CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN
BIẾN ĐỔI FOURIER

Nội dung

4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier
4.2 Một số dạng biến đổi
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier
4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB)
4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế
4.6 Năng lượng tín hiệu
4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ
4.8 Điều chế góc
4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ
4.10 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay
dạng mũ (không dừng). Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn.

4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier

Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích
phân) của các hàm mũ không dừng. Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn
)(tf
trong hình 4.1
dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn )(
0
tf

tf
T
cũng biểu diễn f(t) trong giới hạn
¥®
0
T
. Chuỗi hàm
mũ Fourier của )(
0
tf
T
được cho bởi:

å
¥
-¥=
=
n
tjn
nT
eDtf
0
0
)(
w
(4.1)
Với
ò
-
-


Ta thấy tích phân )(
0
tf
T
trong khoảng
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
,
2
00
TT
giống tích phân của f(t) trong khoảng
),(
¥
-¥
. Viết lại phương trình (4.2a)

ò
¥
¥-
-
= dtetf
T

Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho:

)(
1
0
0
w
nF
T
D
n
=
(4.4)

Điều này có nghĩa là các hệ số
n
D là tích của )/1(
0
T với các mẩu của
)(
w
F
, phân bố đều tại
các khoảng
0
w
, vẽ ở hình 4.2a. Như thế, )()/1(
0
w
FT là đường biên của các hệ số

0
®
w
và 0®
n
D . Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ
cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé). Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô
cùng bé).
Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1)

å
¥
-¥=
=
n
tjn
T
e
T
nF
tf
0
0
0

n
T
e
nF
tf
)(
2
)(
)(
0
w
p
ww
D
¥
-¥=
å
ú
û
ù
ê
ë
é
DD
=
(4.6a)

Phương trình (4.6a) cho thấy )(
0
tf

0
tftf
T
® . Do đó:

å
¥
-¥=
D
®
DD=
n
tjn
T
enFtf
ww
p
w
)(
0
)(
2
1
lim)(
0
(4.6b)
Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm
tj
eF
w

là
[
]
pw
2/)( DnF
. Nên hàm
)(
w
F
trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ. Ta gọi
)(
w
F
là biến đổi Fourier trực tiếp của
)(tf
và
)(tf
là biến đổi Fourier nghịch của
)(
w
F
. Ta còn gọi
)(tf
và

)()(
(4.8a)

ò
¥
¥-
=
ww
p
w
deFtf
tj
)(
2
1
)(
(4.8b)

Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với
tần số cơ bản
0
®
D
w
(phương trình (4.6b). Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều
dùng được cho biến đổi Fourier. Có thể vẽ phổ
)(
w
F
theo


ò
¥
¥-
=- dtetfF
tj
w
w
)()(
Vậy khi
)(tf
là hàm thực theo t, thì
)(
w
F
và
)(
w
-
F
là liên hợp. Do đó:
)()(
ww
FF =- (4.10a)
)()(
ww
FF -Ð=-Ð (4.10b)
Do đó, với hàm thực
)(tf
, thì phổ biên độ )(

¥-
+-
¥
¥-

+
-
===
òò
0
)()(
1
)()(
tjattjattjat
e
ja
dtedtetueF
www
w
w

Do
1=
- tj
e
w
, nên khi
¥
®
t

a
j
e
a
F
w
w
w
-
-
+
=
(4.11b)
Vậy:

22
1
)(
w
w
+
=
a
F
và
÷
ø
ö
ç
è

¥-
dttf )(
(4.13)
Do
1=
- tj
e
w
, từ phương trình (4.8a) ta có

ò
¥
¥-
£ dttfF )()(
w

Bất đẳng thức này cho thấy biến đổi Fourier tồn tại nếu thỏa điều kiện (4.13). Ngược lại thì không
bảo đãm. Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier không tồn tại với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm
điều kiện này). Mặc dù đây là điều kiện đủ, chứ không là điều kiện cần cho tồn tại biến đổi Fourier
của tín hiệu. Thí dụ, tín hiệu
tat /)sin(
vi phạm điều kiện (3.13), nhưng có biến đổi Fourier. Các
tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier. Như thế, tồn tại thực tế
của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier.

Tính tuyến tính của biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu
)()(
11
w

vẽ trong hình 4.5a. Tải chung W
T
đặt
vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm:

å
=
=
n
i
iT
DW
1 Xét trường hợp tải liên tục trên xà ngang, vẽ trong hình 4.5b. Trường hợp này, dù có vẻ là tải
xuất hiện tại các điểm, nhưng tải tại từng điểm lại là zêrô. Điều này không có nghĩa là không có tải
trên xà. Trường hợp này thì đo lường thích hợp nhất là không là tải tại từng điểm, mà nên là mật
độ tải trên đơn vị dài của xà ngang. Gọi
)(xF
là mật độ tải trên đơn vị dài của xà. Theo đó thì tải
trên chiều dài xà ngang là Dx (Dx ®0) tại một điểm x là
xxF
D
)(
. Để tìm tải trên xà ngang, ta chia
xà ngang thành các khoảng cách nhau Dx (Dx ®0). Tải của n đoạn có chiều dài Dx là
xxnF
D
D

xxnF
D
D
)(
(hình 4.5b). Do đó, dù tải tại một
điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x).

Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu. Khi
)(tf
tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có
thể viết
)(tf
thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn:

å
=
n
tjn
n
eDtf
0
)(
w

Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của w,
nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô. Đo lường có nghĩa trong trường hợp này
không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông.
Phương trình (4.6b) cho thấy là
)(tf
được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng

®D
=DD=
n
tjn
dFenFtf
ww
p
ww
p
w
w
)(
2
1
)(
2
1
lim)(
)(
0
(4.15)
Đóng góp của thành phần trong dải tần
w
d
là dFFdF )()(
2
1
www
p
= , với dF là băng thông

)(tf
chỉ tồn
tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này. Phổ của
)(tf
chứa vô hạn các hàm mũ (hay
sin) bắt đầu tại
-¥
=
t
và tiếp tục mãi mãi. Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại
thành đúng
)(tf
trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này. Sắp xếp biên độ và pha của
vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi
Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì.
Một vài ý niệm
Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là

ò
¥
¥-
-
= dtethsH
st
)()(
(4.16)
Cho s = j

thay vì
)(
w
F
trong phương trình (4.3). Thực ra, ý niệm
)(
w
jF
cho
biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu. Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ
là
)(
w
F
và
)(
w
jF
biểu diễn cùng đặc tính.
Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như
thế cần nhớ là
)(
w
H
và
)(
w
jH
biểu diễn cùng đặc tính.


)(
ww
w
DD
DÞ
Và

(
)
tnjtnj
e
nHnF
e
nF
)()(
2
)()(
2
ww
p
www
p
ww
DD
ú
û
ù
ê
ë
é

ê
ë
é
DDD
Þ
ú
û
ù
ê
ë
é
DD
n
tnj
n
tnj
e
nHnF
e
nF
)(
0
)(
0
2
lim
2
lim
w
w

p
www
p
ww
w
deHFenHnFty
tj
n
tnj
)()(
2
1
)()(lim
2
1
)(
)(
0ò
¥
¥-
=
ww
p
w
deYty
tj
)(

Û
thì
)()(
w
Yty
Û

Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian. Trong
miền thời gian ta biểu diễn
)(tf
thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào
được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng. Trong trường hợp đầu, đáp ứng
)(ty
là
tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là
tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier. Ý
tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau:

1. Trong miền thời gian

)()( tht
Þ
d
đáp ứng xung của hệ thống là
)(thò
¥
¥-

)(

ò
¥
¥-
=
ww
p
w
deFtf
tj
)(
2
1
)(
;
)(tf
thành tổng các thành phần hàm mũ không dừng, và
ò
¥
¥-
=
www
p
w
deHFty
tj
)()(
2
1

=
>
=
2/11
2/12/1
2/10
x
x
x
rect
(4.20)
Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số t và có thể viết
thành rect (x/
t
) (xem phần 1.3-2). Ta thấy là t, mẫu số của (x/
t
), cho thấy độ rộng của xung.

Xung tam giác đơn vị

Xung tam giác đơn vị D(x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách
đều gốc, vẽ ở hình 4.8a î
í
ì
<-
³
=D

)(sin =
(4.22)
Xét phương trình (4.22) ta thấy:
1. sinc(x) là hàm chẵn theo x.
2. sin(x) = 0 khi sin x = 0 trừ giá trị x = 0 (xuất hiện dạng vô định), tức là sin x = 0 khi
, 3,2,
p
p
p
±
±
±
=
x

3. Dùng định L’Hopital, ta có sin (0) =1.
4. sin(x) là tích của sóng dao động sin x (có chu kỳ 2p) và hàm đơn điệu giảm 1/x. Như thế,
hàm sinc (x) là dao động sin với chu kỳ 2p, có biên đô giảm liên tục theo 1/x.

Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x). Ta thấy sinc (x) = 0 tại các giá trị x dương và âm với bội số
của p. Hình 4.9b vẽ sinc (3w/7). Đối số (3w/7) = p khi w = 7p/3. Do đó, zêrô đầu tiên của hàm
xuất hiện tại w = 7p/3. D
Bài tập E 4.1
Vẽ (a) )

è
æ
p
4
)(sin
t
recttc
.
Ñ

■ Thí dụ 4.2:
Tìm biến đổi Fourier của
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
t
t
recttf )(
(hình 4.10a)

ò
¥
¥-
-
÷
ø

t
>t÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ

cee
j
dteF
jjtj

Do đó

÷
ø
ö
ç
è
æ
Û
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
sin
wt
t
t
c
t
rect
(4.23)


thấy các giá trị dương và âm. Các biên độ âm có thể xem là giá trị dương với pha là – p hay p.
Dùng quan sát này để vẽ phổ biên độ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
sin)(
wt
w
cF trong hình 4.10c và phổ pha
)(
w
F
Ð

trong hình 4.10d. Phổ pha phải là hàm lẻ theo w, có thể vẽ theo nhiều cách khác nhau do giá trị âm
có thể được tính bằng góc pha ± n
p
, với n là số dương lẻ bất kỳ. Các biểu diễn này đều tương
đương nhau.

Băng thông của
)(

). Do đó, có thể tính gần đúng băng thông của
xung vuông với độ rộng t giây là
t
p
2
rad/s, hay
t
1
Hz. Chú ý vể quan hệ tương hỗ giữa độ rộng
xung và băng thông, ta sẽ xem xét kết quả này.
■ Thí dụ 4.3:
Tìm biến đổi Fourier của xung đơn vị
)(t
d

Từ đặc tính lấy mẩu của xung [phương trình (1.24)], ta có
F
[ ]
1)()( ==
ò
¥
¥-
-
dtett
tj
w
dd
(4.24a)
Hay


1
)( ==
ò
¥
¥-
de
tj

Vậy
)(
2
1
wd
p
Û
(4.25a)
Hay )(21
wpd
Û (4.25b)

Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu hằng
1)(
=
tf
là xung
)(2
w
pd
, vẽ trong hình 4.12.
Nhắc lại biến đổi Fourier của

Nếu xung tại w = 0 là phổ của tín hiệu dc, thì xung tại
0
ww
=
biểu diễn gì? Thí dụ sau sẽ trả
lời câu hỏi này.

■ Thí dụ 4.5:
Tìm biến đổi nghịch của
)(
0
wwd
-

Dùng đặc tính lấy mẩu của hàm xung
F
- -1
[ ]
tj
tj
ede
0
2
1
)(
2
1
)(
00
w

tj
e
(4.26a)

Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu không dừng
tj
e
0
w
là một xung tại
0
ww
= . Để biểu
diễn tín hiệu mủ không dừng
tj
e
0
w
, ta chỉ cần một hàm mủ không dùng
tj
e
0
w
với
0
ww
= , đo đó,
phổ chỉ gồm một thành phần tần số tại
0
ww

tjtj
eet
ww
w
-
+=

Dùng hai phương trình (4.26a) và (4.26b), ta có

)]()([cos
000
wwdwwdpw
-++Ût
(4.27)
Phổ của
t
0
cos
w
gồm hai xung tại
0
w
và
0
w
-
, vẽ trong hình 4.13. Kết quả cho thấy tín hiệu không
dừng
t
0

bằng phương pháp tích phân trực tếp sẽ dẫn đến kết quả
không xác định, do:

¥
-
¥
-
¥
¥-
-
-
===
òò
0
0
1
)()(
tjtjtj
e
j
dtedtetuU
www
w
w

Ta thấy cận trên của
tj
e
w
-

U
w
F
w
ja
tue
a
at
+
=
®
-
1
lim)}({
0
(4.28a)
Viết lại theo các thành phần thực và ảo

www
w
w
w
ja
a
a
j
a
a
U
aa

+aa có đặc tính rất thú vị. Thứ nhất, hàm có diện tích (hình 4.14b) là
p
bất chấp giá
trị của a.

p
w
w
w
==
+
-
¥
¥-
ò
a
d
a
a
1
22
tan

Thứ hai, khi
0
®
a
, hàm tiến về zêrô với mọi
0
¹

0
=
w
). Tín hiệu
)(tu
có bước nhảy gián đoạn tại
0
=
t
, nên không thể tổng hợp tín hiệu dạng này
chỉ dùng một hàm mủ không dừng
tj
e
w
. Để tổng hợp tín hiệu này dùng hàm mủ không dừng, ta
cần có thểm xung tại
0
=
w
, các thành phần tần số, do
w
j/1
trong phương trình (4.29). ■ D
Bài tập E 4.2
Chứng minh biến đổi Fourier của tín hiệu hàm dấu
)sgn(t
vẽ trong hình 4.15a là

ÑD
Bài tập E 4.4
Chứng minh: ])()([)cos(
000
qq
wwdwwdpqw
jj
eet -++Û+
-

Hướng dẫn: .
][
2
1
)cos(
)()(
0
00
qwqw
qw
+-+
+Û+
tjtj
eet

Ñ


-

w
ja -
1

0
>
a

3
ta
e
-

22
2
w
+
a
a

0
>
a

4
)(tute
at-


d

1
7 1
)(2
w
pd

8
t
e
0
w
-

)(2
0
wwpd
-
9
t
0
cos
w
)]()([
00
wwdwwdp
+
10
t

0
00
)]()([
ww
w
wwdwwdp
-
+++-
j
+
14
)(sin
0
ttu
w

22
0
0
00
)]()([
2
ww
w
wwdwwd
p
-
++
j


0
2
)(
ww
w
++
+
ja
ja
0
>
a
17
)(
t
t
rect
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
sin
wt
t
c

18

è
æ
4
sin
2
2
wtt
c

20
÷
ø
ö
ç
è
æ
W
W
2
sin
2
2
w
p

÷
ø
ö
ç
è

22
22
2/
s
t
e
-

2/
22
2
ws
ps
-
e

4.3-1 Tính đối xứng giữa toán tử thuận và nghịch: Đối ngẫu thời gian - tần số
Phương trình (4.8) cho thấy một vấn đề rất thú vị: các toán tử thuận và nghịch đều rất giống
nhau. Các toán tử này cần thiết để biến
)(tf
thành
)(
w
F
, được vẽ trong hình 4.16. Chỉ có hai
khác biệt nhỏ: thừa số 2p chỉ xuất hiện trong toán tử nghịch, và chỉ số mủ trong hai toán tử có dấu
đối nhau. Nói cách khác, hai toán tử này đối xứng. Quan sát này có ảnh hưởng lớn đến nghiên cứu
về biến đổi Fourier. Đây là cơ sở của cái gọi là tính đối ngẫu thời gian – tần số.

Với các quan hệ giữa

Đối ngẫu của tính chất này (tính dời theo tần số) cho rằng

)()(
0
0
ww
w
-Û Fetf
tj
(4.30b)
Quan sát tính hoán vị giữa thời gian và tần số trong hai phương trình (với thay đổi nhỏ là sự đảo
dấu trong chỉ số mủ). Giá trị của nguyên lý này dựa trên sự kiện là bao giờ ta tìm ra một kết quả,
thì luôn tồn tại kết quả đối ngẫu. Khả năng này cho ta nhìn thấy trước được một số đặc tính và kết
quả khi xử lý tín hiệu.

Các đặc tính của biến đổi Fourier không chỉ hữu ích để tìm biến đồi thuận và nghịch của
các hàm, mà còn giúp tìm nhiều kết quả có giá trị khi xử lý tín hiệu. Ta bắt đầu với đặc tính đối
xứng, là một trong những hệ quả của nguyên lý đối ngẫu vừa nói trên. 4.3-2 Tớnh i xng,
nu
)()(
w
Ftf

, thỡ

)(2)(
w


Thớ d 4.8:
Thớ d ny dựng tớnh i xng [phng trỡnh (4.31)] vi cp bin i trong hỡnh 4.17a. T
phng trỡnh (4.23), ta cú:

4342143421
)()(
2
sin
w
wt
t
t
Ftf
c
t
rect
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

p
t
t
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
ftF
rect
t
c =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
t
w

F
a
atf
w
1
)( (4.34)
Chứng minh

Với số thực dương a,
F
[ ]
òò
¥
¥-
-
¥
¥-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
===
a
F
a
dxexf
a

Ý nghĩa vủa tính tỉ lệ
Hàm
)(atf
biểu diễn hai hàm
)(tf
nén theo thời gian với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Tương
tự, hàm
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
F
w
biểu diễn hàm
)(
w
F
giãn theo tần số với thừa số a. Theo tính tỉ lệ thì nén tín hiệu
theo thời gian làm giãn phổ tín hiệu, và giãn theo thời gian tức là nén theo phổ. Một cách trực giác
thì nén theo thời gian với thừa số a tức là tín hiệu thay đổi nhanh hơn với cùng thừa số này. Để
tổng hợp tín hiệu dạng này, tần số của sóng sin phải tăng với thừa số a, và phổ tần số phải giãn với
thừa số a. Tương tự, tín hiệu giãn theo thời gian thay đổi chậm hơn, nên tần số các thành phần tần
số thấp xuống; do đó, phổ tần số bị nén lại. Thí dụ, tín hiệu t
0

-
Û
-
Ftf
(4.35)

■ Thí dụ 4.9
Tìm biến đổi Fourier của )( tue
at
- và
ta
e

Dùng phương trình (4.35) vào cặp biến đổi 1 (bảng 4.1), ta có:

w
ja
tue
at
-
Û-
1
)(
, và
)()( tuetuee
atat
ta
-+=
-
, do đó

w
Ftf
«Û
thì
0
)()(
0
tj
eFttf
w
w
-
«Û- (4.37a)

Từ định nghĩa
F
[ ]
ò
¥
¥-
-
-=- dtettfttf
tj
w
)()(
00
. Đặt xtt =-
0
, ta có
F

t
w
- .

Giải thích thực tế về pha tuyến tính Trễ theo thời gian trong tín hiệu là nguyên nhân tạo dời pha tuyến tính trong phổ. Kết quả
này còn được tìm ra từ luận chứng thực tế. Tưởng tượng là
)(tf
được tổng hợp từ các thành phần
Fourier, là các sóng sin với biên độ và pha nào đó. Tín hiệu )(
0
ttf - có thể được tổng hợp với các
thành phần sóng sin này mỗi thành phần được dời đi
0
t giây. Biên độ các thành phần vẫn giữ
không đổi. Do đó, phổ biên độ của )(
0
ttf - giống hệt
)(tf
. Mỗi thành phần sóng sin được dời
theo
0
t , điều này làm thay đổi pha của mỗi thành phần.
Xét sóng
t
w
cos
được dời đi


.
Hàm được vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của
ta
e
-
(vẽ trong hình 4.19a). Từ
phương trình (4.36) và (4.37), ta có

0
0
22
2
tj
tta
e
a
a
e
w
w
-

+
Û
(4.38)
Phổ của
0
tta
e


0
0
22
2
tj
tta
e
a
a
e
w
w
-

+
Û (4.38)
Phổ của
0
tta
e

(hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha
0
t
w
- .
Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính
0
t

æ
t
t
rect
nhân với
2
t
w
j
e
-
, nên:

2
2
sin)(
t
w
wt
tw
j
ecF
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=

÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
00
2
. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của biến đổi Fourier.
Ñ4.3-5 Tính dời theo tần số.

Nếu
)()(
w
Ftf
Û
thì )()(
0
0
ww
w
-Û Fetf
tj
(4.39)
Chứng minh: từ định nghĩa

0
ww
= . Chú ý tính
đối ngẫu giữa dời theo thời gian và dời theo tần số.
Thay đổi
w
thành
0
w
-
, ta có

)()(
0
0
ww
w
+Û
-
Fetf
tj
(4.40)

Do
tj
e
0
w
là hàm không dễ tạo ra trong thực tế, nên thường ta nhân
)(tf


Điều này cho thấy là phép nhân tín hiệu
)(tf
với sóng sin có tần số
0
w
, dời phổ
)(
w
F
giá
trị
0
w
±
, như vẽ trong hình 4.23.
Nhân hàm
t
0
cos
w
với
)(tf
tạo điều chế biên độ, và dạng điều chế này được gọi là điều chế
biên độ. Hàm
t
0
cos
w
gọi là sóng mang, tín hiệu

w
w
w

Do đó, ttf
0
cos)(
w
dính với
)(tf
khi t
0
cos
w
ở vị trí đỉnh dương và là
)(tf
-
khi t
0
cos
w
ở
vị trí định âm. Tức là
)(tf
và
)(tf
-
hoạt động như đường bao của tín hiệu ttf
0
cos)(

rect
vẽ trong hình 4.24a
Dùng cặp biến sđổi 17 (bảng 4.1), ta có
)2(sin3
4
w
c
t
rect Û
÷
ø
ö
ç
è
æ
, vẽ ở trong hình 4.24b.
Phương trình (4.41) cho

[ ]
)10()10(
2
1
10cos)( -++Û
ww
FFttf

Trường hợp này,
)2(sin4)(
w
w

1)10(
1
1)10(
1
)(
22
++
+
+-
=
ww
w
F
. Phổ có dạng hình 4.19b (với a =1), dời đi
±10 và nhân với (1/2).
ÑỨng dụng vào điều chế

Điều chế được dùng để dời phổ tín hiệu. Một số trường hợp cần dời phổ tín hiệu là:
1. Khi có nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu chiếm cùng dải tần số, được truyền đồng thời trong cùng
môi trường, chúng sẽ gây nhiễu lên nhau. Tại máy thu, ta không thể tách hay khôi phục lại tín
hiệu. Thí dụ, nếu tất cả các đài phát thanh quyết định phát đồng thời các tín hiệu âm tần, thì các
máy thu không thể nào tách chúng ra được. Vấn đề này được giải quyết dùng phương pháp
điều chế, theo đó, mỗi đài phát thanh dùng tần số mang riêng biệt. Mỗi trạm phát tín hiệu được
điều chế. Phương pháp này dời phổ tín hiệu đến các dải tần số của đài mình, không vi phạm
đến các đài khác. Máy thu chỉ việc giải điều chế (làm ngược lại quá trình điều chế). Giải điều
chế bao gồm các phổ dời khác cần thiết để khôi phục lại tín hiệu của băng tần gốc. Chú ý là cả
quá trình điều chế và giải điều chế đều thực hiện dời tần số; do đó, quá trình giải điều chế là