T
. Phần diện tích này bằng với phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích
dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân với
TC 2/
2
với
∞→T
. Rõ ràng, thừa số này là zêrô, và:
2
2
C
P
f
=
(1.5a)


∫∫
−
∞→
−
∞→
++++=
2/
2/
22
22
2
2/
2/
11
22
1
)(cos[
1
lim)(cos[
1
lim
T
T
T
T
T
T
tC
T

2/
2
2
C
như tính toán ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ ba
triệt tiêu, sau cùng:

22
2
2
2
1
CC
P
f
+=
(1.5b)
Và giá trị rms là
2/)(
2
2
2
1
CC
+
.
Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau.
Như thế, nếu

∑

∞→
=
2/
2/
2
0
1
lim
T
T
tj
T
f
dtDe
T
P
ω

Do
1
0
=
tj
e
ω
nên
2
2
0
DDe

Bài tập E 1.1
Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 4/3,
và 4/3. Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu theo
thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là công suất của tín hiệu trong
hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e?
∇

∆
Bài tập E 1.2
Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin
)cos(
0
θω
+
tC
bằng cách lấy
trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ
00
/2
ωπ
=
T
(thay vì lấy trung bình trong
khoãng thời gian vô hạn). Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng
0
)( Ctf
=
là
2
0

2
1
CC
+
.
∇
1.2 Phân loại tín hiệu
Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau:
1. Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
2. Tín hiệu analog và tín hiệu số
3. Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn
4. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất
5. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên
1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục
theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín
hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục
theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị
bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc.
1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số
Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog. Hai
ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín hiệu có
biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín hiệu
analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị. Tín hiệu số, thì
biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín hiệu số
do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là tín hiệu
bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục theo thời
gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục
ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ (trục
dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể chuyển

+
sẽ bắt đầu từ
0
Tt
−=
và
)(
0
Ttf
+
sẽ không giống tín hiệu
)(tf
. Như thế một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại
−∞=
t
và liên tục không dừng, như vẽ ở hình 1.6
Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách
mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T
0
(chu
kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng
cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T
0
= 6.
Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại
1
−=
t
và
có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng, tạo

Nhận xét:
Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực. Như thế
tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao gồm
cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất hữu ích
khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống.
1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất.
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có công
suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất. Các tín hiệu trong hình
1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất. Nhận thấy công suất
chính là trung bình theo thời gian của năng lượng. Khi lấy trung bình trong khoảng thời
gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu có
công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn. Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa là tín
hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng. Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể là tín
hiệu năng lượng và ngược lại. Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ.
Nhận xét:
Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng. Một tín
hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là năng lượng
trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không). Rõ ràng
là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có độ rộng vô
hạn và năng lượng vô hạn.
Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích của
2
)(tf
trong một chu
kỳ là hữu hạn, nên là tín hiệu công suất; tuy nhiên, không phải mọi tín hiệu công suất đều
là tín hiệu tuần hoàn.

∆
Bài tập E 1.4
Chứng minh là hàm mủ không dừng

)(t
φ
tại thời
điểm t+T. Vậy:

)()( tfTt
=+
φ
(1.8)
Và
)()( Ttft
−=
φ
(1.9)
Do đó, khi dời tín hiệu một khoảng T, ta thay t bằng t – T. Vậy f(t – T) biểu diễn tín hiệu
f(t) được dời một khoảng T giây. Nếu T > 0, ta có phép dời phải (phép trễ: delay). Nếu T <
0, ta có phép dời trái (phép sớm: advanced). Do đó, f(t – 2) là phép làm trễ f(t) 2 giây (dời
phải 2 giây) và f(t + 2) là phép làm sớm f(t) 2 giây (dời trái 2 giây).
■ Thí dụ 1.3:
Hàm mủ
t
etf
2
)(
−
=
vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây. Vẽ tìm mô tả toán học
của hàm này. Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây.
Hàm f(t) có mô tả toán học như sau:


)1(2
thayt
thayte
tf
t
d
(1.11)
Gọi
)(tf
a
là hàm f(t) được làm sớm (dời trái) một giây như hình 1.9c. Hàm này là
f(t+1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t+1 vào (1.10). Vậy:




−<<+
−≥≥+
=
+−
1010
101
)(
)1(2
thayt
thayte
tf
t
a
(1.12) ■

≤≤−
t
, và bằng 0 trong các trường hợp khác.
∇
1.3.2 Phép tỉ lệ theo thời gian.
Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong hình 1.10a.
Tín hiệu
)(t
φ
trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Như thế, thay đổi của
f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong
)(t
φ
tại thời điểm t/2, nên
)()(
2
tf
t
=
φ
(1.13)
Và
)2()( tft
=
φ
(1.14)
Do
0)(
=
tf


)()( atft
=
φ
(1.15)
Tương tự, khi tín hiệu f(t) được giãn ra theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) thì

)()(
a
t
ft
=
φ
(1.16)
Hình 1.10c vẽ
)(
2
t
f
, với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2. Trong phép tỉ lệ theo
thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0).
Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at. Nếu a >1,
phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo thời
gian.
■ Thí dụ 1.4:
Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t). Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo thời
gian với tỉ lệ 3. Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2.
Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo



<≤−<≤−
==
−
otherwise
thayte
thayt
tftf
t
c
0
103302
05,0035,12
)3()(
2/3
(1.18a)
Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín
hiệu nén f(3t).
Hình 1.11c vẽ
)(tf
e
, là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mô
tả toán học là
)2/(tf
, thay t bằng t/2 trong f(t). Vậy







)(tf
là một khung đồng cứng, có khớp
nối theo trục dọc. Để thực hiện đảo
)(tf
theo thời gian, ta xoay khung 180
0
theo trục
dọc. Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của
)(tf
theo trục
dọc], tạo tín hiệu
)(t
φ
(hình 1.12b). Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời
điểm t cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t. Vậy:)()( tft
=−
φ
Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t . Như thế, phép đảo
tín hiệu
)(tf
cho tin hiệu
)( tf
−
. Do đó, tín hiệu phản ảnh của
)(tf
theo trục dọc và
)( tf

etf
−
=−
. Tín hiệu
)( tf
−
được mô tả ở hình 1.13b.
Có thể mô tả
)(tf
và
)( tf
−
theo:




−≥−
=
otherwise
te
tf
t
0
51
)(
2/
Tín hiệu đảo theo thời gian
)( tf
−

, thực hiện phép tỉ lệ a với tín hiệu
)( btf
−
(tức là thay t bằng at) để có
)( batf
−
.
2. Thực hiện tỉ lệ a theo thời gian
)(tf
, để có
)(atf
. Dời tiếp
)(atf
theo
a
b

(tức là thay
t
bằng
( )
abt /
−
để có
)]/([ abtaf
−
tức là
)( batf
−
.

0
=
t
. Các tín hiệu
này có thể được mô tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị
)(tu
như vẽ ở hình
1.14a và được định nghĩa là:



<
≥
=
00
01
)(
t
t
tu
(1.20)
Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ
0
=
t
(có giá trị là 0 khi
0
=
t
) thì chỉ cần nhân tín


)4()2()(
−−−=
tututf
■ Thí dụ 1.6:
Mô tả tín hiệu hình 1.16a
Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần
)(
1
tf
và
)(
2
tf
, lần
lượt vẽ ở hình 1.16b và 1.16c. Hình 1.16b cho thấy
)(
1
tf
là hàm dốc t nhân với tín hiệu
cổng
)2()(
−−
tutu
. Vậy:

)]2()([)(
1
−−=
tututtf

−−−−−=
tututtf

Và

)()()(
21
tftftf
+=

)]3()2()[3(2)]2()([
−−−−−−−=
tututtutut

)3()3(2)2()2(3)(
−−+−−−=
tuttutttu
■
■ Thí dụ 1.7:
Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t.
Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là
2/
2
t
e
−
.
Vậy:

)]3()([2)]()5,1([2)(


)4()2()2()1()1()(
−−−−−−−=
tututtuttf
.
∇
2. Hàm xung đơn vị
)(t
δ
Xung đơn vị là một trong những hàm rất quan trọng để nghiên cứu về tín hiệu và hệ
thống, được P.A.M Dirac định nghĩa theo:

0)(
=
t
δ

0
≠
t

∫
∞
∞−
=
1)( dtt
δ
(1.21)
Có thể xem xung đơn vị là một xung vuông rất cao, có độ rộng rất hẹp và diện tích là
đơn vị, vẽ ở hình 1.19b. Độ rộng xung rất hẹp và là

α
−
vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹp dần khi
α tăng. Tại giới hạn
∞→
α
, cao độ của xung
∞→
, và độ rộng
0
→
. Trong khi đó, phần
diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của
α
do:∫
∞
∞−
−
=
1dte
t
α
α
(1.22)
Tương tự cho các xung trong hình 1.20b và 1.20c.
Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm
0)(

, ta có:

)()0()()( ttt
δφδφ
=
(1.23a)
Tương tự, nếu nhân
)(t
φ
với xung
)( Tt
−
δ
, (xung tại vị trí t = T), thì

)()()()( TtTTtt
−=−
δφδφ
(1.23b)
Cho thấy là
)(t
φ
là liên tục tại
Tt
=
.
Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị
Tử phương trình (1.23a):

)0()()0()()(

Trong trường hợp phương trình (1.24b) thì xung
)( Tt
−
δ
tồn tại ở
Tt
=
. Như vậy, diện
tích do
)()( Ttt
−
δφ
là
)(T
φ
, giá trị của
)(t
φ
tại thời điểm mà xung tồn tại (tại
Tt
=
)
với giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung.
Xung đơn vị là hàm tổng quát
Định nghĩa toán học chưa chặt chẻ của xung đơn vị trong phương trình (1.21), tạo
ra nhiều khó khăn lớn. Đầu tiên, hàm xung chưa được định nghĩa là hàm độc nhất: thí dụ,
ta chứng minh được là
)()( tt
δδ


liên tục tại thời điểm tồn tại xung đơn vị. Theo hướng này thì cả hai phương
trình (1.24a) và (1.24b) đều chưa định nghĩa được hàm xung. Nên nhớ rằng đặc tính lấy
mẫu [phương trình (1.24)] là hệ quả của định nghĩa truyền thống (Dirac) về xung [phương
trình (1.21)]. Ngược lại, đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] định nghĩa hàm xung theo
hướng hàm tổng quát.
Tiếp đến, ta giới thiệu ứng dụng quan trọng của hàm tổng quát để định nghĩa hàm
xung. Do hàm bước đơn vị
)(tu
không liên tục tại
0
=
t
, nên không tồn tại đạo hàm
dtdu /
không tồn tại tại
0
=
t
theo nghĩa thông thường. Ta sẽ chứng minh là các đạo hàm
này tồn tại theo nghĩa tổng quát, và thực ra, đó chính là hàm
)(t
δ
. Để chứng minh, ta ước
lượng tích phân của
( )
)(/ tdtdu
φ
với cách lấy tích phân từng phần:

dtttuttudtt

δ
. Như thế, theo nghĩa
tổng quát thì xung
)(t
δ
được định nghĩa theo:
)(t
dt
du
δ
=
(1.27)
Vậy:

∫
∞−
=
t
tud )()(
ττδ
(1.28)
Kết quả này còn có thê tìm được dùng phương pháp đồ thị từ hình 1.19b. Ta thấy là
phần diện tích từ
∞−
đến t trong dạng giới hạn của
)(t
trong hình 1.19b là zêrô nếu
0
<
t

)(3)()3(
3
ttt
δδ
=+
(b)
)()(][sin(
2
2
ttt
δδ
π
−=−
(c)
)()(
2
tte
t
δδ
=
−
(d)
)1(
5
1
)1(
9
1
2
2




−
0
4
cos)2( dt
t
t
π
δ
(c)
∫
∞
∞−
−−−−
=−
)2(2)(2
)2(
xtx
edtte
δ

Hướng dẫn: Trong phần c, cần nhớ là
)(t
δ
tồn tại tại
0
=
x

σωσωσ
+===
+
(1.30a)
Gọi
ωσ
js
−=
*
(lượng liên hợp), thì

)(cos
)(
*
tjteeese
ttjttjts
ωω
σωσωσ
−===
−−
(1.30b)
Và

)(
2
1
cos
*
tsstt
eete


)0(
=
s
2 Hàm mủ đơn điệu
t
e
α

),0(
σω
==
s
3 Hàm
t
ω
cos

),0(
ωσ
js
±==
4 Hàm
te
t
ω
α
cos

)(

và tín hiệu có
dạng hàm sin truyền thống với biên độ không đổi (hình 1.21b).
Trường hợp
0
=
s
(
)0(
==
ωσ
thì tín hiệu là tín hiệu hằng (dc) do
1
0
=
t
e
.
Tín hiệu vẽ ở hình 1.21c và 1.21d có σ và ω đều khác không; tần số s có dạng phức và
không nằm trên các trục.
Tín hiệu trong hình 1.21c giảm theo hàm mủ, có σ âm và nằm bên trái trục ảo.
Ngược lại, tin hiệu hình 1.21d tăng theo dạng mủ, với σ dương và nằm bên phải trục
ảo.
Vậy, mặt phẳng s (hình 1.21) có thể được phân thành hai phần: nửa mặt phẳng trái
(LHP) tương ứng với tín hiệu giảm theo dạng mủ và nửa mặt phẳng phải (RHP) tương ứng
với tín hiệu tăng theo dạng mủ. Trục ảo phân cách hai vùng này và tương ứng với các tín
hiệu có biên độ không đổi.
Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ
)5cos(
2
θ

tj
e
)52(
−−
với các tần số phức lần lượt là (- 2 + j5) và (- 2 – j5) và nằm bên
phải mặt phẳng phức.
Tín hiệu sin với biên độ không đổi
)5cos(
θ
+
t
có thể xem là tổng của hai hàm mủ
tj
e
5
và
tj
e
5
−
với các tần số phức lần lượt là
5j
±
và nằm trên trục phức.
Ta thấy là hàm mủ đơn điệu
t
e
2
±
là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là

hàm chẵn x hàm chẵn = hàm chẵn
Có thể chứng minh các đặc tính này từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ [(phương trình
(1.31) và (1.32)].
Diện tích
Do
)(tf
e
đối xứng theo trục dọc, theo hình 1.23a thì

∫ ∫
−
=
a
a
a
ee
dttfdttf
0
)(2)(

(1.33a)
Và theo hình 1.23b thì

∫
−
=
a
a
o
dttf 0)(

có:

Trích đoạn Phân loại hệ thống.

---